（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第8章 第03讲 直线、平面平行的判定与性质 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点二：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
【解题方法总结】
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
题型一：平行的判定
【例1】若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则；
以上说法中成立的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】对于①，设平面，且，由直线与平面平行的判定定理可知，，
再由平面与平面平行的判定定理可知，则①正确；
对于②，设、交于直线，若内有一条直线垂直于，则、可能垂直也可能不垂直，则②错误；
对于③，由直线与平面平行的判定定理可知，则③正确，故选：．
【变式1-1】如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，所以直线平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，所以直线平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得，平面ABC，平面ABC，
所以直线平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．
故选：D．
【变式1-2】a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：
①，，则；②若，，则；
③，，则；④若，，则；
⑤若，，则；⑥若，，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；⑤，，则或，所以⑤不正确；⑥，，则或，所以⑥不正确；故选：C．
【解题方法总结】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
【例2】如图所示，在正四棱锥中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，．

（1）证明：//平面PBC；
【解析】（1）证明：如图，延长FO至点M，使，连接MD，
∵底面ABCD的中心为O，∴平面ABCD，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，∴
而，∴，∴，
∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC；
【变式2-1】如图，在三棱柱中，平面，且，点是棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）连接交于点，连接，
是的中点，是的中点，∴，
平面，平面，∴平面；
（2）过作于，平面，平面，，
又平面，平面，
在等边中，是的中点，，．
所以三棱锥的体积为．
【变式2-2】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点，且．

（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【解析】（1）连接交于，连接，如图所示．
因为四边形是正方形，所以是的中点，又点是棱的中点，
所以是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为平面，，平面，所以，，
又，，，平面，所以平面，
又，平面，所以，．
在中，，，是的中点，所以，，
又，，，平面，
所以平面，所以是三棱锥的高．
在中，，，，所以，所以，所以，
得，，，．
在中，，，，所以，所以，所以．设点到平面的距离为，
所以，解得，即点到平面的距离为．
【变式2-3】如图，在正方体中，是棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
【解析】（1）连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
（2）因为正方体中，平面，
所以．
【解题方法总结】
（1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；
（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
图一图二图三图四
题型三：线面平行构造之平行四边形法
【例3】如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，．
（1）求证：平面；
【解析】（1）证明：取中点，连接，因为分别是的中点，所以，
又因为底面是菱形，是的中点，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
【变式3-1】如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，的边长为2．
（1）求证：：平面；
【解析】（1）证明：取的中点，连接，，
根据题意可得，且，，
由三棱柱得性质知，所以，则四边形是平行四边形，所以，
因为面，面，所以面．
【变式3-2】如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由．
【解析】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
（2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，则平面．
（3）取中点N，连接，，
因为E，N分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
线段存在点N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的动点，平面，
所以平面，所以线段存在点N，使得平面．
【解题方法总结】
（1）初学者可以拿一把直尺放在位置，如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三；
（4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四．
图一 图二 图三 图四
题型四：线面平行转化为面面平行
【例4】如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
【解析】（1）连接，
∵是正方形，，分别是棱，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面，平面，
∵，直线在平面内，
∴平面平面，∵平面，
∴平面．
（2）∵平面，，∴平面，
过C在平面内，作，垂足为，则，
∵，又直线FG，BF在平面内，∴平面，
∴的长是点C到平面的距离，
∵中，，∴由等面积可得，∴点C到平面的距离为．
【变式4-1】如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．
（1）求证：平面；
【解析】（1）因为四边形是菱形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
【变式4-2】如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，．
（1）求证：平面；
【解析】（1）证明：因为四边形是矩形，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，、平面，则平面平面，
因为平面，所以，平面．
【解题方法总结】
本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
【例5】已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．
（1）平面平面，证明：．
（2）当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．
【解析】（1）因为平面平面，
所以平面，平面，
又因为平面平面，所以．
（2）过点作的垂线，垂足为，则，
因为平面，所以平面，若点为中点，则点为的中点，
此时，所以直线与平面的夹角为，
即点为中点时满足题意，
因为平面，所以平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为，故
【变式5-1】如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）．
（1）设平面与平面相交于直线，求证：；
【解析】（1）证明：因为点、分别为棱、的中点，则，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，所以，，故．
【解题方法总结】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
题型六：面面平行的证明
【例6】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
（1）证明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】（1）证明：连接BD，如图
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD，
∵AD⊥CD，又CD，BM⊂平面ABCD，BM∥CD，
又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD，
又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．
【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
（1）求证：平面平面PCD；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线， 所以，，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而，平面，平面，平面平面PCD．
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，所以，
因为底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，所以，，
所以和均为直角三角形，所以，，
所以，所以，
所以，设点到平面的距离为，
根据体积相等法可知，所以，所以．
，故三棱锥的体积为．
【解题方法总结】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
题型七：面面平行的性质
【例7】如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面EFCD与平面ABCD所成角的正切值为．
（1）证明：；
【解析】（1）在直四棱柱中，平面平面，
平面，平面，则，
而，又，因此，
则四边形是平行四边形，，所以．
【变式7-1】如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，．
（1）求证：；
【解析】（1）因为平面平面，，，，四点共面，
且平面平面，平面平面，所以．
【变式7-2】在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE．
（1）求证：；
【解析】（1）如图，连接，，
因为为母线，所以，
又平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
又因为平面平面，平面平面，所以，
因为是的中点，所以是的中点，即．
【解题方法总结】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
题型八：平行关系的综合应用
【例8】已知正方体中，､分别为对角线､上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．
【解析】（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，故，
所以，又因为，所以，所以．
又平面，平面，故平面．
（2）当的值为时，能使平面平面．
证明：因为，即有，故．所以．
又平面，平面，所以平面，
又，平面．所以平面平面．
【变式8-1】如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．
（1）当平面时，求实数的值；
【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，
为的中点，且平面平面，
平面平面，，为的中点，即实数的值为．
【变式8-2】如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点．
（1）求证：平面；
（2）已知点在上满足平面，求的值．
【解析】（1）证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则FO ．
又平面，平面，故平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，连结，，，EN．
因，则四点共面．
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，可得 为中点．
则为BG中点．即EN为中位线，则ENPG，．
又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD．
从而FDPG，．
第03讲 直线、平面平行的判定与性质
1．已知是平面外的两条直线，在的前提下，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为是平面外的两条直线，，所以面内必存在一条直线与平行，不妨设为，则，
所以当时，，又，所以，即充分性成立；当时，可能平行，也可能相交，即必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
2．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则可以用来判断的条件有（ ）
①，
②，
③，，
④，，
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析4个条件：对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，可以判断，对于②，平面同一平面的两条直线可以平行、也可以相交或异面，不可以判断，对于③，两个平行平面内的两条直线，可以平行、也可以相交或异面，不可以判断，对于④，由直线与平面平行的性质分析，可以判断，则可以判断的是①④；故A，B，C错误.故选：D．
3．已知平面、、，其中，，点在平面内，有以下四个命题：
①在内过点，有且只有一条直线垂直；
②在内过点，有且只有一条直线平行；
③过点作的垂线，则；
④与、的交线分别为、，则．
则真命题的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】，，，
又点在平面内，在内过点，有且只有一条直线垂直，故①正确；
当在与的交线上时，在内过点，不存在直线平行，故②错误；
当在与的交线上时，过点作的垂线，则，故③错误；
与、的交线分别为、，由平面与平面平行的性质，可得，故④正确．
真命题的个数为2．
故选：B．
4．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】连接交于点，连接，则平面即为平面，
因为，平面，平面，所以，因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故选：B.
5．（多选）已知，，是三个平面，，，．下列结论正确的是（ ）
A．若，则与可能是异面直线
B．若，则直线、、必然交于一点（即三线共点）
C．若，则
D．若，则与可能是异面直线
【答案】BC
【解析】对于A、B：由题意，知，可得，，因为，可得，
又由，可得，所以为与的公共点．
又，所以，所以、、三线共点，故A错误，B正确．
对于C、D：由题意，因为，，，所以，因为，，，所以，同理可证，所以，故C正确，D错误；故选：BC
6．（多选）如图，在直三棱柱中，，，点是上的动点，点是上的动点，则（ ）

