陕西省安康市2024届高三上学期第二次质检数学（理科）试卷

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1. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在等比数列中，，则（ ）
A. B. C. 16D. 8
5. 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A 2B. 4C. D.
6. 执行如图所示的程序框图，输出的（ ）
A. 18B. 22C. 25D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知为奇函数，则（ ）
A B. 14C. D. 7
9. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
10. 下图是由两个边长不相等正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分别记为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量满足，则__________.
14. 若满足约束条件，则目标函数的最大值为__.
15. 已知函数.若存在，使不等式成立，则的取值范围是__________.
16. 某网店统计了商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且，则商品近30天的总销量为__________.
三、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在三棱锥中，.
（1）证明：.
（2）若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 内角的对边分别为，已知的周长为.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
19. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这份样本数据平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
20. 已知椭圆经过两点.
（1）求的方程；
（2）斜率不为0的直线与椭圆交于两点，且点A不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求.
21. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）已知，证明：.
22. 在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数），（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）已知直线，且与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，则当取得最大值时，求的值.
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.