2026中考数学高频考点一轮复习：二次函数（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：二次函数（试题含解析），共32页。
A．图象经过原点B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2D．最高点是（2，0）
2．（2025•三原县二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），有下列说法：①当x＜0时，y随x的增大而减小；②若点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，则m＞n；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x＝3．其中说法正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．②④D．①③
3．（2025•嵊州市模拟）如图，平面直角坐标系中有四个点E（﹣4，﹣4），F（﹣3，0），M（﹣2，﹣4），O（0，0），二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线y＝ax2+bx+c经过的三个点是（ ）
A．E，F，MB．E，F，OC．E，M，OD．F，M，O
4．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（ ）
A．3B．2C．0D．1
5．（2025•富锦市二模）小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为x cm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（ ）
A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）B．V＝x（20﹣x）（15﹣x）
C．V＝4x2（20﹣2x）D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x
6．（2025•青山湖区三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝bx2﹣ax的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025•西安一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3；④当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2025•富锦市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（ ）
A．y=-12（x﹣2）2+3B．y=12（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x+2）2+3D．y＝2（x+2）2+3
9．（2025•永寿县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2025•碑林区二模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．点（﹣4，5）在该函数图象上
C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小
D．函数的最小值为﹣3
二．填空题（共5小题）
11．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3．
下列五个结论：
①b＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则14＜a＜13；
④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3；
⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞12，x1＜x2，总有y1＜y2，则2＜m≤52．
其中正确的结论是 （填写序号）．
12．（2025•南京模拟）在平面直角系xOy中，将抛物线C1：y＝ax2﹣2atx（a＞0）向右平移2个单位得到抛物线C2，点A(3t2，y1)在抛物线C1上，点B（x2，y2）在抛物线上，当t＝2a，5＜x2＜6时，总有，y1＞y2，则a的取值范围是 ．
13．（2025春•青秀区）已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含端点）只有一个交点，那么a的取值范围是 ．
14．（2025•工业园区一模）定义：如果一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图象的“倍值点”．例如，一次函数y＝x+1图象的“倍值点”为（1，2）．若关于x的二次函数y=(m-1)x2+mx+14m的图象上有唯一的“倍值点”，则m＝ ．
15．（2025春•郑州）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度，在第一届青少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地面竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，则最大的高度为 （用含v0的式子表示）．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•永寿县模拟）如图，已知二次函数L：y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）抛物线L′与L关于坐标原点对称，则在L′上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2025•泗阳县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们定义其“开口大小”如下：若存在一点P（x′，y′）在该抛物线上，满足x′﹣h＝y′﹣k≠0，其中（h，k）为抛物线的顶点，则称2|x′﹣h|为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数y＝3x2的顶点坐标为（0，0），在函数图象上取点P(13，13)，则有13-0=13-0，所以二次函数y＝3x2的开口大小为23，“标志点”为P(13，13)，根据上述材料，解决下列问题：
（1）抛物线y＝x2+4的开口大小是 ；
