2026中考数学高频考点一轮复习：尺规作图（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：尺规作图（试题含解析），共31页。试卷主要包含了已知锐角∠AOB等内容，欢迎下载使用。
1．（2025春•仓山区）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2025•从江县二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG交BC于点D．若∠ADB＝70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
3．（2025•二道区模拟）如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC．按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D．则∠BAC和∠ADC的关系是（ ）
A．∠BAC＜∠ADCB．∠BAC＝∠ADCC．∠BAC＞∠ADCD．不能确定
4．（2025•市中区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D，再分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB、AD于点E、F，若AC＝6，BC＝8，则DF的长为（ ）
A．52B．43C．1D．355
5．（2025•福州模拟）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E，连接DE，CE．则下列说法一定正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则四边形OCED是菱形
B．若AC⊥BD，则四边形OCED是矩形
C．若AC＝BD，则四边形OCED是菱形
D．若AC＝BD，则四边形OCED是矩形
6．（2025•苏州一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．10C．12D．20
7．（2025•海淀区模拟）已知锐角∠AOB．如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①∠COM＝∠COD；
②MN∥CD；
③MN＜3CD；
④若∠OCD＝2∠MOB，则OM＝MN．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
8．（2025•长春二模）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025•道里区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE．若∠CBE＝18°，则∠BCD的度数为（ ）
A．18°B．32°C．36°D．54°
10．（2025春•河北区）如图，在▱ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•玉环市）如图，平行四边形ABCD中分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连结MN交AB，CD于点E，F，AB=2EF=23，∠D=120°，则CF＝ ．
12．（2025•港北区模拟）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交AB边于点E；②分别以点B，E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线DF交AB于点G，连接BD．若∠C＝40°，则∠BDG的度数为 ．
13．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连结BP，则∠BPA的度数是 ．
14．（2025•青羊区模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交BC于点D；②分别以B，D为圆心，以大于12BD长为半径作弧，两弧交于点P；③连接AP交BD于点E，若∠B＝2∠C，BC＝23，DC＝13，则AE＝ ．
15．（2025•银州区模拟）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•金东区）在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点．尺规作图：在BC上确定点E，连接DE，使得DE=12AB．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）做法正确的同学有 ；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
17．（2025春•雁塔区）如图，已知Rt△ABC，点D是AB边的中点，请利用尺规作图在Rt△ABC内部求作一点P，使点P到AC所在直线的距离等于PD的长度（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（2025春•宝应县）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝CE，仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）如图1，画出∠DAE的平分线；
（2）如图2，画出∠AEC的平分线；
（3）如图3，以AE为边画出一个菱形．
19．（2025•越秀区三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝2，求直径BC、弦BP、PC围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图）
20．（2025春•宜兴市）已知直线l及位于其两侧的两点A，B，如图．请用尺规作图．
（1）在图1中的直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在图2中的直线l上求一点Q，使直线l平分∠AQB．
中考数学一轮复习 尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•仓山区）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；等腰三角形的判定；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长．
【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG＝∠CDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝8，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝5，
∴BG＝CB﹣CG＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握角平分线以及平行线的性质是解题的关键．
2．（2025•从江县二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG交BC于点D．若∠ADB＝70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAD＝20°，再根据角平分线的定义求解．
【解答】解：∵∠B＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝20°，
由作图可知AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2025•二道区模拟）如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC．按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D．则∠BAC和∠ADC的关系是（ ）
A．∠BAC＜∠ADCB．∠BAC＝∠ADCC．∠BAC＞∠ADCD．不能确定
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】利用三角形的外角的性质判断即可．
