湖北省武昌实验中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. D.
6. 椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知：，直线相交于，直线斜率分别为，则（ ）
A. 当时，点的轨迹为除去两点的椭圆
B. 当时，点的轨迹为除去两点的双曲线
C. 当时，点的轨迹为一条直线
D. 当时，的轨迹为除去两点的抛物线
10. 抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则直线的斜率为
C. 存在直线，使得，，，四点共圆D. 面积的最小值为1
11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线C方程为
B. 若，则面积为24
C. 若点处的切线交轴于，则轴
D. 当n过点时，光由所经过的路程为13
三、填空题
12. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________
13. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点位于第一象限），圆与内切，半径为，则的取值范围是___________．
14. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______
四、解答题
15. 如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．

（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
16. 已知双曲线的中心点为，其中为左､右焦点，，为左､右顶点，且离心率为上一动点.
（1）求证：；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值；
（3）若双曲线的顶点为和，且的最大内角为，求点的坐标.
17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）①求证：；
②求面积的取值范围.
18. 拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是.
（1）若到焦点的距离为3，求；
（2）若，在上，且的重心恰为，求直线的方程；
（3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示.

（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离；
（3）在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值.