（2）对于抛物线y=12x2-3x+1，是否存在满足定义条件的“标志点”P？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请简要说明理由；
（3）已知某抛物线的“标志点”为（﹣2，5），且开口大小为4，求该抛物线的解析式．
18．（2025•越秀区三模）学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．
2．根据电路图连结实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
（1）在素材1中，当l＝ 时，场地的面积S最大；
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；
（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．
19．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），连接AC，D是抛物线第一象限上的一点，连接AD交y轴于点E；过点B作BF∥AC交AD于点F．若F是DE的中点，求点D的横坐标；
（3）如图（2），直线y＝t（t＞0）交抛物线于M，N两点，H（0，h）是y轴上的一点（h＜t），延长NH，MH分别交抛物线于P，Q两点，连接MP，NQ．设点M的横坐标为m（m＜0），若S△QNH＝4S△PMH，求m值．
20．（2025•嵊州市模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m（m为常数）．
（1）当m＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若点A（x1，y1），其中m﹣3≤x1≤m+1．
①若y1的最大值是1，求m的值；
②若点B（x2，y2）也在抛物线上，且x2＝2﹣3m，对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
中考数学一轮复习 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025•太平区二模）关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过原点B．开口向上
C．对称轴是直线x＝﹣2D．最高点是（2，0）
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质，包括图象过定点，开口方向，对称轴，最值等，需要根据二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：把（0，0）点代入，二次函数，发现﹣（0﹣2）2≠0，
∴图象不经过原点，故A不正确；
对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下，y＝﹣（x﹣2）2二次项系数a＝﹣1，
∴图象开口向下，故B不正确；
二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝h，y＝﹣（x﹣2）2中，h＝2，
∴对称轴是直线x＝2，故C不正确；
∵a＝﹣1＜0，二次函数开口向下，
∴函数有最大值，当x＝h＝2时，y取最大值k＝0，即最高点是（2，0），故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的性质，包括图象过定点，开口方向，对称轴，最值等，熟练掌握二次函数顶点式性质是解题的关键．
2．（2025•三原县二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），有下列说法：①当x＜0时，y随x的增大而减小；②若点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，则m＞n；③该函数的图象有最低点；④该函数图象的对称轴是直线x＝3．其中说法正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．②④D．①③
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后再根据二次函数的图象与性质进行判断．
【解答】解：由题意可得：1-b+c=-325+5b+c=-3，
解方程组可得：∴b=-4c=-8，
∴y＝x2﹣4x﹣8，
①∵二次函数y＝x2﹣4x﹣8中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵二次函数对称轴为x=-b2a=--42=2，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故①正确；
②∵点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，
当x＝0时，可得：m＝﹣8，
当x＝5时，可得：n＝52﹣4×5﹣8＝﹣3，
∴m＜n，故②错误；
③二次函数y＝x2﹣4x﹣8＝（x﹣2）2﹣12，则顶点坐标为（2，﹣12），且图象开口向上，
∴该函数的图象有最低点，故③正确；
④∵二次函数y＝x2﹣4x﹣8的对称轴为x=-b2a=--42=2，故④错误．
故选：D．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是把点（﹣1，﹣3），（5，﹣3）的坐标代入二次函数y＝x2+bx+c．
3．（2025•嵊州市模拟）如图，平面直角坐标系中有四个点E（﹣4，﹣4），F（﹣3，0），M（﹣2，﹣4），O（0，0），二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线y＝ax2+bx+c经过的三个点是（ ）
A．E，F，MB．E，F，OC．E，M，OD．F，M，O
【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，要使a最小，则a＜0，结合|a|越大，开口越小，故当a＜0时，开口小的那个a最小，结合图象即可判断得解．
【解答】解：由题意，要使a最小，则a＜0．
又如图，∵|a|越大，开口越小，
∴当a＜0时，开口小的那个a最小．
∴由图可知，过E、F、M三点的二次函数的a的值最小．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象和性质，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
4．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（ ）
A．3B．2C．0D．1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出s范围，进而选出符合条件的选项．
