2026中考数学高频考点一轮复习：图形的对称（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：图形的对称（试题含解析），共33页。

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．（2025春•南宁）如图a，四边形ABCD是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．97°B．105°C．110°D．111°
3．（2025春•郑州）三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025春•郑州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC边上的高AD＝7，E是AD边上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（ ）
A．3.5B．5C．7D．10
5．（2025•正阳县三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（ ）
A．1种B．2种C．4种D．无数种
6．（2025•惠山区三模）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2﹣2与x轴交于点A，B，顶点为M，点P为对称轴上一动点，PA+55PM的最小值为（ ）
A．455B．255C．5D．1
7．（2025•金东区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持AQ＝BP，连结CP，BQ，则BQ+CP的最小值是（ ）
A．11B．97C．311D．8
8．（2025春•番禺区）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．25B．3C．23D．3
9．（2025•金平区一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，BC=13，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．73B．94C．136D．52
10．（2025•临川区二模）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
二．填空题（共5小题）
11．（2025•永寿县模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E，F分别是AD，BC边上的动点，且CF＝2AE，将四边形ABFE沿EF翻折到四边形GHFE，则CH的最小值为 ．
12．（2025•南岗区三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M是边CD上一点，且DM＝2，点E、H分别在AD、BC上，AE＝3，点P是EH上一动点，tan∠DEH＝2，则DP+MP的最小值为 ．
13．（2025•孝感模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝9．点D在AB上，且AD＝2BD，点E在AC上，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点F处，若EF∥BC，则：
（1）∠DEC＝ ；
（2）EF的长为 ．
14．（2025春•崇明区）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是边AB上一动点，联结CP，将△BCP沿着CP翻折后得到△ECP，若EP、EC与边AD分别交于点F、G，且AF＝EF，则AP的长为 ．
15．（2025春•泰州）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•连江县）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为2×12，其边长2就是原边长为1小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2×22，其边长为22就是原边长为2小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2a2，其边长 就是原边长为a的小正方形的对角线长；
材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸…，如图2．
将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽＝ ．
请根据材料回答下列问题：
（1）补全材料一、材料二探究过程中①②所缺内容；
（2）按照图2的A系列纸生成过程，请求出A0纸的长与宽的比；
（3）估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2≈1.414，0.7072≈0.841）
17．（2025春•开鲁县）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形AOCB．
（1）如图1，若点C（0，5），A（13，0），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处．
①点E的坐标为： ；②线段DE的长为： ；
（2）如图2，若点C（0，3），∠AOB＝30°，点F是BC边上的动点，过点F作OB的垂线交直线OB于点H，交直线OA于点G，求OF+FG+GB的最小值．
18．（2025春•临沭县）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路AB，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知AC＝15km，CD＝12km，AD＝9km．
