湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一上学期2月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：2026年2月2日下午14：00-16：00
试卷满分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 是第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】将改为，判断所在的象限即得.
【详解】，
与终边相同，
是第三象限角，是第三象限角.
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数式中真数大于零，偶次根式中被开方数大于等于零，结合交集的运算求解.
【详解】，，，，
的定义域为.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据单调性解对数不等式和指数不等式，再根据充分必要性判断，即可得到答案.
【详解】由，得，
由，得，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：A
4. 设，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断即可.
【详解】由，，
，，
所以.
故选：B
5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.英国天文学家普森发现：两个天体的星等是、，其亮度分别表示为、，它们满足关系式，这就是著名的普森公式.已知太阳的星等是，月亮（满月时）的星等是，则太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，，代入，结合对数的运算性质求出的值，即为所求.
【详解】两颗星的星等与亮度满足，
令，，，，
因此，太阳与月亮（满月时）的亮度的比值为.
故选：B.
6. 设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A. B.
C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用偶函数的定义得到，从中解出，利用奇函数的定义得到，从中解出，将代入，解得，从而求出.
【详解】是偶函数，，，①，
是奇函数，，
②，
将①代入②得到，，
解得，.
故选：C.
7. 已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出是上的单调递增函数，求出，，根据零点存在性定理可得，，求出在上是单调递增函数，求出，，根据零点存在性定理可得，，求出在上是单调递增函数，，，根据零点存在性定理可得，，从而得到结论.
【详解】都是上单调递增函数，是上的单调递增函数，
，，
根据零点存在性定理可得，，
均在上是单调递增函数，
在上是单调递增函数，
，，
根据零点存在性定理可得，，
均在上是单调递增函数，
在上是单调递增函数，
，，
根据零点存在性定理可得，，
.
故选：A.
8. 对，，都有恒成立，则的最大值为（ ）
A 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】将整理成，构造函数，，恒成立，则需满足，计算得到，由通过计算得到，构造函数，利用导数法求出在上是单调递增函数，又，从而得到的解为，从而得到的最大值.
【详解】，，
设，
，恒成立，
是的一次函数或常函数，
要使在内恒成立，
则需满足，
的解为，
，
，
，，
，，
设，，
，，，
在上是单调递增函数，
，
的解为，
又，，的最大值为.
，的最大值为.
故选：B.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解判断各选项即可.
【详解】由，，
则，故A正确；
则，故B错误，
则，故C正确；
则，故D正确.
故选：ACD
10. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用不等式的性质判断B；作差判断CD.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，由，得，则，B正确；
对于C，由，，得，C正确；
对于D，由，得
，D正确.
故选：BCD
11. 设、、是定义域为的三个函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若函数、、的值域都为，则函数的值域为
B. 若、、都是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数
C. 若、、都是奇函数，则、、都是奇函数
D. 若、、都是增函数，那么、、中至少存在一个增函数
【答案】BC
【解析】
【分析】对于选项A，取反例得到结论；对于选项B，利用周期函数的定义求解即可得到结论；对于选项C，利用奇函数的定义求解从而得解；对于选项D，反例法得到结论.
【详解】对于选项A，假设，，，
满足函数、、的值域都为，
，
则函数的值域为，故选项A错误；
对于选项B，是以为周期的函数， ①，
是以为周期的函数，
②，
是以为周期的函数，
③，
①+②-③，得到，即，
则是以为周期的函数，同理可以得到，均是以为周期的函数，故选项B正确；
对于选项C，是奇函数，
①，
是奇函数，
②，
是奇函数，
③，
①+②-③，得到，即，则都是奇函数，
同理得到都是奇函数，故选项C正确；
对于选项D，取，，，
，，
，
都满足、、都是增函数，
但是、、均不是增函数，则选项D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求的平方，利用计算求解.
【详解】，
.
故答案为：.
13. 已知，，，则的最小值为__________.
【答案】25
【解析】
【分析】根据对数函数的运算、换底公式和基本不等式即可求出.