【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．
对称轴为直线x=m-4+2-m2=-1，
∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，
∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，
即2﹣（﹣1）＜|s﹣（﹣1）|，整理得|s+1|＞3．
∴当s+1≥0时，有s+1＞3，
解得s＞2；
当s+1＜0时，有﹣（s+1）＞3，
解得s＜﹣4．
综上，s＞2或s＜﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标的特征，有一定难度，能够判断出两点离对称轴距离的大小是解题的关键．
5．（2025•富锦市二模）小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为x cm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（ ）
A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）B．V＝x（20﹣x）（15﹣x）
C．V＝4x2（20﹣2x）D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据长方体的体积公式即可得出答案．
【解答】解：∵它的四个角都剪去一个边长为x cm的正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子，
∴长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm，高为x cm，
∴V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x．
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意确定长方体的长、宽、高，难度不大．
6．（2025•青山湖区三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）的图象与二次函数y＝bx2﹣ax的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数y＝ax+b中a、b的正负情况与二次函数y＝bx2﹣ax中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：A、由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知a＞0，b＞0，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，故选项B正确，符合题意；
C、由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，故选项C错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
7．（2025•西安一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝﹣2；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3；④当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=-4+02=-2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，即该抛物线的开口向下；结合抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3；结合图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1．
【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴为直线x=-4+02=-2，
故结论②正确；
由表格可知，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴该抛物线的开口向下，
故结论①不正确；
由表格可知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣1和﹣3，
故结论③正确；
∵该抛物线的开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣3，0），
∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞﹣1，
故结论④正确．
综上所述，正确的个数有3个．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2025•富锦市二模）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2，3），且过点（0，1），则函数解析式为（ ）
A．y=-12（x﹣2）2+3B．y=12（x﹣2）2+3
C．y＝﹣2（x+2）2+3D．y＝2（x+2）2+3
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为抛物线的顶点坐标为（2，3），
则令二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
将点（0，1）代入函数解析式得，
4a+3＝1，
解得a=-12，
所以二次函数的解析式为y=-12(x-2)2+3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．
9．（2025•永寿县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系；命题与定理．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴-b2a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：-b2a=-1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②错误；
③∵抛物线过点（1，0），
∴y＝a+b+c＝0，
∵b＝2a，
∴y＝3a+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．（2025•碑林区二模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．点（﹣4，5）在该函数图象上
