2022年中考数学复习训练题（含解析）----图形的对称

这是一份2022年中考数学复习训练题（含解析）----图形的对称，共56页。
2022年中考数学复习新题速递之图形的对称（2022年5月）
一．选择题（共10小题）
1．（2022•河东区一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A．最 B．美 C．逆 D．行
2．（2022•周村区一模）若点M（1﹣2m，m﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022春•青山区期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（　　）

A．4﹣5 B．3 C．4﹣ D．4+
4．（2022春•云梦县期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（　　）

A．56° B．58° C．60° D．62°
5．（2022•张家口一模）如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，α＝45°，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若PA＝3，则点Q到n的距离为（　　）

A．2 B．3 C．2或8 D．3或8
6．（2022春•金华期中）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2，则B′D的长是（　　）

A．2 B． C．2 D．2
7．（2022春•中山市期中）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折叠DE分别交AB、AC于E、G，连接GF，下列结论：①∠FGD＝112.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四边形AEFG是菱形，其中正确的结论有（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③
8．（2022•南宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝BC，点F是AC边上一点．将△BCF沿直线BF翻折得到△BC'F，C'B交AC与点E．连接C'C，若C'F⊥AC，则＝（　　）

A． B． C． D．
9．（2022•宜春模拟）如图1是由20个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是20的大正方形，则（　　）

A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以
10．（2022•大连模拟）如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB'C，再将△AB′C沿AB'所在的直线翻折得到△AB'C'，点B，B'，C'在同一条直线上，∠BAC＝α，由此给出下列说法：①△ABC≌△AB′C′．②AC⊥BB'．③∠CB′B＝2α．其中正确的说法是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共15小题）
11．（2022春•宁海县期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为 　 　．

12．（2022春•青羊区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P1（a﹣1，6）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为 　 　．
13．（2022•黄岛区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到△EC′F，连接AC′，则AC′的最小值是　 　．

14．（2022•青岛一模）如图，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是 　 　．

15．（2022春•容县期中）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝8，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 　 　．

16．（2022•青海一模）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 　 　cm．

17．（2022•澄城县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，点E是AD上一点，DE＝1，F是BC上一动点，P、Q分别是EF、AE的中点，则PE+PQ的最小值为 　 　．

18．（2022春•建阳区期中）如图，在▱ABCD，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为a，若△FCB的周长为b，则线段CF的长为 　 　．（其中a＜b，答案用含a，b的式子来表示．）

19．（2022春•闵行区校级期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，则∠1+∠2＝　 　度．

20．（2022•温江区模拟）在Rt△ABC中，斜边AB＝2，∠A＝30°，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE+CE的最小值为 　 　．

21．（2022春•长沙期中）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为CD、BC的中点，AE和DF相交于点G；如图2所示，将图1中边长为4的正方形ABCD折叠，使得点D落在边BC的中点D'处，点A落在点A'处，折痕为MN．现有四个结论：

图1中：①AE＝DF；②AE⊥DF；③DG＝；
图2中：④MN＝2．
其中正确的结论有：　 　．（填序号）

22．（2022春•洪山区期中）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB＝，则AM＝　 　．

23．（2022•宜春模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，CD＝9，折叠纸片，使点D刚好落在线段AB上，且折痕分别与AB，CD相交，设折叠后点A，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与AB，CD相交于点E，F，则线段CF的整数值可以为 　 　．

24．（2022•瓯海区一模）图1是一张矩形折纸，其中图形①，③，⑤分别与图形②，④，⑥关于AB所在的直线成轴对称，现沿着虚线剪开，部分剪纸拼成不重叠、无缝隙的正方形（如图2），若正方形边长为9，图2中所标注的d1的值为6，d2的值为整数，则图1中矩形的宽为 　 　，矩形的长为 　 　．

25．（2022•即墨区一模）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB＝3，BE＝1，则DH＝　 　．

三．解答题（共5小题）
26．（2022春•广丰区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，G，H分别是AD，BC边上的点，且AG＝CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）填空：①当AG＝　 　时，四边形GEHF是矩形；
②当AG＝　 　时，四边形GEHF是菱形；
（3）求四边形GEHF的周长的最小值．

