陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省安康市2024-2025学年高二上学期期中考试检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，，，
所以，
故选：A．
2. 若复数，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，故选A.
3. 已知直线与平行，且过点，则（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得，
又直线过，则，解得，
经验证与不重合，所以.
故选：D.
4. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得.
故选：B.
5. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为．
故选：C．
6. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点，则，
以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，所以，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离为.
故选：C.
7. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知，圆外离，，
又．
故选：D.
8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为上任意一点，为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A. 点到平面的距离
B. 直线与平面所成的角
C. 的面积
D. 三棱锥的体积
【答案】B
【解析】对A，因为平面即平面为确定的面，且点为确定的点，故点到平面的距离为定值；
对B，易得平面为平面，且，平面，平面，故平面.因为，故到平面的距离为定值，又长度不为定值，故与平面所成的角的正弦不为定值，即与平面所成的角不确定；
对CD，因为到的距离为定值，故为定值，由A可得点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故的面积与三棱锥的体积均为定值；
故选：B.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线与交于点，则（ ）
A.
B.
C. 点到直线的距离为
D. 点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】由题意，得：，解得，，故A、B正确，
∴到直线的距离，故C错误，D正确.
故选：ABD.
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为向量，可得，
对于A中，由，设，即，
可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误；
对于B中，由，
所以，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BCD.
11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A. B. C. 4D. 5
【答案】BC
【解析】曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数m的取值范围为，
故选：BC.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________.
【答案】或
【解析】设直线在轴､轴上的截距均为，
①若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，
故直线方程为，即；
②若，则直线方程为，代入可得，
解得，故直线方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故答案为：或.
13. 若正实数a，b满足，则的最小值是________.
【答案】
【解析】因为，由基本不等式得，
即，解得，
当且仅当，即时，等号成立.
14. 已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点（当光线与圆相切时也认为光线没被圆挡住），则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】令从点出发的光线射到轴上的入射点为，反射光线的反向延长线必过点，
设直线的方程为y=k(x+4)-2,k>0，
当直线与圆相交时，反射光线被圆挡住不能到达点，
则不被挡住时，，解得或（舍去），
直线与直线的交点，因此，
所以实数的取值范围为.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知的顶点坐标为.
（1）若点是边上的中点，求直线的方程；
（2）求边上的高所在的直线方程.
解：（1）因为点是边上中点，
则，所以，
所以直线的方程为，即；
（2）因为，所以边上高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
16. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．
解：（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为
直线AB的垂直平分线的方程为，整理为
联立方程，解得
由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，可得圆C的半径为
故圆C的标准方程为
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切，
故此时直线l的方程为
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
整理为
由直线l与圆C相切，有，解得
可得直线l的方程为，整理为
故直线l的方程为或．
17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线的夹角的余弦值.
（1）证明：因是直三棱柱，则，
又因点分别为棱的中点，所以，
则四边形是平行四边形，所以，
又因平面平面，故平面；
（2）解：如图，因直三棱柱中，故可以为原点，以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
于，
设直线与直线的夹角为，则，
故直线与直线的夹角的余弦值为.
18. 已知，是实数，且．
（1）求的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值．
解：（1）设，化为，
可知直线与圆有交点，圆心，半径为2，
有，解得，
可得的最小值为1，最大值为21；
（2）设，化为，
可知直线与圆有交点，
有，解得或，
故的取值范围为；
（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，
圆的圆心到坐标原点的距离为，
故的最小值为，最大值为．
19. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，平面平面，且，点分别是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角的正弦值为.
①求的长；
②求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：在矩形中，，且是的中点，
，故，
又，则，即，
如图，记，连接，
因是矩形，故是的中点，又，所以，
又平面平面，平面平面平面，故平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面；
（2）解：①如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，
过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.
设，所以
故，
设平面的法向量为，又，
所以由，故可取，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，
解得，所以；
②如图，因为，
设平面的一个法向量为，又，
所以，故可取，
设平面的一个法向量为，
又，
所以，故可取，
设平面与平面的夹角为，
所以.
即平面与平面的夹角的余弦值为.