C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小
D．函数的最小值为﹣3
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣3，0）、（0，﹣3）、（2，5）代入得：9a-3b+c=0c=-34a+2b+c=5，
解得a=1b=2c=-3，
所以解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
则抛物线开口向上，
当x＝﹣4时，y＝5，即（﹣4，5）在该函数图象上，
当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，函数的最小值为﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过（﹣2，0），（m，0）两点，且2＜m＜3．
下列五个结论：
①b＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③若抛物线经过点（﹣1，﹣1），则14＜a＜13；
④若关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，则2＜t＜3；
⑤点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞12，x1＜x2，总有y1＜y2，则2＜m≤52．
其中正确的结论是 ①③⑤ （填写序号）．
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】①③⑤．
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可．
【解答】解：由题意可得：a＞0，0＜m﹣2＜1，0＜m-22＜12，
∴-b2a＞0，
∴b＜0；
故①正确；
由题意可得：x＝﹣2，x＝m是方程ax2+bx+c＝0的两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0；
故②错误；
∵抛物线经过点（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1，
∵4a﹣2b+c＝0，
解得b＝3a﹣1，
∵0＜m-22＜12，
∴0＜-b2a＜12，
∴0＜﹣b＜a；
∴0＜1﹣3a＜a；
解得14＜a＜13，
故③正确；
∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，
∴2ax2+（2b+c）x＜0，
∴2ax2+（2b+c）x＝0的两个根为x＝0，x=-2b+c2a，
∵关于x的不等式2ax2+2bx＜﹣cx的解集为0＜x＜t，
∴t=-2b+c2a，
∵-b2a=m-22，
∴b＝a（2﹣m），
∴c＝2b﹣4a＝﹣2amb＝a（2﹣m），
∴t＝2m﹣2，
∴m=t+22，
∵2＜m＜3，
∴2＜t+22＜3，
∴2＜t＜4，
故④错误；
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，抛物线的对称轴为-b2a=m-22，x1+x2＞12，x1＜x2，总有y1＜y2，
∴x1+x22＞14，且14≥m-22，
解得m≤52，
∵2＜m＜3
∴2＜m≤52．
故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
12．（2025•南京模拟）在平面直角系xOy中，将抛物线C1：y＝ax2﹣2atx（a＞0）向右平移2个单位得到抛物线C2，点A(3t2，y1)在抛物线C1上，点B（x2，y2）在抛物线上，当t＝2a，5＜x2＜6时，总有，y1＞y2，则a的取值范围是 43≤a≤3 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】43≤a≤3．
【分析】先求得点A的坐标，进而求得C2的解析式，根据题意，分别求得x＝5和x＝6在C2上的函数值，即y2的值，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【解答】解：由题意可得：平移后，C2 的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣2at（x﹣2），
∵t＝2a，点 A(32t，y1) 在 C1 上，点 B（x2，y2） 在 C2 上，且 5＜x2＜6．
∴点 A 的横坐标为 xA=32t=32×2a=3a．代入C1的解析式，
得y1=a(3a)2-2a⋅2a⋅3a=a⋅9a2-4a2⋅3a=9a3-12a3=-3a3，
则代入t＝2a到C2的解析式，得y＝a（x﹣2）2﹣2a•2a•（x﹣2）
＝a（x2﹣4x+4）﹣4a2（x﹣2）
＝ax2﹣4ax+4a﹣4a2x+8a2
＝ax2+（﹣4a﹣4a2）x+（4a+8a2），
由题意可得：y2=ax22-4a(1+a)x2+4a(1+2a)．
条件5＜x2＜6时，y2（x） 的最大值小于 y1，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得：
当x＝5时，y2＝a•52+（﹣4a﹣4a2）•5+（4a+8a2）
＝25a﹣20a﹣20a2+4a+8a2
＝9a﹣12a2，
当x＝6时，y2＝a•62+（﹣4a﹣4a2）•6+（4a+8a2）
＝36a﹣24a﹣24a2+4a+8a2
＝16a﹣16a2，
∴9a-12a2≤-3a3(1)16a-16a2≤-3a3(2)，
且a＞0．
解不等式（1）：9a﹣12a2≤﹣3a3，
3a3﹣12a2+9a≤0，
3a（a2﹣4a+3）≤0，
3a（a﹣1）（a﹣3）≤0，
∵a＞0，
∴a（a﹣1）（a﹣3）≤0．
解得1≤a≤3．
解不等式（2）：16a﹣16a2≤﹣3a3，
即a（3a2﹣16a+16）≤0，
∵a＞0，
∴3a2﹣16a+16≤0，
∴43≤a≤4，
∴43≤a≤3．
故答案为：43≤a≤3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2025春•青秀区）已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含端点）只有一个交点，那么a的取值范围是 a＞2或a＜﹣1 ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】a＞2或a＜﹣1．
【分析】当x＝﹣1，y＝3a+2，当x＝2时，y＝5﹣3a，当交点在线段AB之间时，那么3a+2＞﹣1且5﹣3a＜﹣1，或者当3a+2＜﹣1时，5﹣3a＞﹣1，从而解得答案．
【解答】解：当x＝﹣1，y＝1+2a+a+1＝3a+2，
当x＝2时，y＝4﹣4a+a+1＝5﹣3a，