27．（2022春•庐阳区校级期中）如图，C为线段BD上﹣动点，分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，连接AC、EC，已知AB＝3、DE＝2、BD＝12，设CD＝x．
（1）直接写出用含x的代数式表示的AC+CE的长 　 　（无需化简）；
（2）观察图形并说明在什么情况下AC+CE的值最小？最小值是多少？写出计算过程；
（3）综上，直接写出代数式的最小值．

28．（2022春•泗县期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）试画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，试画出△PAB，直接写出点P的坐标．

29．（2022春•巧家县期中）如图，在平行四边形ABCD中，将平行四边形折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE，连接EF、CE、DF，CE与DF交于点G，连接BG．
（1）求证：四边形DEFC是菱形．
（2）若AB＝10，AD＝20，∠ABC＝60°，求BG的长度．

30．（2022春•长沙期中）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知△ABC三个顶点都在格点（网格线的交点叫做格点）上．点A，B，C的坐标分别是（1，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕O点旋转后得△A2B2C2，若点C的对应点C2的坐标为（3，0），则B点的对应点B2的坐标为 　 　．


2022年中考数学复习新题速递之图形的对称（2022年5月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022•河东区一模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A．最 B．美 C．逆 D．行
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．最，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．美，是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．逆，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．行，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022•周村区一模）若点M（1﹣2m，m﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【分析】先判断出点M在第二象限，再根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式组求解，然后选择即可．
【解答】解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）关于y轴的对称点在第一象限，
∴点M在第二象限，
∴，
解不等式①得，m＞0.5，
解不等式②得，m＞1，
∴x＞1，
在数轴上表示如下：．
故选：B．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识，及关于x轴对称的点的坐标的特点，根据题意得出点M对称点的坐标是解答本题的关键．
3．（2022春•青山区期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为16和5的正方形，则阴影部分的面积为（　　）

A．4﹣5 B．3 C．4﹣ D．4+
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由正方形的性质可得出答案．
【解答】解：如图，

由题意可知，AD＝AE＝BC＝，
∴AB＝4﹣，
∴阴影部分的面积为AB•BC＝（4﹣）×＝4﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二次根式的运算，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
4．（2022春•云梦县期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝118°，则∠EMF的度数为（　　）

A．56° B．58° C．60° D．62°
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据平行线的性质得到∠DEG+∠AFH＝118°，由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，从而得到∠DEM与∠AFH的和，利用两个平角求出∠FEM与∠EFM的和，最后根据三角形内角和等于180°即可求出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝118°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣236°＝124°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣124°＝56°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
5．（2022•张家口一模）如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，α＝45°，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若PA＝3，则点Q到n的距离为（　　）

A．2 B．3 C．2或8 D．3或8
【考点】轴对称的性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】分两种情况讨论：当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别依据轴对称的性质进行计算，即可得到点Q到n的距离．
【解答】解：如图①，当点P在点A左侧时，作点P关于l的对称点Q，连接AQ．
由轴对称，得QA＝PA＝3，∠PAQ＝2α＝90°，
故点Q到n的距离为5﹣3＝2；

同理，如图②，当点P在点A右侧时，点Q到n的距离为5+3＝8．
综上所述，点Q到n的距离为2或8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，即如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
6．（2022春•金华期中）如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝2，则B′D的长是（　　）

A．2 B． C．2 D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，可证出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根据翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，进而可得∠AEC＝90°，从而可得AE＝CE＝2，再根据含30°角的直角三角形的性质求出B′E＝DE＝2，根据勾股定理即可得B′D的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB＝45°，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，
∴AE＝CE＝AC＝2，
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，
∴B′E＝AE＝2，DE＝CE＝2，
∴B′D＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含30°，45°角的直角三角形三边关系．
7．（2022春•中山市期中）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折叠DE分别交AB、AC于E、G，连接GF，下列结论：①∠FGD＝112.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四边形AEFG是菱形，其中正确的结论有（　　）