A．//平面B．与不垂直
C．存在点、，使得D．的最小值是
【答案】CD
【解析】对于A，在直三棱柱中，，因为平面，所以与平面相交，A错；
因为平面，平面，所以，若与重合，此时；若与不重合，与也垂直，又，平面，则平面，又平面，则，不成立，所以此时与不垂直，故B错；
如图，过点作，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，则，又是上的动点，点是上的动点，所以存在点、使得，即存在点、，使得，C正确；
对于D，将和放置于同一平面内，如图，
则，因为，所以，在直角三角形中，，所以为等边三角形，所以，，
所以，D正确.故选：CD
7．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为 ．
【答案】4
【解析】设的中点分别为，连接，根据三角形中位线定理，可得：，，所以有，因此四边形是平行四边形，因为，平面，平面，所以平面，
同理平面， 因此平行四边形的周长为，故答案为：
8．三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为 ．
【答案】2
【解析】因为平面，平面平面，平面ABC，所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故.同理，所以四边形的周长为2.故答案为：2
9．如图，四棱锥中，四边形为梯形，∥，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线∥平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）连接BD，M，N分别是PD，PB的中点．∥
又平面，平面直线∥平面
（2），，
,,
两两之间互相垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系
,,,,
又M，N分别是PD，PB的中点．，
,，设平面的法向量为
可得解得令可得法向量
,，平面
为平面得法向量
令平面与平面夹角为且为锐角
平面与平面夹角的余弦值为.
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线