【解答】解：由作图可知∠B＝∠DAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC＝∠ADC．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2025•市中区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D，再分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ交AB、AD于点E、F，若AC＝6，BC＝8，则DF的长为（ ）
A．52B．43C．1D．355
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出CD＝3，DB＝5，以OB所在直线为x轴，点C为原点建立直角坐标系，分别求出直线PQ和AD解析式，再联立方程组求出点F的坐标，利用两点间距离公式求出FD即可．
【解答】解：根据作图方法可知：AD是∠BAC的平分线，PQ是线段AB的垂直平分线，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB=62+82=10，
由角平分线定理可知：ACAB=CDDB，即CDBD=35，
∵BC＝8，
∴CD＝3，DB＝5，
如图，建立如图所示的坐标系，
∵A（0，6），D（3，0），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣2x+6，
∵A（0，6），B（8，0），
∴直线AB的解析式为y=-34x+6，
∵E（4，3），
设PQ的解析式为y=43x+b，代入点E坐标为163+b=3，解得b=-73，
∴直线PQ的解析式为y=43x-73，
联立方程组y=43x-73y=-2x+6，解得x=2.5y=1，
∴F（2.5，1），
∴FD=(3-2.5)2+(0-1)2=1.25=52．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．
5．（2025•福州模拟）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E，连接DE，CE．则下列说法一定正确的是（ ）
A．若AC⊥BD，则四边形OCED是菱形
B．若AC⊥BD，则四边形OCED是矩形
C．若AC＝BD，则四边形OCED是菱形
D．若AC＝BD，则四边形OCED是矩形
【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】当AC＝BD时，四边形OCED是菱形．根据四边相等的四边形是菱形证明．
【解答】解：当AC＝BD时，四边形OCED是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AC＝BD，
∴OD＝OC，
由作图可知OD＝DE，OC＝CE，
∴OD＝OC＝DE＝CE，
∴四边形ODEC是菱形．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的判定，矩形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
6．（2025•苏州一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．10C．12D．20
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AD平分∠BAC，可得CD＝ED，证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得S△ADE＝S△ACD＝6．由题意可得∠EAD＝∠B，则AD＝BD，即△ABD为等腰三角形，则S△ADE＝S△BDE＝6，进而可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED．
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），
∴S△ADE＝S△ACD＝6．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD＝BD，
即△ABD为等腰三角形，
∴S△ADE＝S△BDE＝6，
∴△ABD的面积为S△ADE+S△BDE＝12．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2025•海淀区模拟）已知锐角∠AOB．如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①∠COM＝∠COD；
②MN∥CD；
③MN＜3CD；
④若∠OCD＝2∠MOB，则OM＝MN．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；平行线的判定；三角形内角和定理；等边三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】利用圆周角定理，平行线的判定，等边三角形的判定一一判断即可．
【解答】解：由作图可知MC=CD=DN，
∴∠COM＝∠COD，故①正确；
连接DM，则∠CDM＝∠DMN，
∴MN∥CD，故②正确，
∵CM=CD=DN，
∴CM＝DC＝DN，
∵CM+CD+DN＞MN，
∴MN＜3CD，故③正确；
连接ON．
∵∠OCD＝2∠MOB，∠COD＝∠COM，
∴∠OCD＝4∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝4∠COD，
∵∠COD+∠OCD+∠ODC＝180°，
∴9∠COD＝180°，
∴∠COD＝20°，
∵∠COD＝∠COM＝∠DON，
∴∠MON＝60°，
∵OM＝ON，
∴△OMN是等边三角形，
∴OM＝MN．故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
8．（2025•长春二模）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—基本作图；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：A．根据同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，
故该选项正确，不符合题意；
B．根据内错角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，
故该选项正确，不符合题意；
C．根据同旁内角相等，不能判定直线a平行于直线b，
故该选项错误，符合题意；
D．根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线a平行于直线b，
故该选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．
9．（2025•道里区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE．若∠CBE＝18°，则∠BCD的度数为（ ）
A．18°B．32°C．36°D．54°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠CEB＝72°，再求出∠EAB，∠ABC，可得结论．
【解答】解：∵∠ECB＝90°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣18°＝72°，
∵DE垂直平分线的AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠CEB＝∠EAB+∠EBA，
∴∠EAB=12∠CEB＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣36°＝54°，
∵AD＝DB，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB＝DA，
∴∠BCD＝∠ABC＝54°．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2025春•河北区）如图，在▱ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则▱ABCD的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可证得结论．