A．① B．①② C．①③ D．①②③
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；菱形的性质；菱形的判定；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】由折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，可得∠EAD＝∠EFD＝90°，∠EDA＝∠EDF，∠EAG＝∠EFG，从而∠GFD＝45°，∠EDF＝22.5°，可得∠FGD＝112.5°，判断①正确；由S△AGD＝S△FGD，可判断②错误；由∠FGD＝112.5°，∠EFG＝45°，可得∠GEF＝∠EGF，从而AE＝EF＝GF＝AG，可判断③正确．
【解答】解：∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
∴∠EAD＝∠EFD＝90°，∠EDA＝∠EDF，∠EAG＝∠EFG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAG＝∠EFG＝45°，∠ADB＝45°，
∴∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG＝45°，∠EDF＝∠ADB＝22.5°，
∴∠FGD＝180°﹣∠GFD﹣∠EDF＝112.5°，故①正确；
∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
∴△AGD与△FGD重合，
∴S△AGD＝S△FGD，
∵S△FGD＞S△OGD，
∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；
∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
∴AE＝FE，AG＝FG，
∵∠FGD＝112.5°，∠EFG＝45°，
∴∠GEF＝∠FGD﹣∠EFG＝112.5°﹣45°＝67.5°，∠EGF＝180°﹣∠FGD＝180°﹣112.5°＝67.5°，
∴∠GEF＝∠EGF，
∴EF＝GF，
∴AE＝EF＝GF＝AG，
∴四边形AEFG是菱形，故③正确，
∴正确的有①③，
故选：C．
【点评】本题考查正方形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及正方形的性质．
8．（2022•南宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝BC，点F是AC边上一点．将△BCF沿直线BF翻折得到△BC'F，C'B交AC与点E．连接C'C，若C'F⊥AC，则＝（　　）

A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；应用意识．
【分析】设AB＝3m，则BC＝5m，AC＝＝4m，由将△BCF沿直线BF翻折得到△BC'F，可得△EFC'∽△BAC，＝＝，设EF＝3n，则EC'＝5n，C'F＝4n＝CF，CC'＝4n，证明△C'FE∽△BAE，可得＝，解得m＝4n，从而可得答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝BC，
∴设AB＝3m，则BC＝5m，AC＝＝4m，
∵将△BCF沿直线BF翻折得到△BC'F，
∴∠BCA＝∠BC'F，CF＝C'F，BC'＝BC＝5m，
∵C'F⊥AC，
∴∠C'FE＝90°＝∠A，
∴△EFC'∽△BAC，
∴＝＝，
设EF＝3n，则EC'＝5n，C'F＝＝4n＝CF，
∴CC'＝＝4n，
∵EF＝3n，CF＝4n，
∴AE＝AC﹣CF﹣EF＝4m﹣3n﹣4n＝4m﹣7n，
∵∠AEB＝∠C'EF，∠A＝90°＝∠C'FE，
∴△C'FE∽△BAE，
∴＝，即＝，
解得m＝4n，
∴BC'＝BC＝5m＝20n，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用相似三角形的判定与性质定理．
9．（2022•宜春模拟）如图1是由20个全等的边长为1的正方形拼成的图形，现有两种不同的方式将它沿着虚线剪开，甲将它分成三块，乙将它分成四块，各自要拼一个面积是20的大正方形，则（　　）

A．甲、乙都不可以 B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以 D．甲、乙都可以
【考点】图形的剪拼；全等图形．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【分析】直接利用图形的剪拼方法结合正方形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：如图所示：
可得甲、乙都可以拼一个面积是20的大正方形．
故选：D．