（1）试通过计算说明CD长是工厂C到公路AB的最短距离；
（2）若AB＝BC，求工厂C到B市的距离．
19．（2025春•鼓楼区）如图，网格图中，△ABC在∠MON外，∠MON＝45°．（说明：必须用2B铅笔作图）
（1）在网格图中，画出△ABC关于ON的轴对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于OM的轴对称图形△A2B2C2；
（2）在（1）的条件下，若△A2B2C2可以看作是由△ABC一次性运动变换得来的，试说明该如何进行运动变换？
（3）在射线ON上找一点F，使∠BAF＝∠B1．
20．（2025春•洛宁县）如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．以下所画图形的顶点均在格点上，且用实线涂描．
（1）在图①中画出△ABC的边AC上的中线BD．
（2）在图②中，画出一个与△ABC关于直线BC成轴对称的格点三角形．
（3）在图③中，请在格点上找一点E，作△ABE，使得△ABE中一个角等于∠1．
中考数学一轮复习 图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•凤阳县）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E，F分别在边AB，CD上．将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M，点C落在点N处，连接MB交EF于点P，连接BF．下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，EF=10；③△MPF面积的最小值是94；④BP＝BC中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】证明△MFP≌△BEP，MF＝BE，可判断①；点M与点D重合时，设AE＝x，则DE＝BE＝9﹣x，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得BE＝5，再根据勾股定理以及菱形的性质可得EF的长，可判断②；根据题意可得当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形，可判断③；无法判断△BCF和△BPF全等，故无法判断BP与BC相等，可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BMF＝∠EBM，∠EFM＝∠FEB，
有折叠的性质得：ME＝BE，MF＝BE，EF⊥BM，BP＝MP，
在△MFP和△BEP中，
MF=BE∠FMP=∠EBPMP=BP，
∴△MFP≌△BEP（SAS），
∴MF＝BE，
∴四边形MFBE是菱形，故①正确；
点M与点D重合时，
设AE＝x，则DE＝BE＝9﹣x，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2，
∴32+x2＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴BE＝5，
∵BD=AD2+AB2=32+92=310，四边形MFBE是菱形，
∴BP=12BD=3102，EF=2EP，∠BPE=90°，
∴EP=BE2-BP2=52-(3102)2=102，
∴EF=2×102=10，故②正确；
如图，当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形，
此时S△MPF=14S正方形CBEM=14×3×3=94，故③正确；
在△BCF和△BPF中，∠C＝∠BPF＝90°，BF＝BF，
根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断△BCF和△BPF全等，故无法判断BP与BC相等，所以④错误；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2025春•南宁）如图a，四边形ABCD是长方形纸带，∠DEF＝23°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．97°B．105°C．110°D．111°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；多边形内角与外角．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行的性质得到图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，再根据翻折的性质得到图b中∠FEG＝23°，故可得∠FGD＝46°，再利用翻折和平行线的性质算出图c的∠CFG＝134°，即可解答．
【解答】解：由长方形纸带可得AD∥BC，
∴图a中∠EFB＝∠DEF＝23°，
根据翻折的性质，可得到图b中∠FEG＝23°，
∴∠FGD＝180°﹣∠EGF＝∠GEF+∠GFE＝46°，
∵CD∥FC，
∴∠GFC＝180°﹣∠FGD＝134°，
根据翻折的性质，可得图c中∠CFG＝134°，
∴∠EFC＝∠GFC﹣∠EFG＝134°﹣23°＝111°，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，熟练掌握翻折变换，弄清各个角的关系是解题的关键．
3．（2025春•郑州）三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念逐项分析判断如下：
A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．沿一条直线对折，图形的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．