【解答】解：由作图知，MN垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∵△ABF的周长为10，
∴AB+AF+BF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴▱ABCD的周长为20．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025春•玉环市）如图，平行四边形ABCD中分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连结MN交AB，CD于点E，F，AB=2EF=23，∠D=120°，则CF＝ 3+1 ．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观．
【答案】3+1．
【分析】过点B作BG⊥CD于点G，由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，可得BE=12AB=EF=3，∠BEF＝90°，则∠EBF＝∠BFE＝45°，进而可得∠CBG＝30°，四边形BEFG为矩形，则FG＝BE=3，BG＝EF=3，进而可得CG＝1，从而可得CF＝CG+FG=3+1．
【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴BE=12AB=EF=3，∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝∠BFE＝45°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C＝60°，∠BFG＝∠EBF＝45°，∠EFC＝90°，
∴∠CBG＝30°，四边形BEFG为矩形，
∴FG＝BE=3，BG＝EF=3．
设CG＝x，则BC＝2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2＝CG2+BG2，
即(2x)2=x2+(3)2，
解得x＝1，
∴CG＝1，
∴CF＝CG+FG=3+1．
故答案为：3+1．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2025•港北区模拟）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交AB边于点E；②分别以点B，E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线DF交AB于点G，连接BD．若∠C＝40°，则∠BDG的度数为 20° ．
【考点】作图—基本作图；菱形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】20°．
【分析】先证明AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，可得∠ABD=12×140°=70°，再结合DF⊥AB，从而可得答案．
【解答】解：由条件可知AB∥CD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD=12×140°=70°，
由作图可得：DF⊥AB，
∴∠BDG＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是菱形的性质，作垂线，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连结BP，则∠BPA的度数是 22.5°或67.5° ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观．
【答案】22.5°或67.5°．
【分析】由题意得△ABC为等腰直角三角形，由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，可知直线EF经过点A，∠BAF=12∠BAC=45°.当点P在点A上方的直线EF上时，记为P1，由题意得AP1＝AB，则∠BP1A＝∠ABP1，进而可得∠BP1A＝22.5°；当点P在点A下方的直线EF上时，记为P2，由题意得AP2＝AB，则可得∠BP2A＝∠ABP2=12(180°-∠BAF)=67.5°，从而可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，
∴直线EF经过点A，∠BAF=12∠BAC=45°．
当点P在点A上方的直线EF上时，记为P1，
∴AP1＝AB，
∴∠BP1A＝∠ABP1，
∵∠BAF＝∠BP1A+∠ABP1，
∴∠BP1A＝22.5°；
当点P在点A下方的直线EF上时，记为P2，
∴AP2＝AB，
∴∠BP2A＝∠ABP2=12(180°-∠BAF)=67.5°．
综上所述，∠BPA的度数是22.5°或67.5°．
故答案为：22.5°或67.5°．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
14．（2025•青羊区模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交BC于点D；②分别以B，D为圆心，以大于12BD长为半径作弧，两弧交于点P；③连接AP交BD于点E，若∠B＝2∠C，BC＝23，DC＝13，则AE＝ 12 ．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由作图得AE⊥BC，AB＝AD，根据等腰三角形的判断和性质及勾股定理求解．
【解答】解：连接AD，由作图得：AE⊥BC，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝∠C+∠CAD＝2∠C，
∴∠C＝∠CAD，BE＝ED，
∴AD＝CD＝13，
∴DB＝10，
∴ED＝5，
∴AE＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
15．（2025•银州区模拟）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 8 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；垂径定理．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】8．
【分析】延长CE交BA的延长线于点G，由作图可知，BF为∠ABC的角平分线，据此可证△BEC≌△BEG（ASA），得到CE＝GE＝4，即得CG＝8，再证明△ABD≌△ACG（ASA），得到BD＝CG＝8，即可求解．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，
∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF，
∴BF为∠ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠GBE，
∵CE⊥BF，
∴∠BEC＝∠BEG＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEG（ASA），
∴CE＝GE＝4，
∴CG＝4+4＝8，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAG＝90°，
∵∠ABD+∠G＝90°，∠ACG+∠G＝90°，
∴∠ABD＝∠ACG，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025春•金东区）在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点．尺规作图：在BC上确定点E，连接DE，使得DE=12AB．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）做法正确的同学有 甲、丙 ；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；空间观念；推理能力．