【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及正方形的性质，正确应用正方形的性质是解题关键．
10．（2022•大连模拟）如图，将△ABC沿AC所在的直线翻折得到△AB'C，再将△AB′C沿AB'所在的直线翻折得到△AB'C'，点B，B'，C'在同一条直线上，∠BAC＝α，由此给出下列说法：①△ABC≌△AB′C′．②AC⊥BB'．③∠CB′B＝2α．其中正确的说法是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】①由翻折可得△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′，进而可以进行判断；
②由翻折可得点B与点B′关于AC对称，进而可以进行判断；
③由翻折可得∠B′AC′＝∠B′AC＝∠BAC＝α，∠AB′C′＝∠AB′C，再根据角的和差即可进行判断．
【解答】解：①由翻折可知：△ABC≌△AB′C，△AB′C≌△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′；故①正确；
②由翻折可知：点B与点B′关于AC对称，
∴AC⊥BB'；故②正确；
③由翻折可知：∠B′AC′＝∠B′AC＝∠BAC＝α，∠AB′C′＝∠AB′C，
∴∠AB′B＝90°﹣∠B′AC＝90°﹣α，
∴∠AB′C′＝180°﹣∠AB′B＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠AB′C＝90°+α，
∴∠CB′B＝∠AB′C﹣∠AB′B＝90°+α﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠CB′B＝2α．故③正确．
综上所述：正确的说法是：①②③．
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二．填空题（共15小题）
11．（2022春•宁海县期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝6，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为 　3　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】在AB上取一点H，使BH＝BF，则GF＝GH，所以CG+FG＝CG+HG，因此当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB使，CG+FG＝CG+HG最小，最小值为CH．
【解答】解：在AB上取一点H，使BH＝BF，
∵BE平分∠ABC，
∴GF＝GH，
∴CG+FG＝CG+HG，
∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB使，
CG+FG＝CG+HG最小，最小值为CH．
∵BC＝6，∠ABC＝60°，
∴＝sin60°＝，
∴CH＝BC＝×6＝3．
故答案为：3．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和直角三角函数是解题的关键．
12．（2022春•青羊区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点P1（a﹣1，6）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2022的值为 　1　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后可得答案．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，6）和P2（3，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝3，b﹣1＝﹣6，
解得：a＝4，b＝﹣5，
∴（a+b）2022＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
13．（2022•黄岛区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到△EC′F，连接AC′，则AC′的最小值是　2﹣2　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据E是CD边上的中点，CE＝DE＝CD＝3，由折叠可知，CE＝C'E，推出EC＝ED＝EC'，所以点C'在以E为圆心，3为半径的⊙E上运动，连接AE与⊙E交于点G，AC′的最小值为AG，据此解答即可．
【解答】解：∵E是CD边上的中点，
∴CE＝DE＝CD＝3，
由折叠可知，CE＝C'E，
∴EC＝ED＝EC'，
∴点C'在以E为圆心，3为半径的⊙E上运动，
连接AE与⊙E交于点G，
∴AC′的最小值为AG，
∵AE＝＝＝2，
∴AG＝AE﹣GE＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．

【点评】本题考查了翻折问题，正确构建隐圆是解题的关键．
14．（2022•青岛一模）如图，在矩形ABCD中，AC＝12，sin∠ACB＝，点P是线段AC上的动点，点Q是线段AB上的动点，则CQ+PQ的最小值是 　6　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；解直角三角形；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】作点C关于直线AB的对称点C'，作C'P⊥AC于P，交AB于点Q，此时QC+QP最短，由QC+QP＝QC'+PQ＝PC'可知，求出PC'即可解决问题．
【解答】解：作点C关于直线AB的对称点C'．
∴QC＝QC'，BC'＝BC，
∴QC+QP＝QC'+QP，
∴当P、Q、C'在同一直线上且C'P⊥AC时，QC+QP最短，
此时QC+QP＝C'P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AC＝12，sin∠ACB＝，
∴，
∴AB＝6，
∴BC＝6，
∴CC'＝6+6＝12，
∵sin∠ACB＝，
∴，
∴C'P＝CC'＝＝6，
即CQ+PQ的最小值是6．
故答案为：6．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和锐角三角函数解答．
15．（2022春•容县期中）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB＝8，M，N是直线BC上的动点，且MN＝2，则OM+ON的最小值是 　2　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值．
【解答】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，
则四边形MNQP是平行四边形，
∴MN＝PQ＝2，PM＝NQ＝MO，
∴OM+ON＝QN+ON，
当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，
连接PO，交BC于E，
由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，
又∵矩形ABCD中，OB＝OC，
∴E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝4，
∴OP＝2×4＝8，
又∵PQ∥MN，
∴PQ⊥OP，
∴Rt△OPQ中，OQ＝＝＝2，
∴OM+ON的最小值是2，
故答案为：2．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（2022•青海一模）如图，等边△ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 　6　cm．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，根据折叠的性质，即可得AD＝A′D，AE＝A′E，又由等边三角形ABC的边长为2cm，易得阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC，则可求得答案．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2cm，
∴AB＝BC＝AC＝2cm，
∵△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
∴AD＝A′D，AE＝A′E，
∴阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC＝BD+AD+BC+AE+EC＝AB+BC+AC＝2+2+2＝6（cm）．
故答案为：6．
【点评】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
17．（2022•澄城县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，点E是AD上一点，DE＝1，F是BC上一动点，P、Q分别是EF、AE的中点，则PE+PQ的最小值为 　　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；三角形中位线定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】延长AB到A'，使A'B＝AB＝4，连接A'F，则AA'＝8，A'F＝AF，当A'、F、E在同一直线上时，A'F+FE最小，最小值为A'E．根据P、Q分别是EF、AE的中点，得到PE＝EF，PQ＝，PE+PQ的最小值为（A'F+FE）．
【解答】解：∵AD＝2AB＝4，DE＝1，
∴AD＝BC＝4，AE＝AD﹣DE＝4﹣1＝3，
延长AB到A'，使A'B＝AB＝2，连接A'F，
则AA'＝4，A'F＝AF，
当A'、F、E在同一直线上时，
A'F+FE最小，最小值为A'E．
在Rt△AA'E中，
A'E＝＝＝5，
即AF+FE最小为5，
∵P、Q分别是EF、AE的中点，
PE＝PQ＝，PQ＝AF，
PE+PQ的最小值为＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最小值问题，熟练运用轴对称的性质和中位线定理是解题的关键．
18．（2022春•建阳区期中）如图，在▱ABCD，点E在AD上，以BE为折痕，把△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为a，若△FCB的周长为b，则线段CF的长为 　　．（其中a＜b，答案用含a，b的式子来表示．）