4．（2025春•郑州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC边上的高AD＝7，E是AD边上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（ ）
A．3.5B．5C．7D．10
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先连接CE，CF，再根据EB＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，如图，连接CE，CF，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD是BC边上的高，
∴AD是BC边上的中线，即AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴BE+EF＝CE+EF≥CF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC值最小，最小值为CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴CF＝AD＝7，
∴EF+BE的最小值为7，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
5．（2025•正阳县三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（ ）
A．1种B．2种C．4种D．无数种
【考点】剪纸问题；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】它是中心对称图形，经过正方形的对称中心作互相垂直的两条线段，这两条线段把正方形分成的四部分面积相等．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，则点O是正方形的对称中心；
则沿AC，BD裁剪，分成面积相等的四部分；
当EF，GH过点O，且EF⊥GH时，也分成面积相等的四部分；
∴只要沿着过正方形中心O裁剪，且裁剪的两刀相互垂直，则可以分成面积相等的四部分，
∴裁剪方案有无数种；
故选：D．
【点评】本题考查了剪纸问题，正方形性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质．
6．（2025•惠山区三模）如图，抛物线y＝2（x﹣2）2﹣2与x轴交于点A，B，顶点为M，点P为对称轴上一动点，PA+55PM的最小值为（ ）
A．455B．255C．5D．1
【考点】胡不归问题；二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】A
【分析】先求出A，B，M的坐标，连接BM，作PQ⊥BM，通过三角函数将55PM转化为PQ，然后根据垂线段最短求解即可．
【解答】解：∵M为顶点，
∴M（2，2），
令y＝0，则x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
连接BM，作PQ⊥BM于Q，对称轴与x轴交于点C，如图：
∴C（2，0），
∴BC＝1，CM＝2，AB＝2，
∴BM=5，
∴sin∠CMB=55，sin∠CBM=255，
∵PQ⊥BM，
∴PQ＝PMsin∠CMB=55PM，
∴PA+55PM＝PA+PQ，
∴当P，A，Q共线时，PA+PQ最小，
此时，AQ⊥BM，
∴AQ＝ABsin∠CBM=455．
故选：A．
【点评】本题主要考查了考查了胡不归问题，通过三角函数转化55PM是本题解题的关键．
7．（2025•金东区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持AQ＝BP，连结CP，BQ，则BQ+CP的最小值是（ ）
A．11B．97C．311D．8
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过B作BD∥AC并截取BD＝AC，过A作AE⊥CB于E，过D作 DF⊥BC于F，证明△BDP≌△ABQ，得出DP＝BQ，则BQ+CP＝DP+CP≥CD，故当C、P、D三点共线时，BQ+CP取最小值为CD，根据三线合一的性质求出CE=12BC=3根据勾股定理求出AE＝4，证明△BDF≌△CAE，得出DF＝AE＝4，BF＝CE＝3，最后在Rt△CDF中根据勾股定理求解即可．
【解答】解：过B作BD∥AC并截取BD＝AC，过A作AE⊥CB于E，过D作DF⊥BC于F，
∴∠DBP＝∠BAQ，
∵AB＝AC＝5，BD＝AC，
∴BD＝AB，又BP＝AQ，
∴△BDP≌△ABQ（SAS），
∴DP＝BQ，
∴BQ+CP＝DP+CP≥CD，当C、P、D三点共线时，BQ+CP取最小值为CD，
∵AB＝AC＝5，AE⊥CB，BC＝6，
若CE=12BC=3，AE=AC2-CE2=4，
∵BD∥AC，
∴∠DBF＝∠ACE，
∵AE⊥CB，DF⊥BC，
∴∠F＝∠AEC＝90°，
又∵BD＝AC，
∴△BDF≌△CAE（AAS），
∴DF＝AE＝4，BF＝CE＝3，
∴CF＝BF+BC＝9，
∴CD=DF2+CF2=97，
即BQ+CP 的最小值是97，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，
8．（2025春•番禺区）如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．25B．3C．23D．3
【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=12∠ADC＝60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值＝DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BAD=12∠ADC=12×120°＝60°，