当交点在与线段AB（不含端点）之间时，当3a+2＞﹣1时，5﹣3a＜﹣1，
解得a＞2；
当3a+2＜﹣1时，5﹣3a＞﹣1，
解得a＜﹣1，
综上，a＞2或a＜﹣1，
故答案为：a＞2或a＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于a的不等式组是解题的关键．
14．（2025•工业园区一模）定义：如果一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图象的“倍值点”．例如，一次函数y＝x+1图象的“倍值点”为（1，2）．若关于x的二次函数y=(m-1)x2+mx+14m的图象上有唯一的“倍值点”，则m＝ 43 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】43．
【分析】根据题意得出关于x的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论．
【解答】解：由题意可知，（m﹣1）x2+mx+14m＝2x，
整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）x+14m＝0，
∵关于x的二次函数y=(m-1)x2+mx+14m的图象上有唯一的“倍值点”，
∴Δ＝（m﹣2）2﹣4×14m（m﹣1）＝0且m﹣1≠0，
解得m=43．
故答案为：43．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式等，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
15．（2025春•郑州）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度，在第一届青少年科技运动会上，某参赛小组在比赛场地从地面竖直向上发射水火箭，水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，则最大的高度为 （﹣45+3v0）m （用含v0的式子表示）．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（﹣45+3v0）m．
【分析】直接把t＝3代入h＝﹣5t2+v0t中计算求解即可．
【解答】解：∵水火箭被发射后3s距离地面的高度最大，
在h＝﹣5t2+v0t中，当t＝3时，h＝﹣5×32+3v0＝（﹣45+3v0）m，
故答案为：（﹣45+3v0）m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•永寿县模拟）如图，已知二次函数L：y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）抛物线L′与L关于坐标原点对称，则在L′上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；关于原点对称的点的坐标；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，(-1+342，-92)或(-1-342，-92)．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出B（3，0），得到AB＝4，由题意可得抛物线L′的解析式为y＝x2+2x﹣3，设P（x，x2+2x﹣3），结合S△ABP＝S四边形ACDB，得出12×4×|x2+2x-3|=9，计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意可得：
a-b-3a=0-3a=3，
解得a=-1b=2，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
作DE⊥x轴于E，连接BD，
在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
∴AB＝4，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），E（1，0），
∴E（1，0），CO＝3，DE＝4，OE＝1，BE＝2，
∵抛物线L′与L关于坐标原点对称，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2+2x﹣3，
设P（x，x2+2x﹣3），
∵S△ABP＝S四边形ACDB，则：
S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB=12×1×3+12(3+4)×1+12×2×4=9；
∴12×4×|x2+2x-3|=9，
当x2+2x-3=92时，x2+2x=152，即(x+1)2=172，
解得x=-1±342，
当x=-1+342时，y=(-1+342+1)2-4=92；当x=-1-342时，y=(-1-342+1)2-4=92；
当x2+2x-3=-92时，即(x+1)2=-12，
此方程无实数解；
∴符合条件的点P的坐标为：(-1+342，-92)或(-1-342，-92)．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17．（2025•泗阳县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们定义其“开口大小”如下：若存在一点P（x′，y′）在该抛物线上，满足x′﹣h＝y′﹣k≠0，其中（h，k）为抛物线的顶点，则称2|x′﹣h|为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数y＝3x2的顶点坐标为（0，0），在函数图象上取点P(13，13)，则有13-0=13-0，所以二次函数y＝3x2的开口大小为23，“标志点”为P(13，13)，根据上述材料，解决下列问题：
（1）抛物线y＝x2+4的开口大小是 2 ；
（2）对于抛物线y=12x2-3x+1，是否存在满足定义条件的“标志点”P？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请简要说明理由；
（3）已知某抛物线的“标志点”为（﹣2，5），且开口大小为4，求该抛物线的解析式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数综合题；压轴题．
【答案】（1）2；（2）存在，标志点P(5，-32)；（3）抛物线的解析式为y=12(x+4)2+3或y=-12x2+7．
【分析】（1）根据题意确定顶点坐标，再由标志点的定义得出x＝1，即可求解开口大小；
（2）设标志点P1（x1，y1）则y1=12x12-3x1+1，根据题意得出抛物线的顶点坐标为：(3，-72)，根据定义得出方程求解判断即可；
