2026届高考模拟（二模）数学试卷 (北京卷) 01+答案

这是一份2026届高考模拟（二模）数学试卷 (北京卷) 01+答案，共13页。试卷主要包含了已知 x>0,y>0 ，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、单项选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合 A=x∈N∗∣−20 的渐近线方程为 y=±2x ，则 C 的离心率为( )
A. 52 B. 62 C. 3 D. 5
4.已知函数 fx=3x+m,x>02x2−6,x≤0 ，若 ff−2=7 ，则 m= ( )
A. −2 B. 2 C. −1 D. 1
5.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，公差 d≠0 ，若 S5=70 ，且 a2,a4,a9 成等比数列，则 a6= ( )
A. 30 B. 32 C. 36 D. 40
6.已知 x>0,y>0 ，则( )
A. x2+y2>2xy B. 1x+1y≥1xy C. x+y>xy D. 1x+1y≤2xy
7.已知 fx 是 R 上的偶函数，且满足 fx−1+f3−x=0 ，若 fx 在 0,1 上单调递减，且 f0=3 ，则 f2x 在 R 上的最小值是( )
A. −4 B. −3 C. −2 D. −1
8.将函数 fx=3sin2x+cs2x 的图象向左平移 φφ>0 个单位长度后得到函数 gx 的图象. 若 fx 与 gx 的图象关于点 π8,0 对称，则 φ 的最小值为 ( )
A. π12 B. 5π12 C. π6 D. 7π12
9.某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略，第一阶段使用对数衰减，初始学习率为0.1，学习率和随达代次数 nn∈N∗ 的变化公式为 η=0.1−0.01lnn+1 .当学习率小于等于0.05时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为 η=0.05e−0.01n−n1 ，其中 n1 为第一阶段结束时的迭代次数， n 为总迭代次数.当学习率小于等于0.01时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为 (结果保留整数.参考数据: e5≈148.413,ln5≈1.609 ( )
A. 307 B. 308 C. 309 D. 310
10.已知向量 a=m,n,b=x,y,e=1,0 ，若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3 ，向量 b 满足 b2−6e⋅b+5=0 ，则 a−b 的最小值为 ( )
A. 332−2 B. 3−1 C. 3 D. 332
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知抛物线 C:y2=2pxp>2 上一点 M 到 C 的焦点及对称轴的距离分别为2和 2 ，则 p= _____.
12.若 1+x24=a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8 ，则 a0−a1+a2−a3+a4 的值为_____.
13.已知 sinα−sinβ=13,csα+csβ=12 ，则 csα+β= _____， csα−β= _____.
14.如图，点 A ， BB1 的中点 M 及 B1C1 的中点 N 所确定的平面把直三棱柱 ABC−A1B1C1 切割成体积不同的两部分，记小部分的体积为 V1 ，大部分的体积为 V2 ，则 V1V2= _____.
已知函数 fx 的定义域为R，给出下列四个结论:
①存在周期函数 fx ，使得函数 gx=fx+f−x 不是周期函数；
②对任意 a≠0 ，函数 fx 与函数 hx=fx+a 不可能都是奇函数；
③若 fxy=fxfy 恒成立且函数 fx 不是常值函数，则 fx 的图象过定点 1,1 ；
④存在无穷多个周期函数 fx ，使得 fx−f−x=sinx 恒成立.
其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题:本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15.在 △ABC 中， b2+c2−a2=433S ( S 为 △ABC 的面积).
(1)求 ∠A ；
(2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得 △ABC 存在，求 △ABC 的周长. 条件①: csB=2114 ；条件②: asinC=43 ；条件③: AC 边上的中线等于 72 .
16.如图， P 是圆锥的顶点， O 是底面圆心， AB 是底面直径， Q 是母线PA的中点，点 C ， D 在底面圆周上，且 ∠AOC=π3 ，点 M 在线段 OC 上， 且直线 QM// 平面 PBD .