∵AB＝AD（菱形的邻边相等），
∴△ABD是等边三角形，
连接DE，
∵B、D关于对角线AC对称，
∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值＝DE，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵菱形ABCD周长为16，
∴AD＝16÷4＝4，
∴DE=32×4＝23．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．
9．（2025•金平区一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，BC=13，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．73B．94C．136D．52
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】先由折叠的性质得出AB＝AD＝2，ED＝EC，∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，推出∠ADE＝90°，再由勾股定理求出AC＝3，设AE＝x，则CE＝ED＝3﹣x，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：由折叠的性质得：AB＝AD＝2，ED＝EC，∠ADB＝∠B，∠EDC＝∠C，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=BC2-AB2=(13)2-22=3，
设AE＝x，则CE＝ED＝3﹣x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+ED2＝AE2，
即22+（3﹣x）2＝x2，
解得：x=136，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
10．（2025•临川区二模）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】作图题；平移、旋转与对称．
【答案】B
【分析】利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案．
【解答】解：图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形，如图所示：
则点D的个数是4，
故选：B．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2025•永寿县模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E，F分别是AD，BC边上的动点，且CF＝2AE，将四边形ABFE沿EF翻折到四边形GHFE，则CH的最小值为 435-432 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】435-432．
【分析】连接AC交EF于点O，连接OB、OH，由△AOE∽△COF得AOCO=AECF=12，可知EF始终经过定点O，又由折叠得OH＝OB，即可得点H在以点O为圆心，OB为半径的圆上，当点O、H、C三点共线时，CH的值最小，过点O作OM⊥BC于M，利用矩形和相似三角形的性质求出OH、OC的长即可求解．
【解答】解：连接AC交EF于点O，连接OB、OH，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，BC＝AB＝4，∠ABC＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴AOCO=AECF=12，
∴EF始终经过定点O，
∵将四边形ABFE沿EF翻折到四边形GHFE，
∴OH＝OB，
∴点H在以点O为圆心，OB为半径的圆上，
当点O、H、C三点共线时，CH的值最小，如图2，过点O作OM⊥BC于M，
则OM∥AB，
∴CMBM=COAO=2，
∵BM+CM＝BC＝4，
∴BM=43，CM=83，
∵OM∥AB，
∴△COM∽△CAB，
∴OMAB=COCA，
∵AOCO=12，
∴COCA=23，
∴OM2=23，
∴OM=43，
在直角三角形BOM中，由勾股定理得：OH=OB=OM2+BM2=(43)2+(43)2=432，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=22+42=25，
∴OC=23AC=435，
∴CH=OC-OH=435-432，
即CH的最小值为435-432，
故答案为：435-432．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
12．（2025•南岗区三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点M是边CD上一点，且DM＝2，点E、H分别在AD、BC上，AE＝3，点P是EH上一动点，tan∠DEH＝2，则DP+MP的最小值为 217 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；解直角三角形；勾股定理；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】217．
【分析】在AB上取一点R使得AR＝4，连接ER，DR，PR，MR，解Rt△ADR得到tan∠ARD=ADAR=2，则∠DEH＝∠ARD，即可证明EH⊥DR；利用勾股定理可得ER＝ED＝5，则EH垂直平分RD，可得PD＝PR，即可得到当R、P、M三点共线时，RP+MP有最小值，即此时DP+MP有最小值，最小值为RM的长；过点R作RQ⊥CD于Q，则四边形ARQD是矩形，可得QR＝AD＝8，QD＝AR＝4，求出QM＝QD﹣DM＝2，则RM=QR2+QM2=217，DP+MP的最小值为217，
