2024年新高考数学一轮复习达标检测第27讲平面向量的概念及线性运算（教师版）

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A．相等B．平行C．方向相同D．长度相等
【分析】根据，是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．
【解答】解：因为，是两个单位向量；
只能得到其模长相等，其他没法确定；
故选：D．
2．如图所示，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意先证明DE∥CB且DECB，再利用中点找出所有与向量相等的向量
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DECB，
则与向量相等的有，．
故选：D．
3．已知，下列向量中，与反向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），可得的坐标为（﹣λ，λ），由单位向量的定义可得（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得λ的值，即可得的坐标，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），
则λ（﹣λ，λ），（λ＜0），
为单位向量，则（﹣λ）2+（λ）2＝1，
解可得：λ＝±，
又由λ＜0，则λ，
故（，）；
故选：B．
4．化简向量等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义进行运算即可．
【解答】解：．
故选：A．
5．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：如图所示，
∵在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
故．
故选：A．
6．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．
【解答】解：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，
∴，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得：，再由三角形法则可求向量．
【解答】解：设kk（）＝k（），
∵k（）（k﹣1）（1﹣k），．
∵∥，∴λ，则（k﹣1）（1﹣k）λ（）．
∴，∴k，，∴．
故选：B．
8．如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等边三角形外心的性质得出，再根据三点共线的基本性质，求解即可．
【解答】解：由题，圆O是等边三角形ABC的外接圆，∴，
点D为劣弧AC的中点，∴，
∴，又因为，所以B，O，D三点共线．
圆O中，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，2，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据即可得出，进而可得出，然后根据B，P，N三点共线即可得出t的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，且B，P，N三点共线，
∴，解得．
故选：C．
10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知，
所以结论中错误的是C．
ABD均正确．
故选：ABD．
11．计算： ．
【分析】利用向量线性运算性质即可得出．
【解答】解：．
故答案为：．
12．已知点P是直线P1P2上一点，且，若，则实数λ＝
【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果．
【解答】解：由题意，
（）＝﹣（）．
∴λ．
故答案为：．
13．对下列命题：
（1）若向量与同向，且||＞||，则；
（2）若向量||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量||＝||，若与的方向相同，则；
（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；
（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．
其中正确的命题的个数为
【分析】直接根据向量的基本性质以及的特殊性即可判断．
【解答】解：（1）向量不能比较大小，故不正确；
（2）向量||＝||，只能说长度相等，方向不定；故错误；
（3）由相等向量的定义可得其正确；
（4）错误，与任意向量平行；
（5）若其中一个是，其错误；
故真命题只有（3）即1个；
故答案为：1．
14．已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为 ．
【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得m的值．
【解答】解：因为向量与共线，
所以，
解得m＝﹣1或m＝3．
故答案为：﹣1或3．
15．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝ ．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；
由①、②得出，从而求出λ的值．
【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点，2，，
如图所示，
∴2①，
，
∴22222②；
①+②得，32，
∴；
∴λ．
故答案为：．
16．已知，不共线，若k∥，试确定k的值．
【分析】据条件可知，，而根据可知，存在实数λ，使得，从而得出，解出k即可．
【解答】解：∵不共线；
∴；
又；
∴存在实数λ，使；
即；
解得k＝±1．
17．（1）化简：；
（2）设两个非零向量与不共线．如果，，，求证：A、B、D三点共线．
【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；
（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出A，B，D三点共线．
【解答】解：（1）原式；
（2）证明：∵，
∴，
又有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
18．如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设．
（1）用表示向量，．
（2）若，求实数λ的值．
【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用表示向量，．
（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．
【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且，
由平行四边形法则得2，
则22，
则22．
（2）由图知∥，
∵2λ（2﹣λ），，
∴，
解得．
19．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记，．
（1）用、表示，并求||；
（2）若，求实数λ的值．
【分析】（1）由向量的线性运算得：，||；
（2）设，，由向量的线性运算得：在△ABO中有，所以，所以λ（）μ（），又，不共线，则，解得：得解
【解答】解：（1），
||；
（2）设，，
在△ABO中有，
所以，
所以λ（）μ（），
又，不共线，则，
解得：
故实数λ的值为．
[B组]—强基必备
1．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若x，y，xy≠0，则4x+y的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用．
【解答】解：设△ABC的重心为M，由题意可知D、E、M三点共线
∴存在λ使得
∵且
∴，化简得：
∴
故选：B．
2．在△ABC中，，且，（其中x，y∈（0，1）），且x+4y＝1，若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为 ．
【分析】根据平面向量的数量积运算求得•的值，再利用中线的性质表示出、，由此求得，计算||的最小值即可．
【解答】解：连接CM、CN，如图所示；
∵等腰三角形ABC中，AC＝BC＝1，AB，
∴∠ACB＝120°，
∴•||•||cs120°；
又CM是△CEF的中线，
∴（）（xy）
同理，可得（），
由此可得（1﹣x）（1﹣y），
∴（1﹣x）2（1﹣x）（1﹣y）×（）（1﹣y）2；
又x+4y＝1，∴1﹣x＝4y，
代入上式得4y2﹣y（1﹣y）（1﹣y）2y2y；
又x，y∈（0，1），
∴当y时，取得最小值为，
此时||的最小值为．
故答案为：．