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据△FDE的周长为a，△FCB的周长为b，可得DE+EF+DF＝a，BC+BF+CF＝b，由△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的点F处，即得AD+DF＝a①，BC+AB+CF＝b②，根据四边形ABCD是平行四边形，（CF+DF）+CF﹣DF＝b﹣a，故CF＝．
【解答】解：∵△FDE的周长为a，△FCB的周长为b，
∴DE+EF+DF＝a，BC+BF+CF＝b，
∵△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的点F处，
∴EF＝AE，AB＝BF，
∴DE+AE+DF＝a，即AD+DF＝a①，
BC+AB+CF＝b②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，
②﹣①得：AB+CF﹣DF＝b﹣a，
∵AB＝CD＝CF+DF，
∴（CF+DF）+CF﹣DF＝b﹣a，
∴2CF＝b﹣a，
∴CF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及平行四边形的性质．
19．（2022春•闵行区校级期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，则∠1+∠2＝　90　度．

【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】延长AF、BE交于点D，根据∠A＝65°，∠B＝75°，可得∠D＝45°，由将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，可得∠DFC+∠DEC＝270°，即可得答案．
【解答】解：延长AF、BE交于点D，

∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝135°，
∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，
∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，
∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝270°，
∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣270°＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查三角形中的翻折问题，解题的根据是掌握翻折的性质，灵活应用三角形内角和定理．
20．（2022•温江区模拟）在Rt△ABC中，斜边AB＝2，∠A＝30°，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE+CE的最小值为 　　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；旋转的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；推理能力．
【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT＝CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB＝DL，由DT+DB＝DT+DL≥LT＝，可得结论．
【解答】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT，

∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵AT＝TB，
∴CT＝AT＝TB，
∴△BCT是等边三角形，
∴∠TBC＝∠DBE＝60°，
∴∠DBT＝∠EBC，
在△DBT和△EBC中，
，
∴△DBT≌△EBC（SAS），
∴DT＝CE，
欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，
作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB＝DL，
∵AC⊥BL，CL＝CB，
∴AL＝AB，
∵∠ABL＝60°，
∴△ABL是等边三角形，
∵AT＝TB＝1，
∴LT⊥AB，
∴LT＝BT＝，
∵DT+DB＝DT+DL≥LT＝，
∴DT+DB的最小值为，
∴BE+EC的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（2022春•长沙期中）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为CD、BC的中点，AE和DF相交于点G；如图2所示，将图1中边长为4的正方形ABCD折叠，使得点D落在边BC的中点D'处，点A落在点A'处，折痕为MN．现有四个结论：

图1中：①AE＝DF；②AE⊥DF；③DG＝；
图2中：④MN＝2．
其中正确的结论有：　①②④　．（填序号）

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据四边形ABCD是正方形，点E，F分别为CD、BC的中点，可得△ADE≌△DCF（SAS），判断①正确；根据同角的余角相等可判断故②正确；由等面积法可判断③错误；图2中，过点M作MG⊥CD于点G，连接DD'交MG于K，可证明△MNG≌△DD'C（ASA），从而MN＝DD'＝＝2，可判断④正确，
【解答】解：如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵点E，F分别为CD、BC的中点，
∴DE＝CD＝BC＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，故①正确；
∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CDF+∠DEA＝90°，
∴∠DGE＝90°，
∴AE⊥DF，故②正确；
∵AD＝4，DE＝CD＝2，
∴AE＝＝2，
∵2S△ADE＝AD•DE＝AE•DG，
∴DG＝＝＝，故③错误；
图2中，过点M作MG⊥CD于点G，连接DD'交MG于K，如图：

