高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用教学ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册一元线性回归模型及其应用教学ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，创设情境引入课题，样本观测数据记录，数据可视化呈现，正相关关系判断，回归模型构建，经验回归方程求解，数据可视化分析，模型拟合结论，观察分析感知概念等内容，欢迎下载使用。
01. 模型参数与软件应用进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件进行数据分析。
02. 非线性回归模型认知了解非线性回归模型的基本概念，拓展对复杂数据关系的理解。
03. 模型拟合效果评估学会通过分析残差和利用R²指标，科学判断回归模型的拟合优度。
案例背景：树高与胸径的关系
研究背景：林业研究发现，树木的胸径（地面以上1.3m处的直径）越大，树高通常越高。现实痛点：直接测量树高往往比测量胸径更加困难，耗时耗力。研究目标：基于收集到的样本数据，建立树高关于胸径的经验回归方程，实现通过胸径快速预测树高。
以胸径为横坐标、树高为纵坐标绘制散点图。数据点呈现出明显的规律性分布。
散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明胸径与树高存在显著的正线性相关关系。
基于数据特征，可用一元线性回归模型来刻画两者之间的定量关系。
基于最小二乘法原理，我们计算得出树高关于胸径的回归方程如下：
ŷ = 0.2493d + 14.84
根据经验回归方程，由表中胸径的数据可以计算出树高的预测值以及相应的残差。
以胸径为横坐标，残差为纵坐标绘制残差图。观察图表可知，残差绝对值最大为0.8，所有残差点分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内。
残差分布呈现随机性且无明显规律，表明经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系。因此，我们可以依据该方程，由胸径对树高进行有效预测。
人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”。下表展示了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和纪录数据。任务：试依据这些成对数据，建立男子短跑100 m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程。
历史数据记录 (1896-1968)
以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图。
观察散点图，数据点大致分布在一条直线附近，呈现明显的线性趋势。因此，我们可以尝试使用一元线性回归模型来刻画男子百米世界纪录(Y)与年份(t)之间的关系。
基于最小二乘法计算，拟合得到的经验回归方程为：ŷ = -0.02033743t + 49.76913031
将经验回归直线叠加到散点图后发现：早期数据点远离直线，且前后段数据点位于直线上方，中间段位于下方，呈现出明显的系统性偏差。
散点并非随机分布在直线周围，而是围绕直线呈现出特定的变化规律，这表明成对样本数据具有显著的非线性相关特征。
核心结论：线性模型的局限性
通过对散点分布形态的观察，我们发现简单的线性回归方程无法准确描述数据的内在规律。这种系统性的偏差提示我们，在处理类似数据时，需要考虑引入非线性模型来提高拟合的准确性。
从图中可以看到，经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋势。请再仔细观察图形，思考其中是否存在拟合不够理想的地方？
针对当前模型的不足，你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？尝试思考变量转换的可能性。
我们尝试对变量进行转换，令 x = ln(t-1890)，得到新的变量x和对应的Y值表格。
在直角坐标系中画出表中成对数据的散点图，散点的分布呈现出很强的线性相关特征，验证了变量转换的有效性。
经验回归方程对于转换后的数据具有非常好的拟合精度。转换后变量之间的线性相关程度比原始样本数据的线性相关程度强得多。
ŷ = 2.797x + 0.082
对比分析：图中红色直线代表线性经验回归方程，蓝色曲线代表非线性经验回归方程。直观可见，蓝色曲线更贴合散点分布，表明非线性模型对原始数据的拟合效果显著优于线性模型。
通过对比残差绝对值，我们可以发现非线性经验回归方程的残差远小于线性模型，这表明非线性模型的拟合效果更优。