陕西省安康市2025-2026学年高二上学期2月教学质量检测数学试卷含解析（word版）

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注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 若圆 x2+y2+4ax−2ay−4a2=0 的面积为 36π ，则 a= ( )
A. ±1 B. ±2 C. ±3 D. ±4
【答案】B
【解析】
【分析】将圆化成标准方程, 可以知道圆的半径, 代入面积公式即可求出答案.
【详解】由题意知圆的方程是 x2+y2+4ax−2ay−4a2=0 ,
可以化成标准方程 x+2a2+y−a2=3a2 ,而圆的面积为 36π ,
则由圆的面积公式可得 π×3a2=36π ,解之可得 a=±2 .
故选: B
2. 已知焦点在 x 轴上的椭圆 x2m+y24=1 的离心率为 22 ，则 m= ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意,由椭圆的标准方程分析可得 m−4m=22 ,解方程求 m 即可判断.
【详解】由题意焦点在 x 轴上的椭圆 x2m+y24=1 离心率为 22 ,
所以 m>4,a2=m,b2=4,c2=a2−b2=m−4 ,
故 a=m,c=m−4 ,
可得 m−4m=22 ,解得 m=8 .
故选: D.
3. 在四面体 ABCD 中，点 E 为底面 BCD 上一点， BE=AB+yAC+3AD ，则 y= ( )
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量运算法则将 BE 转化为 AB,AC,AD ,根据空间向量基本定理求 y .
【详解】因为点 E 为底面 BCD 上一点,所以可设 BE=λBC+μBD ,
所以 BE=λAC−AB+μAD−AB=−λ−μAB+λAC+μAD ,
又 BE=AB+yAC+3AD ,
所以 −λ−μ=1,λ=y,μ=3 ,
所以 λ=−4,μ=3,y=−4 ,
故选: B.
4. 记双曲线 E:x2a2−y216=1a>0 的左，右焦点分别为 F1,F2,E 上一点 P 满足 PF1=12 , PF2=6 ，则 △PF1F2 的周长为( )
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线定义可得 a=3 ,从而求出 c=5 ,得到 F1F2=10 ,求出答案.
【详解】由双曲线定义可知 PF1−PF2=2a ,即 2a=12−6=6 ,故 a=3 ,
故 c2=a2+b2=9+16=25 ,故 c=5 ,
所以 F1F2=2c=10，ΔPF1F2 的周长为 PF1+PF2+F1F2=12+6+10=28 .
故选: D
5. 设点 A1,2,B1,−2,P 为动点,记 AP,BP 的斜率分别为 k1,k2 ,且 1k1−1k2=1 ,则点 P 的轨迹
方程为( )
A. y2=8x B. y2=8xx≠1
C. y2=4xx≠1 D. y2=4x
【答案】C
【解析】
【分析】设 Px,y ,由题意列出点 P 的坐标满足的方程,化简可得其轨迹方程.
【详解】设 Px,y ,因为 1k1−1k2=1 ,所以 x−1y−2−x−1y+2=1x≠1,y≠±2 ,
化简得 y2=4xx≠1 ,即点 P 的轨迹方程为 y2=4xx≠1 .
故选: C
6. 记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， a2>0,S2=4,S3=12 ，则 an 的公比为( )
A. 1+3 B. 2+2C. 3 D. −1+2
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列前 n 项和的概念,以及等比数列通项公式的概念,求出数列公比即可.
【详解】由题意可得 S2=a1+a1q=4,S3=a1+a1q+a1q2=12 ,
作差得 a1q2=8 ,因为 a2=a1q>0 ,所以 q>0 ,
作商得 1+q1+q+q2=13 ,化简得 q2−2q−2=0 ,因为 q>0 ,解得 q=1+3 .
故选: A.
7. 记 Tn 为数列 an 的前 n 项积,若 an−8Tn=1 ,则()
A. Tn 是公差为负数的等差数列
B. Tn 是公差为正数的等差数列
C. 1Tn 是公差为负数的等差数列
D. 1Tn 是公差为正数的等差数列
【答案】C
【解析】
【分析】本题可先根据已知条件得出 Tn 与 Tn−1 的关系,再通过变形得到 1Tn 与 1Tn−1 的关系,最后根据等差数列的定义判断数列 1Tn 的类型.