由题意可知MG＝BC＝CD，
由折叠可知，DD'⊥MN，
∴∠NMG+∠MKD'＝90°，
∵∠DKG+∠D'DC＝90°，∠MKD'＝∠DKG（对顶角相等），
∴∠NMG＝∠D'DC．
在△MNG与△DEC中，
，
∴△MNG≌△DD'C（ASA）．
∴MN＝DD'＝＝＝2，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查正方形中的翻折问题，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定定理，证明MN＝DD'．
22．（2022春•洪山区期中）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕BM，同时使得点A的对称点N落在EF上，如果AB＝，则AM＝　2　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据折叠的性质可得BE＝AB，AB＝BN，即可得BE＝BN，即得∠BNE＝30°，根据直角三角形的两锐角互余得∠ABN＝60°，根据折叠的性质即可得出∠ABM＝∠ABN＝30°，利用含30°角的直角三角形三边关系即可得出结论．
【解答】解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝AB，∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝BN，
∵∠BEN＝90°，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠MBN＝30°，
在Rt△ABM中，
AM＝AB＝×2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质、矩形的性质等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性．
23．（2022•宜春模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝3，CD＝9，折叠纸片，使点D刚好落在线段AB上，且折痕分别与AB，CD相交，设折叠后点A，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与AB，CD相交于点E，F，则线段CF的整数值可以为 　4或5或6　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】首先证明四边形DEHF为菱形；当E与A重合时，CF取最大值，此时四边形DEHF为正方形，即得CF最大为6，当H与B重合时，CF最小，设四边形DEHF菱形的边长为x，可得x2＝32+（9﹣x）2，即得CF最小为4，从而可得线段CF的整数值为4或5或6．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵图形翻折后点D与点H重合，EF为折线，
∴∠DFE＝∠HFE，DE＝HE，DF＝HF，
∴∠BEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴DE＝EH＝FH＝DF，
∴四边形DEHF为菱形；
当E与A重合时，CF取最大值，如图：

此时∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴四边形DEHF为正方形，
∴DF＝AD＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝6，
即CF最大为6，
当H与B重合时，CF最小，如图：

设四边形DEHF菱形的边长为x，则CF＝9﹣x，
在Rt△HFC中，HF2＝CF2+HC2，
∴x2＝32+（9﹣x）2，
解得x＝5，
∴CF＝4，
即CF最小为4，
∴4≤CF≤6，
∴线段CF的整数值为4或5或6，
故答案为：4或5或6．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键时掌握翻折的性质，分别求出CF的最大、最小值．
24．（2022•瓯海区一模）图1是一张矩形折纸，其中图形①，③，⑤分别与图形②，④，⑥关于AB所在的直线成轴对称，现沿着虚线剪开，部分剪纸拼成不重叠、无缝隙的正方形（如图2），若正方形边长为9，图2中所标注的d1的值为6，d2的值为整数，则图1中矩形的宽为 　　，矩形的长为 　　．

【考点】图形的剪拼；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】如图2中，由题意EF＝3，FG＝GH，设FG＝GH＝x，利用勾股定理求出x，再利用图1证明△ECJ∽△GFE，推出＝＝，推出＝＝，可得FG＝，EF＝，由此即可解决问题．
【解答】解：如图2中，由题意EF＝3，FG＝GH，设FG＝GH＝x，