【答案】（1）甲、丙；
（2）见解答．
【分析】（1）根据甲、丙作图，利用等腰三角形的性质可DE为三角形的中位线，从而得到DE=12AC=12AB，从而判断甲和丙的作法正确；利用乙的作图得到BD＝BE，由于只有当∠B＝60°时，DE＝BD=12AB，于是可判断乙同学的作法不正确；
（2）过D作∠BDE＝∠A交BC于E点，则DE∥AC，则可证明DE＝DB，所以DE=12AC=12AB．
【解答】解：（1）对于甲同学的作法：
根据作图痕迹得AE平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵点D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12AC=12AB，所以甲同学的作法正确；
对于乙同学的作法：
根据作图痕迹得BD＝BE，
只有当∠B＝60°时，DE＝BD=12AB，所以乙同学的作法不正确；
对于丙同学的作法：
根据作图痕迹得AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
∵点D是AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12AC=12AB，所以丙同学的作法正确；
故答案为：甲、丙；
（2）如图，DE为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
17．（2025春•雁塔区）如图，已知Rt△ABC，点D是AB边的中点，请利用尺规作图在Rt△ABC内部求作一点P，使点P到AC所在直线的距离等于PD的长度（保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】作图—复杂作图；点到直线的距离．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】作∠BAC的平分线，再过点D作AB的垂线，与∠BAC的平分线相交于点P，则点P'满足题意；过点D作DE⊥AC于点E，以点E为圆心，DE的长为半径画弧，在点E的右侧交AC于点F，再分别以点D，F为圆心，DE的长为半径画弧，两弧相交于点P''，则点P''满足题意．
【解答】解：如图1，作∠BAC的平分线，再过点D作AB的垂线，与∠BAC的平分线相交于点P，
则点P'满足题意；
如图2，过点D作DE⊥AC于点E，以点E为圆心，DE的长为半径画弧，在点E的右侧交AC于点F，再分别以点D，F为圆心，DE的长为半径画弧，两弧相交于点P''，
此时点P到AC所在直线的距离为FP''的长，等于P''D的长，
则点P''满足题意．
【点评】本题考查作图—复杂作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2025春•宝应县）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝CE，仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）如图1，画出∠DAE的平分线；
（2）如图2，画出∠AEC的平分线；
（3）如图3，以AE为边画出一个菱形．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；等腰三角形的性质；菱形的判定；矩形的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）作射线AC，结合矩形的性质、等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠CAE，即AC为∠DAE的平分线，则射线AC即为所求．
（2）结合矩形的性质、等腰三角形的性质，连接AC，BD相交于点O，作射线EO即可．
（3）连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF即可．
【解答】解：（1）如图1，作射线AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE．
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠DAC＝∠CAE，
∴AC为∠DAE的平分线，
则射线AC即为所求．
（2）如图2，连接AC，BD相交于点O，作射线EO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴点O为AC的中点，
∵AE＝CE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴EO平分∠AEC，
则射线EO即为所求．
（3）如图3，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF，
则菱形AECF即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、菱形的判定、矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2025•越秀区三模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：请在图1的△ABC内作一点P，使点P在以BC为直径的圆上，且点P到AB、BC的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝2，求直径BC、弦BP、PC围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图）
【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析；
（2）34+16π．
【分析】（1）画出以BC为直径的圆以及∠ABC的平分线，取其交点即可；
（2）连接OP，过点P作PD⊥BC于点D，根据特殊角的三角函数值得出∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义知∠PBC＝30°，再根据圆周角定理得∠POC＝60°，然后根据解直角三角形的知识得DP，最后根据直径BC，弦BP，PC围成的封闭图形的面积为S△BOP+S扇形COP即可求解．
【解答】解：（1）如图1，先作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，再作∠ABC的平分线，交⊙O于点P，点P即为所求；
（2）∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，如图2，连接OP，过点P作PD⊥BC于点D，
∴cs∠ABC=BCAB=24=12，
∴∠ABC＝60°．
由（1）知，OB＝OC＝OP＝1，BP为∠ABC的平分线，
∴∠OBP=12∠ABC＝30°，
∴∠COP＝2∠CBP＝60°，
∴DP＝OP•sin∠DOP＝1×32=32，
∴直径BC、弦BP、PC围成的封闭图形的面积为：S△BOP+S扇形COP=12×1×32+60π×12360=34+16π．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
20．（2025春•宜兴市）已知直线l及位于其两侧的两点A，B，如图．请用尺规作图．
（1）在图1中的直线l上求一点P，使PA＝PB；
（2）在图2中的直线l上求一点Q，使直线l平分∠AQB．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，则点P即为所求．
（2）过点B作直线l的垂线，交直线l于点C，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交BC的延长线于点B'，连接B'A并延长，交直线l于点Q，则点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图1，作线段AB的垂直平分线，与直线l交于点P，
则点P即为所求．
（2）如图2，过点B作直线l的垂线，交直线l于点C，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交BC的延长线于点B'，连接B'A并延长，交直线l于点Q，
则点Q即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．