2023年中考数学第一轮复习：二次函数

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 2023年中考数学第一轮复习：二次函数一、单选题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象，则关于x的方程ax2+bx+c=m有实数根的条件是（　　）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞42．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（　　）  A． B． C． D．3．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（　　）A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米4．把二次函数y=x2的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式是（　　）A．y=(x-2)2+3 B．y=(x+2)2+3 C．y=(x-2)2-3 D．y=(x+2)2-35．点A ，B 在二次函数 的图象上，若 时，则下列判断一定正确的是（　　）A． B． C． D．6．若抛物线y=（x﹣a）2+（a﹣1）的顶点在第一象限，则a的取值范围为（　　）  A．a＞1 B．a＞0 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a＜07．二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过(　　)  A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限8．将抛物线y＝x2﹣2x向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式（　　）A．y＝x2 B．y＝（x﹣2）2C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+29．抛物线y=-(x-1)2+3的顶点坐标是(　　)  A．(1，3) B．(-1，3) C．(-1，-3) D．(1，-3)10．将抛物线 向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线表达式是（　　）   A． B．C． D．11．下列说法正确的是（　　）  A．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是y=（x+4）2﹣2B．方程x2+2x+3=0有两个不相等的实数根C．平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧12．已知双曲线 的图象如图所示，则函数 与 的图象大致是（　　）  A． B．C． D．二、填空题13．将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线与 轴的交点坐标是　         　．  14．二次函数y=x2+bx+3配方后为y=（x﹣2）2+k，则b=　     　 ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝　     　m．16．如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式 的解集是　            　．  17．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交点为　                     　．  18．二次函数y = x2+x－12与x轴的交点坐标分别是　                    　三、综合题19．    （1）解方程：2x2﹣4x﹣6=0．（2）①直接写出函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标；②求函数y=2x2﹣4x﹣6的图象的顶点坐标．      20．某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）00.52.03.55h（米）1.672. 253.002. 250请解决以下问题：（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是　     　米；（3）求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面的高度为2.5米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到水柱．请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由．         21．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B.（1）求抛物线的解析式（2）若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC的解析式；（3）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值      22．某批发部某一玩具价格如图所示，现有甲、乙两个商店，计划在“六一”儿童节前到该批发部购买此类玩具．两商店所需玩具总数为120个，乙商店所需数量不超过50个，设甲商店购买 个．如果甲、乙两商店分别购买玩具，两商店需付款总和为y元．（1）求y关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（2）若甲商店购买不超过100个，请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱；（3）“六一”儿童节之后，该批发部对此玩具价格作了如下调整：数量不超过100个时，价格不变；数量超过100个时，每个玩具降价a元．在（2）的条件下，若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具，最多可节约2800元，求a的值． 23．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量 （个 与售价 （元 之间的函数关系 ；   （2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？   （3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？         24．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】A12．【答案】A13．【答案】（1，0）14．【答案】-415．【答案】516．【答案】x＜-1或x＞317．【答案】（﹣3，0），（1，0）18．【答案】（3，0），（-4，0）19．【答案】（1）解：解方程2x2﹣4x﹣6=0， 整理得x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1；（2）解：①函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标（3，0），（﹣1，0）； ②y=2（x2﹣2x）﹣6=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 =2（x﹣1）2﹣8，所以抛物线的顶点（1，﹣8）．20．【答案】（1）解：（2）3（3）解：设抛物线的解析式为，将（5，0）代入，得，，解得，，∴（0≤x≤5），（4）解：符合要求，理由：设船的横断面为矩形ABCD，行驶时使船的中轴线在抛物线形水流的对称轴上，设直线AB与抛物线交点为E(1，m)，则，符合要求21．【答案】（1）解：依题意得: ，解得 ，∴ ；（2）解：当y=0时 解得 ∴点B（-3，0）由直线BC的解析式为：y＝mx+n，代入B（﹣3，0），C（0，3）得： ，解得： ，∴直线BC的解析式为：y＝x+3；（3）解：∵点A与点B是关于对称轴直线 的对称点，  ∴直线BC与对称轴直线 的交点就是D点，∴当 时 =-1+3=2，∴D（-1，2），∵点M在对称轴上，∴AM=BM，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，∴点B，点M，点C三点共线时最短，即点M与点D重合时，点M（-1，2），∴距离之和的最小值就是CM+AM=CM+BM＝ BC的长，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC= ，∴距离之和的最小值就是 .22．【答案】（1）解：由图可设玩具批发价m，数量为n，则m=kn+b( )，把 (50，80)，(100，60)代入可求得 .由题意得 ，解得 .①当 时， ；②当 时， （2）解：∵甲商店数量不超过100个，∴ ，∴ .∵ ， .∴x=70时，y最大值=9040（元）.两商店联合购买需120×60=7200（元），∴最多可节约9040-7200=1840（元）（3）解：单独购买不变，联合购买需120（60- a）=7200-120a（元），∴9040-（7200-120a）=2800，解得a=8.23．【答案】（1）解：设蝙蝠型风筝售价为 元时，销售量为 个，   根据题意可知： （2）解：设王大伯获得的利润为 ，则 ，   令 ，则 ，解得： ， ，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元（3）解： ，   ， 当 时， 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．24．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x（2）解：设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）（3）解：∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2= ，∴直线A′B的解析式是y= ，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n， ），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴ =n2﹣3n，解得：n1=﹣ ，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣ ， ）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（- ，- ），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴ ，∴点P1的坐标为（- ，- ）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（ ， ），综上所述，点P的坐标是（- ，- ）或（ ， ）．方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2（ ， ），B2（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，∴△P1OD∽△N2OB2，∴ ，∴点P1的坐标为（ ， ）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（- ，- ），综上所述，点P的坐标是（- ，- ）或（ ， ）．方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线，∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），∴ 得：x1=4（舍），x2=﹣ ，∴N（﹣ ， ），∵D（2，﹣2），∴lOD：y=﹣x，∵lOD：y=x，∴OD⊥OB，∵△POD∽△NOB，∴N（﹣ ， ）旋转90°后N1（ ， ）或N关于x轴对称点N2（﹣ ，﹣ ），∵OB=4 ，OD=2 ，∴ ，∵P为ON1或ON2中点，∴P1（ ， ），P2（- ，- ）．