则有x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
如图1中，则有EJ＝5，EC＝3，CJ＝4，EG＝6，
由△ECJ∽△GFE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FG＝，EF＝，
∵AJ+BG＝EJ＝5，
∴AC+FB＝CJ+AJ+FG+GB＝4+5+＝，
∴AC＝FB＝，
∴CM＝，CF＝CE+EF＝3+＝，
∴图1中，矩形的长为，宽为．
故答案为：，．
【点评】本题考查矩形的性质，图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
25．（2022•即墨区一模）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC，DH，DF，若AB＝3，BE＝1，则DH＝　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观；应用意识．
【分析】根据将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，AH平分∠DAF，可得∠GAH＝∠BAF+∠FAD＝∠BAD＝45°＝∠GHA，有GA＝GH；设DF交AH于点N，可得AH是DF的垂直平分线，有DH＝FH，证明△AEB∽△ABG，得＝，＝，可得GF＝BG＝，GH＝AG＝，即得DH＝FH＝GH﹣GF＝．
【解答】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，
∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF，B，F关于AE对称，
∴AG⊥BF，
∴∠AGF＝90°，
∵AH平分∠DAF，
∴∠FAH＝∠FAD，
∴∠GAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝（∠BAF+∠FAD）＝∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠GAH＝∠BAD＝45°＝∠GHA，
∴GA＝GH；
设DF交AH于点N，如图：

∵AF＝AB＝AD，∠FAH＝∠DAH，
∴AH⊥DF，FN＝DN，
∴AH是DF的垂直平分线，
∴DH＝FH，
∵AE2＝AB2+BE2，
∴AE＝＝，
∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠AEB＝∠ABG，
又∠AGB＝∠ABE＝90°，
∴△AEB∽△ABG，
∴＝，＝，
∴AG＝＝，BG＝＝，
∴GF＝BG＝，GH＝AG＝，
∴DH＝FH＝GH﹣GF＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正方形中的翻折问题，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质．
三．解答题（共5小题）
26．（2022春•广丰区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，G，H分别是AD，BC边上的点，且AG＝CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）填空：①当AG＝　　时，四边形GEHF是矩形；
②当AG＝　　时，四边形GEHF是菱形；
（3）求四边形GEHF的周长的最小值．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证明△DGF≌△BHE，进而得EG＝EH，FG∥EH，便可得结论；
（2）①连接GH，证明四边形ABHG为平行四边形，得GH＝AB＝EF＝2，进而得四边形EGHF是矩形；
②连接BG、DH、GH，证明四边形BHDG是菱形，得GH⊥EF，便可得四边形GEHF是菱形；
（3）过E作EM⊥AB于M，连接EM到点N，使得MN＝EM，连接FN，与AD交于点G，过F作FP⊥EM于点P，求得EG+FG的最小值为FN，进而便可求得四边形GEHF的周长的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠GDF＝∠HBE，
∵AG＝CH，
∴DG＝BH，
∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴DF＝BE，
在△DGF和△BHE中，
，
∴△DGF≌△BHE（SAS），
∴GF＝HE，∠DFG＝∠BEH，
∴∠EFG＝∠FEH，
∴GF∥HE，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）①当AG＝时，四边形GEHF是矩形．理由如下：
连接GH，如下图，

∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4，
∴AD＝，
∵AG＝CH＝，AD＝BC＝2，
∴，
∵AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∵GH＝AB＝2，
∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴EF＝BD＝2，
∴EF＝GH，
∵四边形GEHF是平行四边形，
∴四边形GEHF是矩形，
故答案为：；
②当AG＝时，四边形GEHF是菱形．理由如下：
连接BG、DH、GH，如下图，

∵AG＝CH，AD＝BC，
∴DG＝BH，
∵DG∥BH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∵AG＝，AB＝2，∠A＝90°，
∴DG＝AD﹣AG＝，
BG＝，
∴BG＝DG，
∴四边形BHDG是菱形，
∴GH⊥BD，即GH⊥EF，
∵四边形GEHF是平行四边形，
∴四边形GEHF是菱形．
故答案为：；
（3）解：过E作EM⊥AD于M，延长EM到点N，使得MN＝EM，连接FN，NG，过F作FP⊥EM于点P，如下图，

则MN＝EM＝DE＝，FP∥AD，EG＝NG，
∴∠EFP＝∠ADB＝30°，
∴EP＝EF＝1，
∴PN＝EM+MN﹣EP＝2，
PF＝，
∵EG+FG＝NG+FG≥FN，
当F、G、N三点共线，EG+FG＝NG+FG＝FN的值最小，其值为FN＝，
∴四边形GEHF的周长的最小值为：2（EG+FG）＝2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，菱形的性质与判定，将军引马的应用，关键是综合应用矩形、菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的性质，将军引马原理等知识解决问题．
27．（2022春•庐阳区校级期中）如图，C为线段BD上﹣动点，分别过点B、D作AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，连接AC、EC，已知AB＝3、DE＝2、BD＝12，设CD＝x．
（1）直接写出用含x的代数式表示的AC+CE的长 　　（无需化简）；
（2）观察图形并说明在什么情况下AC+CE的值最小？最小值是多少？写出计算过程；
（3）综上，直接写出代数式的最小值．