（3）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），根据题意得出|2+h|＝2，分两种情况分析：当2+h＞0时，当2+h＜0时，结合定义分别求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+4，
∴顶点坐标为（0，4），
∵P（x'，y'）在该抛物线上，满足x'﹣h＝y'﹣k≠0，
∴x'﹣0＝（x'）2+4﹣4，
解得：x'＝1或x'＝0（舍去），
当x'＝1时，y'＝1+4＝5，
∴开口大小为：2×|1﹣0|＝2，
故答案为：2；
（2）设标志点P1（x1，y1），则y1=12x12-3x1+1，
∵y=12x2-3x+1=12(x-3)2-72，
∴抛物线的顶点坐标为：(3，-72)，
∵标志点P（x'，y'）在该抛物线上，满足'x﹣h＝y'﹣k≠0，
∴x1-3=12x12-3x1+1-(-72)，
整理得：x12-8x1+15=0，
解得：x1＝3（不符合题意，舍去）或x1＝5，
当x1＝5时，y1=-32，
∴标志点P(5，-32)；
（3）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），
∵开口大小为4，“标志点”为（﹣2，5），
∴2|x'﹣h|＝2×|﹣2﹣h|＝4，
∴|2+h|＝2，
当2+h＞0时，2+h＝2，
∴h＝0，
此时﹣2﹣0＝5﹣k，
解得：k＝7，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+7，
将点（﹣2，5）代入得：5＝4a+7，
解得：a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+7，
当2+h＜0时，2+h＝﹣2，
∴h＝﹣4，
此时﹣2﹣（﹣4）＝5﹣k，
解得：k＝3，
∴抛物线的解析式为y＝a（x+4）2+3，
将点（﹣2，5）代入得：5＝4a+3，
解得：a=12，
∴抛物线的解析式为y=12(x+4)2+3；
综上可得：抛物线的解析式为y=12(x+4)2+3或y=-12x2+7．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，新定义的理解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
18．（2025•越秀区三模）【课题学习】
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，R1＝2Ω，R2＝3Ω，滑动变阻器的最大电阻R3＝5Ω，其等效电路图如图2所示，其中Rap+Rbp＝R3．
2．根据电路图连结实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从a端滑到b端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
（1）在素材1中，当l＝ 15 时，场地的面积S最大；
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由；
（3）电流表A表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）15；
（2）50×51和51×50的积最大，理由见解析；
（3）存在，最小值为2A．
【分析】（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为30﹣l，则有S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，结合二次函数的性质即可获得答案；
（2）设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，所以y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案；
（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，总电流为I，则有I=UR总=50(2+x)(8-x)，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25，结合二次函数的性质即可获得答案．
【解答】解：（1）根据题意，矩形一边长l，则另一边长为60÷2﹣l＝30﹣l，
所以，S＝l（30﹣l）＝﹣（l﹣15）2+225，
所以，当l＝15，场地的面积S最大，最大为225平方米；
故答案为：15；
（2）50×51和51×50的积最大，理由如下：
设其中一个因数为x，则另一个因数为101﹣x，
则y＝x（101﹣x）＝﹣x2+101x（1≤x≤100，且为正整数），
对称轴为x=-b2a=1012，因为x是正整数，且1≤x≤100，
所以x取50或51时，y最大为2550；
（3）设Rap＝xΩ，则Rbp＝（5﹣x）Ω，0≤x≤5，设总电流为I，
则I=UR总=U⋅(1R1+Rap+1R2+Rbp)=5⋅(12+x+13+5-x)=50(2+x)(8-x)，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设W＝（2+x）（8﹣x）＝﹣（x﹣3）2+25，
∵﹣1＜0，则抛物线W开口向下，且0≤x≤5，
∴当x＝3时，W取最大值为25，
此时I取最小值为5025=2A，两支路电阻分别为2+3＝5Ω和8﹣3＝5Ω，两支路电阻相等，
∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．
19．（2025•硚口区模拟）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），连接AC，D是抛物线第一象限上的一点，连接AD交y轴于点E；过点B作BF∥AC交AD于点F．若F是DE的中点，求点D的横坐标；
（3）如图（2），直线y＝t（t＞0）交抛物线于M，N两点，H（0，h）是y轴上的一点（h＜t），延长NH，MH分别交抛物线于P，Q两点，连接MP，NQ．设点M的横坐标为m（m＜0），若S△QNH＝4S△PMH，求m值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）点D的横坐标是4；
（3）m＝﹣2．
【分析】（1）由抛物线y＝x2﹣2x﹣3得，当y＝0时求出x1＝﹣1，x2＝3，当x＝0时，y＝3，从而可得A、B、C三点的坐标；
（2）过D、F分别作x轴的垂线，垂足分别是G、R，则EO∥FR∥DG，所以EFFD=ORRG，求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BF的解析式为y＝﹣3x+9，设D（d，d2﹣2d﹣3），则F(d2，-3d2+9)，再求出直线AD解析式为y＝（d﹣3）x+d﹣3，将点F坐标代入即可求解d1＝﹣6；