【解答】解：正方形ABCD的边长为8，如图，在AB上取一点R使得AR＝4，连接ER，DR，PR，MR，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝8，
∵AE＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5，
在Rt△ADR中，tan∠ARD=ADAR=2，
∵tan∠DEH＝2，
∴tan∠DEH＝tan∠ARD，
∴∠DEH＝∠ARD，
∴∠DEH+∠ADR＝∠ARD+∠ADR＝90°，
∴EH⊥DR；
在直角三角形AER中，由勾股定理得：ER=AR2+AE2=5，
∴ER＝ED，
∴EH垂直平分RD，
∴PD＝PR，
∴DP+MP＝RP+MP，
∴当R、P、M三点共线时，RP+MP有最小值，即此时DP+MP有最小值，最小值为RM的长，
过点R作RQ⊥CD于Q，则四边形ARQD是矩形，
∴QR＝AD＝8，QD＝AR＝4，
∴QM＝QD﹣DM＝2，
在直角三角形QRM中，由勾股定理得：RM=QR2+QM2=217，
∴DP+MP的最小值为217，
故答案为：217．
【点评】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
13．（2025•孝感模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝6，CA＝9．点D在AB上，且AD＝2BD，点E在AC上，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在点F处，若EF∥BC，则：
（1）∠DEC＝ 45° ；
（2）EF的长为 2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）45°，
（2）2．
【分析】（1）利用折叠性质（角平分线）、平行线性质（同位角相等），结合平角、直角的角度关系推导．
（2）通过折叠性质转化线段（EF＝AE ），作辅助线构造相似三角形，利用相似性质表示线段长度，再结合等腰直角三角形的边相等关系列方程求解．
【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠C＝90°，
∴∠FEC＝∠C＝90°．
由题意可得：∠AED＝∠FED．
∴∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝180°﹣∠FEC＝90°．
∴∠AED=∠FED=360°-90°2=135°
∴∠DEC＝180°﹣135°＝45°．
故答案为：45°；
（2）设AE＝EF＝x，则EC＝AC﹣AE＝9﹣x（AC＝9为已知条件 ）．
过点D作DH⊥AC于点H．
∵AD＝2BD，
∴AD：AB＝2：（2+1）＝2：3．
由于DH⊥AC，BC⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC
∴DHBC=AHAC=ADAB=23．
∵BC＝6，AC＝9，
∴DH=23×6=4，AH=23×9=6．
∴EH＝AH﹣AE＝6﹣x
∵∠DEC＝45°，且∠DHE＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴DH＝EH．
即4＝6﹣x，
∴x＝2，
∴EF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了折叠性质（对应边、角相等）、平行线性质（同位角相等）、相似三角形的判定与性质（平行判定相似、对应边成比例）、等腰直角三角形的判定与性质（角度判定、边的等量关系），综合考查几何图形的性质与逻辑推导．解题关键是抓住折叠产生的角平分线，结合平行线构造的直角，通过角的和差推导∠DEC．
14．（2025春•崇明区）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是边AB上一动点，联结CP，将△BCP沿着CP翻折后得到△ECP，若EP、EC与边AD分别交于点F、G，且AF＝EF，则AP的长为 35 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】35．
【分析】由矩形的性质可得∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，由折叠的性质可得CE＝BC＝4，PB＝PE，∠E＝∠B＝90°，证明△AFP≌△EFG（ASA）得到EG＝AP，PF＝GF，则可证明AG＝PE，设AP＝EG＝x，则AG＝PE＝PB＝3﹣x，CG＝CE﹣EG＝4﹣x，DG＝AD﹣AG＝x+1，由勾股定理得（4﹣x）2＝32+（x+1）2，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4；
由折叠的性质可得CE＝BC＝4，PB＝PE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠A，
在△AFP和△EFG中，
∠A=∠EAF=EF∠AFP=∠EFG，
∴△AFP≌△EFG（ASA），
∴EG＝AP，PF＝GF，
∴AF+GF＝PF+EF，即AG＝PE，
设AP＝EG＝x，则AG＝PE＝PB＝3﹣x，
∴CG＝CE﹣EG＝4﹣x，DG＝AD﹣AG＝x+1，
在Rt△CDG中，由勾股定理得CG2＝CD2+DG2，
∴（4﹣x）2＝32+（x+1）2，
解得x=35，
∴AP=35，
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
15．（2025春•泰州）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为 6013 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】6013．