【考点】轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）当C是AE和BD交点时，过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，则AC+CE＝AE＝13，即可求AC+CE的最小值；
（3）由（1）（2）的结果可作BD＝4，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝1，ED＝2，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）∵AB⊥BD，AB＝3，CD＝x，
∴BC＝12﹣x，
在Rt△ABC中，AC＝＝
∵ED⊥BD，DE＝2，
在Rt△DEC中，CE＝＝，
∴AC+CE＝，
故答案为：；
（2）如图，当C是AE和BD交点时，
过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，
∴AC+CE＝AE＝＝＝13，
∴AC+CE的最小值为13；
（3）如图，AB＝1，ED＝2，DB＝4，连接AE交BD于点C，
∴AE＝的最小
∴AE的长即为代数式式的最小值，
∵四边形ABDF为矩形，
∴AB＝DF＝1，AF＝BD＝4，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE＝＝＝5，
即代数式的最小值为5．

【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如式的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
28．（2022春•泗县期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）试画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，试画出△PAB，直接写出点P的坐标．

【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，然后写出P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A2B2C2为所作；A2（﹣1，1），B2（﹣4，2），C2（﹣3，4）；
（2）如图，点P为所作，P点坐标为（2，0）．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
29．（2022春•巧家县期中）如图，在平行四边形ABCD中，将平行四边形折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕为CE，连接EF、CE、DF，CE与DF交于点G，连接BG．
（1）求证：四边形DEFC是菱形．
（2）若AB＝10，AD＝20，∠ABC＝60°，求BG的长度．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】（1）根据将平行四边形折叠，使点D落在BC边上的点F处，得CD＝CF，ED＝EF，∠DCE＝∠FCE，由AD∥BC，有∠DEC＝∠FCE，从而∠DEC＝∠DCE，CD＝ED，故CF＝CD＝ED＝EF，四边形DEFC是菱形；
（2）过G作GH⊥BC于H，根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝20，∠ABC＝60°，知CD＝AB＝10，BC＝AD＝20，∠BCD＝120°，由四边形DEFC是菱形，可得CF＝EF＝CD＝10，∠FCE＝∠BCD＝60°，CG＝FG＝CE，EC⊥DF，从而△ECF是等边三角形，CE＝CF＝10，CG＝CE＝5，在Rt△GHC中，HG＝CG•sin∠HCG＝，HC＝CH•cos∠HCG＝，即得BG＝＝5．
【解答】（1）证明：∵将平行四边形折叠，使点D落在BC边上的点F处，
∴CD＝CF，ED＝EF，∠DCE＝∠FCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠FCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED，
∴CF＝CD＝ED＝EF，
∴四边形DEFC是菱形；
（2）过G作GH⊥BC于H，如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝20，∠ABC＝60°，
∴CD＝AB＝10，BC＝AD＝20，∠BCD＝120°，
由（1）知四边形DEFC是菱形，
∴CF＝EF＝CD＝10，∠FCE＝∠BCD＝60°，CG＝FG＝CE，EC⊥DF，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE＝CF＝10，
∴CG＝CE＝5，
在Rt△GHC中，
HG＝CG•sin∠HCG＝5×sin60°＝，
HC＝CH•cos∠HCG＝5×cos60°＝，
∴BH＝BC﹣CH＝，
在Rt△BHG中，
BG＝＝＝5，
答：BG的长度是5．
【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，涉及菱形判定与性质，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的判定与性质定理．
30．（2022春•长沙期中）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知△ABC三个顶点都在格点（网格线的交点叫做格点）上．点A，B，C的坐标分别是（1，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴成轴对称，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕O点旋转后得△A2B2C2，若点C的对应点C2的坐标为（3，0），则B点的对应点B2的坐标为 　（3，﹣2）　．

【考点】作图﹣轴对称变换；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为 （3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．

考点卡片
1．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
5．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
6．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
12．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

13．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
14．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
15．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
16．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

17．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
22．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
23．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
24．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
25．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．图形的剪拼
图形的剪拼．
28．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
29．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）