【详解】由题意得，
又，，
，，，，
根据基本不等式可得，，
当且仅当，即时等式成立，
，.
故答案为：25.
14. 设函数，若存在最小值，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围，综合所有情况即可得到的最大值.
【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；
当时，，
当时，，又时，，
所以存在最小值，满足题意；
当时，在和上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，解得，则；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，不等式无解；
综上所述，实数的取值范围为，则的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算求解；
（2）将改下成，利用两角差的正弦余弦公式求解，再利用两角差的正切公式求解.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
16. 已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）设函数在区间上的最小值为5，求实数的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义和性质求解.
（2）利用二次函数的图像和性质求解，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解.
【小问1详解】
因为是幂函数，所以.
解得或.
当时，，在上单调递减，不合题意，舍去.
当时，，在上单调递增，符合题意.
所以，
【小问2详解】
已知，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴为.
，
①当，即时，在上单调递增，
则，解得，不满足，舍去；
②当，即时，在处取得最小值，
即，
整理得，解得，因，故；
③当，即时，在上单调递减，
则，解得，不满足，舍去.
综上可得，.
17. 已知函数图象关于直线对称.
（1）求的值；
（2）若存在使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将整理成，由函数的图象关于直线对称得到，计算得到.
（2）求出，，，由，得到的不等式，令，可得在上单调递减，从而求出的最小值，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
，
而，
，
函数的图象关于直线对称，，
，
，
即
因不恒为0，故需使，即.
【小问2详解】
，
，
，
故等价于（*），
，，
故（*）即存在，使得成立，
令，，
函数和函数在上均单调递减，
在上单调递减，的最小值在处取得，
故，即的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；
（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法求解即可；
（2）根据函数的单调性的定义证明即可；
（3）令，转化问题为方程的两根分别介于和，进而求解即可.
【小问1详解】
由，即，
所以.
【小问2详解】
在上，单调递减，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，且.
所以，即，则函数在上单调递减.
【小问3详解】
令，作出函数的图象，如图：
由图象知时，有两解，时，有一解，
方程有三个不同的实数解，
等价于关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1，
由，得，
化简得.
设，
若，则，
此时方程有两个相等实根1，不合题意，舍去.
因此方程的两根分别介于和，
则，解得，
则实数的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合.
（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；
（2）若，，求的取值范围；
（3）若是偶函数，且对任意，均有.已知当时，.请求出函数在时的解析式；并求函数在上至多有多少个零点.
【答案】（1）不是中的元素，理由见解析；
（2）；
（3），，8个零点.
【解析】
【分析】（1）求出和，利用定义即可得解.
（2）由，则存在实数使得，且，求出当时的单调性和当时的单调性，分别按照
且， 且，讨论求解，当时，通过计算得到，利用二次函数求出的取值范围.
（3）利用偶函数的定义和新定义求出在时的解析式，数形结合的方法得到函数在上至多有多少个零点.
【小问1详解】
，，则不是中的元素.
【小问2详解】
因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上严格单调递增，
当且时，在上严格单调递增，
故不存在这样的；
当且时，上严格单调递增，
故不存在这样的；
，，
当时，，，
，，
，，，
.
【小问3详解】
对任意，均有，，
是偶函数，，
，，
，
对任意，，，
，，
，，，
，，，
当时，，，，
，，
，，
，，
当时，，
为偶函数，其中，，，
但其对应的值均未知，画出函数图象如下：
首先说明，
设，则，，
则，
则，所以，所以.
继续说明，
若，则，
当时，，是偶函数，
则当时，，，即，
则，则，
而当时，，与矛盾，
即，
令，则，
当时，若，此时有4个零点，故此时最多4个零点；
当时，若，而，
此时有2个零点，
同时在，，，，，之间取得6个零点，
故此时最多有8个零点.
当时，若，
故此时最多7个零点.
当时，若，此时有4个零点，
故此时最多4个零点.
综上可知，最多有8个零点.