【分析】连接AP，根据垂直平分线的性质得到AP＝BP，则有BP+PH＝AP+PH≥AH，分析可知当A，P，H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，此时AH是Rt△ABC的高，再利用等面积法即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，BC＝13，如图，连接AP，
∵EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，
∴AP＝BP，
∴BP+PH＝AP+PH≥AH，
∴当A，P，H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，
∵PH⊥BC，A，P，H三点共线，
∴此时AH是Rt△ABC的高，
∴AH=AB⋅ACBC=5×1213=6013，
∴BP+PH的最小值为6013．
故答案为：6013．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，利用垂直平分线的性质转化BP是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•连江县）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为2×12，其边长2就是原边长为1小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2×22，其边长为22就是原边长为2小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为a的小正方形用同样方法剪拼，所得到的大正方形面积为2a2，其边长 2a 就是原边长为a的小正方形的对角线长；
材料二：按照国际标准，A系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸…，如图2．
将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长：宽＝ 2：1 ．
请根据材料回答下列问题：
（1）补全材料一、材料二探究过程中①②所缺内容；
（2）按照图2的A系列纸生成过程，请求出A0纸的长与宽的比；
（3）估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，2≈1.414，0.7072≈0.841）
【考点】图形的剪拼．
【专题】展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①2a，②2：1；
（2）2：1；
（3）A0纸的长为1189mm，宽为841mm．
【分析】（1）①理解题意解答即可；根据图中的折叠信息获取长和宽的值作比即可；
（2）设A4纸的长为m，宽为n，则A44纸的长：宽=m：n=2：1，根据比值关系列式求解即可．
（3）设AO纸的宽为xm，则长为2xm，则x×2x=1运算求解即可．
【解答】解：（1）①解把两个边长为a的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为2a2，其边长为2a就是原边长为a的小正方形的对角线长；
②由图可得折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，若折叠时正方形的边长为a，则斜边为2a，
因此这个矩形的长为2a宽为a，
则长：宽 =2a：a=2：1；
故答案为：①2a，②2：1；
（2）设A4纸的长为m，宽为n，则A4纸的长：宽=m：n=2：1，
由A系列纸生成过程可知，A2纸长为2m，宽为2n，A0纸的长为4m，宽为4n．
所以A0纸的长：宽＝4m：4n＝m：n＝2：1；
（3）设A0纸的宽为x m，则长为2x m，依题意得x×2x=1 x2=12 A2≈1.414，
x2≈0.7072，
x≈±0.7072≈±0.841（负的不合题意，舍去），
∴x≈0.841m＝841mm，2x=1.414×841mm≈1189mm，
答：A0纸的长为1189mm，宽为841mm．
【点评】本题考查了图形的剪拼，合理从题中获取相关信息是解题的关键．
17．（2025春•开鲁县）在平面直角坐标系xOy中，已知矩形AOCB．
（1）如图1，若点C（0，5），A（13，0），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处．
①点E的坐标为： （12，0） ；②线段DE的长为： 2.6 ；
（2）如图2，若点C（0，3），∠AOB＝30°，点F是BC边上的动点，过点F作OB的垂线交直线OB于点H，交直线OA于点G，求OF+FG+GB的最小值．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）①（12，0）；②2.6；
（2）6．
【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠得到BD＝DE，BC＝CE＝13，∠ABC＝∠CED＝90°，根据勾股定理可得OE＝12，即可求出点E的坐标；
②设BD＝DE＝x，则AD＝5﹣x，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可；
（2）作O关于BC的对称点M，作B关于x轴的对称点N，连接FM，GN，MN，则OC=CM=3，AB=AN=3，FM＝OF，GB＝GN，OF+FG+GB＝MF+FG+GN≥MN，当G、F、H都在线段MN上时，OF+FG+GB＝MN 最小，此时证明△MOH≌△NBH（AAS），得到OH=BH=12OB=3，HM＝HN，利用勾股定理求出HM＝HN＝3即可．
【解答】解：（1）①∵矩形AOCB，C（0，5），A（13，0），
∴OC＝AB＝5，BC＝OA＝13，∠ABC＝∠BAO＝90°，