(1)证明: CD//AB ；
(2)若 △PAB 是正三角形，求直线 PA 与平面 PBD 所成角的正弦值.
17.某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类. 现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下:当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为 0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品. 假设各次检测结果相互独立. 已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%.
(1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率.
(2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率.
(3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元. 若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理. 若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元. 设一个零件的利润为 X 元，若 X 的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由.
18.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右顶点分别为 A1,A2 ，左焦点为 F ，且 A1F=1,A2F=5.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若斜率为 k ( k≠0 )的直线 l 与椭圆C交于 A ， B 两点，线段 AB 的垂直平分线，与 y 轴交于点 D (0，−1)，求直线 l 与 y 轴交点的纵坐标 y0 的取值范围.
19.已知函数 fx=ax−2,gx=ax2−ax3a∈R且a≠0 .
(1)设 gx 的导函数为 g′x .
① 若 fx 与 g′x 有相同的零点，求 a 的值；
② 若对任意 x≥0 ，都有 fx≥g′x ，求 a 的取值范围；
(2)若存在唯一的实数 t ，使得 ft=gt ，求 a 的取值范围.
20.已知 S 是由 x1,x2,…,xnn∈N∗,n≥2 这 n 个数构成的所有排列组成的集合，例如，若 x1=5,x2=7 ，则 S={5,7,7,5} .定义:
① A 与 B 的差 A−B=a1−b1,a2−b2,⋯,an−bn ，② A 与 B 的距离 dA,B=a1−b1+a2−b2+⋯+an−bn ，其中A=a1,a2,⋯,an∈S,B=b1,b2,⋯,bn∈S.
(1)若 xi=ii=1,2,3 ，写出集合 S ；
(2)若 xi=ii=1,2,3,⋯,n ，且 ai≠bii=1,2,3,⋯,n ，求 dA,B 的最小值.
(3)若 xi∈{m,m+1},m∈N,A,B,C∈S ,求证: dA,B,dA,C,dB,C 三个数中至少有一个偶数.
一、单项选择题（10小题，每小题4分，共40分）
1.B
2.A
3.A
4.A
5.B
6.C
7.B
8.B
9.C
10.A
二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）
11.3
12.16
13.−5972；−572
14.717
15.②③②③
三、解答题（6小题，共85分）
15. 解:
(1) 由余弦定理，b2+c2−a2=2bccsA，三角形面积S=12bcsinA。
已知b2+c2−a2=433S，代入得：
2bccsA=433⋅12bcsinA
约去bc(bc≠0)，化简得tanA=3。
又A∈(0,π)，故A=π3。
(2) 选①②：
由csB=2114，B∈(0,π)，得sinB=1−cs2B=5714。
由正弦定理asinA=csinC，得asinC=csinA。
已知asinC=43，sinA=32，故c⋅32=43 ⇒ c=8。
sinC=sin(π−A−B)=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB
=32⋅2114+12⋅5714=37+5728=277
再由正弦定理asinA=csinC，得a=csinAsinC=8⋅32277=73。
由正弦定理bsinB=csinC，得b=csinBsinC=8⋅5714277=10。
周长为a+b+c=73+10+8=18+73。
选①③：
设AC中点为D，则AD=b2，在△ABD中，由余弦定理：
BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅csA
即722=c2+b22−2⋅c⋅b2⋅12，化简得b2+c2−bc=49。
由csB=2114，正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，
又A=π3，sinB=5714，故b5714=csin(2π3−B)，
结合余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=49 ⇒ a=7，
再由正弦定理2R=asinA=732=1433，得b=5714⋅1433=5213，c=4213，
周长为a+b+c=7+5213+4213=7+321。
选②③：
由asinC=43，asinC=csinA ⇒ c=8（同①②）。
设AC中点为D，AD=b2，在△ABD中，余弦定理得b2+64−8b=49，
即b2−8b+15=0，解得b=3或b=5，均满足题意。
当b=3时，由余弦定理a2=32+82−2⋅3⋅8⋅12=49 ⇒ a=7，周长18；
当b=5时，由余弦定理a2=52+82−2⋅5⋅8⋅12=49 ⇒ a=7，周长20。
16. 解:
以O为原点，AB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。设圆锥底面半径为r，高为h，则O(0,0,0)，A(−r,0,0)，B(r,0,0)，C(0,r,0)，P(0,0,h)，Q为PA中点，故Q−r2,0,h2，设M(0,t,0)(0≤t≤r)。
(1) 证明：
设D(x,y,0)，因D在底面圆周上，故x2+y2=r2。
平面PBD的法向量：PB=(r,0,−h)，PD=(x,y,−h)，设法向量n=(p,q,s)，则
n⋅PB=rp−hs=0n⋅PD=xp+yq−hs=0 ⇒ q=−x−ryp(y≠0)
取p=h，s=r，则n=h,−h(x−r)y,r。
因QM∥平面PBD，故QM⋅n=0，QM=r2,t,−h2，
代入得：r2⋅h−t⋅h(x−r)y−h2⋅r=0，化简得t(x−r)=0。
因t≠0（否则M与O重合，无意义），故x=r，则D(r,0,0)，即D与B横坐标相同，故CD∥AB。
(2) 若△PAB为正三角形，则PA=AB=2r，OP=PA2−OA2=3r，取r=1，则OP=3，各点坐标：
A(−1,0,0)，P(0,0,3)，B(1,0,0)，D(1,0,0)（由(1)），PA=(−1,0,−3)。
平面PBD即平面PAB，其法向量为m=(0,1,0)（垂直于xOz平面）。
设直线PA与平面PBD所成角为θ，则
sinθ=|cs⟨PA,m⟩|=PA⋅m|PA|⋅|m|=02×1
修正：取∠AOC=π3，则Cr2,3r2,0，设D(x,0,0)（CD∥AB），取r=2，则A(−2,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,23)，Q(−1,0,3)，C(1,3,0)，M(1,m,0)，QM=(2,m,−3)，平面PBD的法向量n=(0,3,1)，由QM⋅n=3m−3=0 ⇒ m=1。
PA=(−2,0,−23)，平面PBD的法向量n=(0,3,1)，则
sinθ=|cs⟨PA,n⟩|=−234×2=34
17. 解:
(1) 不合格品最终被误判为合格品，即3次检测中“合格”次数为2次或3次。
P=C32×0.12×0.9+C33×0.13=3×0.009+0.001=0.028。
(2) 最终判定为合格品分两种情况：合格品判定为合格+不合格品误判为合格。
合格品判定为合格的概率：P1=C32×0.82×0.2+C33×0.83=3×0.128+0.512=0.896；
结合零件占比，总概率P=0.8×0.896+0.2×0.028=0.7224。
(3) 设利润X的可能取值为：120−50−10=60（合格品判定合格）、−50−10−40=−100（不合格品判定合格）、−50−10=−60（不合格品判定不合格）。
P(X=60)=0.8×0.896=0.7168；
P(X=−100)=0.2×0.028=0.0056；
P(X=−60)=0.2×(1−0.028)=0.1944。
数学期望：
E(X)=60×0.7168+(−100)×0.0056+(−60)×0.1944=43.008−0.56−11.664=30.784
因30.784>25，故工厂不会停止生产。
18. 解:
(1) 由椭圆性质，|A1F|=a−c=1，|A2F|=a+c=5，联立解得a=3，c=2，则b2=a2−c2=5。
故椭圆C的方程为x29+y25=1。
(2) 设直线l的方程为y=kx+y0(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0′)。
联立y=kx+y0x29+y25=1，消去y得：(5+9k2)x2+18ky0x+9y02−45=0。
由Δ>0得：(18ky0)2−4(5+9k2)(9y02−45)>0，化简得y025（k≠0），得4y0>5 ⇒ y0>54。
代入①得：y02