（3）由H（0，h），M（m，t），设直线MQ解析式为y＝qx+h，直线NP解析式为y＝px+h，由t＝qm+h，t＝（2﹣m）p+h，则qm+h＝（2﹣m）p+h，故pq=m2-m，联立直线y＝qx+h与抛物线y＝x2﹣2x﹣3，得x2﹣2x﹣3＝qx+h，故有xMxQ＝﹣3﹣h，即xQ=-3-hm，同理可得xP=-3-h2-m，故xPxQ=m2-m，由S△QNH＝4S△PMH，得4m2＝（2﹣m）2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）过D、F分别作x轴的垂线，垂足分别是G、R，
则EO∥FR∥DG，
∴EFFD=ORRG，
∵DF＝EF，
∴OR=RG=12OG，
设直线AC解析式为y＝k2x+b2，
由题意可得：
-k2+b2=0b2=-3，
∴k2=-3b2=-3，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵AC∥BF，
∴设直线BF的解析式为y＝﹣3x+b，
∵B（3，0），
∴b＝9，
∴直线BF的解析式为y＝﹣3x+9，
设D（d，d2﹣2d﹣3），则F(d2，-3d2+9)，
设直线AD的解析式为y＝kx+b1，
代入A、D坐标得k-b1=0kd+b1=d2-2d-3，
解得k=d-3b1=d-3，
∴直线AD解析式为y＝（d﹣3）x+d﹣3，
将点F坐标代入得解得d1＝﹣6（不符合提议，舍去），d2＝4，
∴点D的横坐标是4；
（3）由H（0，h），M（m，t），
设直线MQ解析式为y＝qx+h，直线NP解析式为y＝px+h，
∵MN∥x轴，
∴N（2﹣m，t），
∴M、N分别在直线MQ、NP上，
∴t＝qm+h，t＝（2﹣m）p+h
∴qm+h＝（2﹣m）p+h，故pq=m2-m，
∴联立两式x2﹣2x﹣3＝qx+h，
∴x2﹣（2+q）x﹣3﹣h＝0，
∴xMxQ＝﹣3﹣h，即xQ=-3-hm，
同理可得xP=-3-h2-m，故xPxQ=m2-m，
∵S△MHPS△NQH=S△MPN-S△MHNS△MQN-S△MHN=(t-yP)-(t-yH)(t-yQ)-(t-yH)=-pxp-h+h-qxQ-h+h=pxpqxQ=pq×xPxQ，
∴S△MHPS△NQH=m2(2-m)2，
由题意可得：4m2＝（2﹣m）2，
∴m＝﹣2或m=23，
∵m＜0，
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数的性质，二次函数与面积，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键．
20．（2025•嵊州市模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m（m为常数）．
（1）当m＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若点A（x1，y1），其中m﹣3≤x1≤m+1．
①若y1的最大值是1，求m的值；
②若点B（x2，y2）也在抛物线上，且x2＝2﹣3m，对于x1，x2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（1，1）；
（2）①8；②m＞54或m＜-14．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）①利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x1＝m﹣3时，y1取得最大值，即（m﹣3﹣m）2+m＝1，解得m＝﹣8；
②设点A（x1，y1）关于对称轴的对称点为（x0，y1），则m﹣1≤x0≤m+3，结合①即可得出2﹣3m＜m﹣3或2﹣3m＞m+3，解得m＞54或m＜-14．
【解答】解：（1）当m＝1时，二次函数为y＝x2﹣2x+2，
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，1）；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
①∵点A（x1，y1）在抛物线上，其中m﹣3≤x1≤m+1，
∴x1＝m﹣3时，y1取得最大值，
∴（m﹣3﹣m）2+m＝1，
解得m＝﹣8；
②设点A（x1，y1）关于对称轴的对称点为（x0，y1），
则m﹣1≤x0≤m+3，
∵点B（x2，y2）也在抛物线上，且x2＝2﹣3m，对于x1，x2，都有y1＜y2，
∴2﹣3m＜m﹣3或2﹣3m＞m+3，
∴m＞54或m＜-14．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，明确二次函数的增减性是解题的关键
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣3
m
1
0
﹣3
…
x
…
﹣5
﹣3
0
2
4
…
y
…
12
0
﹣3
5
21
…
名称
内容
备注
素材1
用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．
课本例题
素材2
观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1
课本数学活动
素材3
串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：
并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；
电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．
物理学知识
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
﹣3
m
1
0
﹣3
…
x
…
﹣5
﹣3
0
2
4
…
y
…
12
0
﹣3
5
21
…
名称
内容
备注
素材1
用总长60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．
课本例题
素材2
观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
1×100，2×99，3×98，4×97，…，99×2，100×1
课本数学活动
素材3
串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：
并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；
电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．
物理学知识