∵将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上的点E处，
∴BD＝DE，BC＝CE＝13，∠ABC＝∠CED＝90°，
∴OE=CE2-OC2=132-52=12，
∴AE＝OA﹣OE＝13﹣12＝1，E（12，0），
故答案为：（12，0）；
②设BD＝DE＝x，则 AD＝AB﹣BD＝5﹣x，
在Rt△ADE 中，AD2+AE2＝DE2，
∴（5﹣x）2+12＝x2，
解得x＝2.6，
∴DE＝x＝2.6，
故答案为：2.6；
（2）∵矩形AOCB，点C(0，3)，∠AOB＝30°，
∴OC=AB=3，OB=2OC=23，∠AOB＝∠OBC＝30°，AB∥OC，
作O关于BC的对称点M，作B关于x轴的对称点N，连接FM，GN，MN，
∴OC=CM=3，AB=AN=3，FM＝OF，GB＝GN，
∴OF+FG+GB＝MF+FG+GN≥MN，
∴当G、F、H都在线段MN上时，OF+FG+GB＝MN最小，
∵过点F作OB的垂线交直线OB于点H，
∴MN⊥OB，
∵AB∥OC，
∴∠M＝∠N，
∵OM=BN=23，∠MHO＝∠NHB，
∴△MOH≌△NBH（AAS），
∴OH=BH=12OB=3，HM＝HN，
∴HM=HN=OM2-OH2=(23)2-(3)2=3，
∴OF+FG+GB最小值为MN＝MH+HN＝3+3＝6．
【点评】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，轴对称的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
18．（2025春•临沭县）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路AB，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知AC＝15km，CD＝12km，AD＝9km．
（1）试通过计算说明CD长是工厂C到公路AB的最短距离；
（2）若AB＝BC，求工厂C到B市的距离．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理的应用．
【专题】三角形．
【答案】（1）见解析；（2）12.5km．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明CD⊥AB即可；
（2）设AB＝BC＝x，则BD＝AB﹣AD＝（x﹣9）km，利用勾股定理，建立等式解方程即可．
【解答】解：（1）∵AC＝15km，CD＝12km，AD＝9km，
且AC2＝152＝122+92＝CD2+AD2，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
根据垂线段最短，
∴CD长是工厂C到公路AB的最短距离；
（2）设AB＝BC＝x，则 BD＝AB﹣AD＝（x﹣9）km，
根据勾股定理，得x2＝（x﹣9）2+122，
解得x＝12.5，
答：工厂C到B市的距离为12.5km．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．（2025春•鼓楼区）如图，网格图中，△ABC在∠MON外，∠MON＝45°．（说明：必须用2B铅笔作图）
（1）在网格图中，画出△ABC关于ON的轴对称图形△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于OM的轴对称图形△A2B2C2；
（2）在（1）的条件下，若△A2B2C2可以看作是由△ABC一次性运动变换得来的，试说明该如何进行运动变换？
（3）在射线ON上找一点F，使∠BAF＝∠B1．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【答案】（1）见解析；
（2）△A2B2C2可以看作是△ABC由绕着点O逆时针旋转90°得到的；
（3）见详解．
【分析】（1）作出A、B、C三点关于ON的对称点A1，B1，C1和关于OM对称图形△A2B2C2．
（2）根据旋转的性质即可得出结论．
（3）作BC的平行线AH，延长AH交ON于点F，点F即为所求．
【解答】解：（1）△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作；
（2）△A2B2C2可以看作是△ABC由绕着点O逆时针旋转90°得到的．
（3）如图，点F即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握对称轴的性质．
20．（2025春•洛宁县）如图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．以下所画图形的顶点均在格点上，且用实线涂描．
（1）在图①中画出△ABC的边AC上的中线BD．
（2）在图②中，画出一个与△ABC关于直线BC成轴对称的格点三角形．
（3）在图③中，请在格点上找一点E，作△ABE，使得△ABE中一个角等于∠1．
【考点】作图﹣轴对称变换；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）取AC的中点D，连接BD即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）过点A作CD的平行线，所经过的格点为点E，连接BE，则△ABE即为所求．
【解答】解：（1）如图①，BD即为所求．
（2）如图②，△DBC即为所求．
（3）如图③，过点A作CD的平行线，所经过的格点为点E，连接BE，
此时∠BAE＝∠1，
则△ABE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的角平分线、中线和高、平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质、三角形的中线的定义、平行线的性质是解答本题的关键．