【详解】由题意, Tn=a1a2⋯an ,当 n=1 时, T1=a1 ,
代入 an−8Tn=1 可得: a1−8T1=1 ，即 T1−8T1=1 ，则 T1=−17 ，
当 n≥2 时， Tn−1=a1a2⋯an−1 ，又 Tn=a1a2⋯an ，所以 TnTn−1=an ，
将 TnTn−1=an 代入 an−8Tn=1 可得 TnTn−1−8Tn=1 ,等式两边同时除以 Tn ,
(若 Tn=0 ,代入 an−8Tn=1 得 an=1 ,又 Tn=a1a2⋯an 不成立,所以 Tn≠0 ),
得 1Tn−1−8=1Tn ,移项可得 1Tn−1Tn−1=−8n≥2 ,且 1T1=1−17=−7 ,
所以数列 1Tn 是以 -7 为首项, -8 为公差的等差数列, 公差为负数.
故选: C
8. 在平行四边形 ABCD 中, ∠DAB=π3,AB=2AD ,将 △DAB 沿对角线 BD 折起,使得平面 BCD⊥ 平面 ABD ,则直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( )
A. 12 B. 32 C. 34 D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,利用面面垂直的性质,证得所以 AD⊥ 平面 BCD ,把折叠后的三棱锥放置在一个长方体中，连接 AE ，得到异面直线 AB 与 CD 所成的角，即为直线 AB 与 AE 所成的角，在 △ABE 中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】设 AD=1 ，因为 AB=2AD ，所以 AB=2 ，
在 △ABD 中,因为 ∠DAB=π3 ,
由余弦定理可得 BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcsπ3=1+4−2×1×2×12=3 ,所以 BD=3 ,
则满足 AB2=AD2+BD2 ,所以 AD⊥BD ,
因为平面 BCD⊥ 平面 ABD ,且平面 BCD∩ 平面 ABD=BD,AD⊂ 平面 ABD , 所以 AD⊥ 平面 BCD ,
又因为在平行四边形 ABCD 中,可得 BC//AD 所以 BC⊥BD ,
把折叠后的三棱锥放置在一个长方体中，如图所示，
连接 AE ,在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中,可得 AE//CD ,
所以异面直线 AB 与 CD 所成的角,即为直线 AB 与 AE 所成的角,
因为 AB=2,AE=CD=2,BC=1,AD=CE=1 ,
在直角 △BCE 中， BE=BC2+CE2=2 ，
在 △ABE 中，可得 cs∠BAE=AB2+AE2−BE22AB⋅BE=4+4−22×2×2=34 ，
所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 34 .
故选: C.

二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知空间向量 a=1,−1,1,b=2,2,2 ，则())
A. 2a+b=4,0,4 B. a 与 b 平行
C. 2a+b⊥2a−b D. a⋅b=4
【答案】AC
【解析】
【分析】由空间向量线性运算, 垂直, 平行, 数量积坐标表示可判断各选项正误.
【详解】对于 A,2a+b=2×1+2,−1×2+2,1×2+2=4,0,4 ,故 A 正确;
对于 B ,若 a//b ,则存在实数 λ ,使 a=λb ,则 1=2λ−1=2λ1=2λ ,方程无解,从而 a 与 b 不平行,故 B 错误;
对于 C,2a+b=4,0,4,2a−b=0,−4,0 ,则 2a+b⋅2a−b=0 ,又 2a+b,2a−b 均不是零向量,则 2a+b⊥2a−b ,故 C 正确;
对于 D,a⋅b=1×2−1×2+1×2=2 ,故 D 错误.
故选: AC
10. 已知直线 l:m+2x+m−1y−2m−1=0m∈R ,圆 C:x+12+y−22=1 ,则 ( )
A. l 过定点 1,1
B. 当圆心 C 到直线 l 的距离取得最大值时, l 的斜率为 2
C. 当 l 与圆 C 相交时, m>10 或 m