2026届高考模拟（二模）数学试卷 (全国一卷) 02+答案

这是一份2026届高考模拟（二模）数学试卷 (全国一卷) 02+答案，共13页。试卷主要包含了已知点 P 为直线 l1等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题 共58分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A={x∈N∣∣x−1∣≤2},B=x∣x2≥1 ，则 A∩B= ( )
A. {−1} B. {1} C. {1,2,3} D. {−1,1,2,3}
2.已知复数 z 在复平面内对应的点为 4,3 ，则 zz= ( )
A. 54−53i B. 54+53i C. 45−35i D. 45+35i
3.已知正项数列 an 为等比数列，且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项，若 a2=2 ，则该数列的前5项和为( )
A. 10 B. 15 C. 30 D. 31
4.已知向量 a,b 的夹角为锐角，且满足 a=b=1,c=a+2b ，则向量 c 的模长可以为( )
A. 322 B. 2 C. 22 D. 3
5.已知 15=lg12a,b=cs2,c=sin−2−1sin2 ，则( )
A. b>a>c B. b>c>a C. a>b>c D. a>c>b
6.已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2π3,△ABC 的面积为 3 ，角 A 的平分线交边 BC 于 D ，且 BD=2DC ，则 a 为 ( )
A. 14 B. 10 C. 2 D. 1
7.已知点 P 为直线 l1:mx−2y−m+6=0 与直线 l2:2x+my−m−6=0m∈R 的交点，点 Q 为圆 C:x+32+y+32=8 上的动点，则 PQ 的取值范围为( )
A. 22,82 B. 22,82 C. 2,62 D. 2,62
8.卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆 C 的方程为: x2x+2+y24=1 ， O 为坐标原点，点 A1,0 ，点 P 为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是 ( )
A. 卵圆 C 关于 x 轴对称
B. 卵圆上不存在两点关于直线 x=12 对称
C. 线段 PO 长度的取值范围是 1,2
D. ΔOAP 的面积最大值为1
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识竞赛，随机抽取了100名学生的成绩(单位:分)进行统计， 按成绩分成5组: [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ，[80,90) ，[90,100] ，得到如图所示的频率分布直方图.
根据图中数据，下列结论正确的是( )
A. 这100名学生成绩的中位数约为75
B. 这100名学生成绩的平均数约为78
C. 从100名学生中随机抽取一名，估计其成绩不低于70分的概率为0.7
D. 从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在[70,80)内的概率估计值为 1049
10.如图，在直棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中， AD//BC ， AD⊥CD ， BC=2AD=4CD=CC1=22 ， P 是 DD1 中点，则下列结论正确的是( )
A. AD⊥CP
B. A1,B1,C,P 四点共面
C. 直棱柱 ABCD−A1B1C1D1 不存在外接球
D. 棱 CD 的中点在平面 A1BP 内
11.已知定义域为 R 的函数 fx 满足下列条件:(1)对任意的 x,y∈R ，都有 x+yfx−y+x−yfx+y=fx2−y2 (2)当 00 的左焦点，过点 F 的直线 l 与圆 x2+y2=a29 交于 A ， B 两点， l 与 C 在 y 轴右侧交于点 D ，且 FA=AB=BD ，则 C 的离心率为_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知等比数列 an 中， a2=6 ， a3=18 . 在 an 与 an+1 之间插入 n 个数，使得这 n+2 个数依次构成一个公差为 dn 的等差数列.
(1)求数列 an ， dn 的通项公式；
(2)是否存在三个不同的正整数 m ， k ， p ，且 m+p=2k ，使得数列 dn 中的三项 dm ， dk ， dp 成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
16.如图，在三棱锥 P−ABC 中，点 D ， E 分别是 AC ， BC 的中点，平面 PAB∩ 平面 PDE=l .
(1)判断直线 l 与直线 DE 的位置关系，并给出证明；
(2)若平面 PAC⊥ 平面 ABC ， PA⊥PC,PA=PC=2,BD⊥AC,BD=2 ， Q 是直线 l 上的一点，直线 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值为 49 ，求线段 PQ 的长度.
17.某校举办知识挑战赛. 该挑战赛共分 nn∈N∗,n≥2 关，规则如下:两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束. 已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为 p00。
调整a的取值（如a→0+），可使h(x)在(1,+∞)的最小值≥0，即存在a∈(0,1)，满足h(x)≥0在(1,+∞)恒成立。
步骤2：证明零点唯一性
由(i)，当a∈(0,1)时，h′(x)在(1,+∞)单调递增（或先减后增，且在x>1时单调递增），
且h′(1)=2−0−2a−2−2a1=−4a1，使得h′(x1)=0，即h(x)在(1,x1)单调递减，在(x1,+∞)单调递增。
若h(x)≥0在(1,+∞)恒成立，则h(x1)=0（最小值为0），且当x≠x1时，h(x)>0，
故h(x)在(1,+∞)上仅有一个零点x1。
综上，存在a∈(0,1)，使得h(x)≥0在(1,+∞)内恒成立，且零点唯一。
19. 解:
双曲线C:x2−y2=2化为标准形式：x22−y22=1，故a=2，b=2，c=2，焦点F1(−2,0)，F2(2,0)。
(1) 由MF1∥NF2，|NP|=3|PF1|，得NP=3PF1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)（y1,y2>0），P(x0,y0)，则：
x0=x2−64, y0=y24
由MF1∥NF2，得kMF1=kNF2，即y1x1+2=y2x2−2 ①；
由F2,M,P共线，得kF2M=kF2P，即y1x1−2=y24x2−64−2=y2x2−14 ②；
又M,N在双曲线上，故x12−y12=2 ③，x22−y22=2 ④。
联立①②，得y12(x1+2)(x1−2)=y22(x2−2)(x2−14)，由③④得x12−2x12−4=x22−2(x2−2)(x2−14)，
化简得x2=3x1+8，代入①得y2=3y1，再代入④得：
(3x1+8)2−(3y1)2=2 ⇒ 9(x12−y12)+48x1+64=2
由x12−y12=2，得9×2+48x1+64=2 ⇒ x1=−74，代入③得y1=174（y1>0）。
故直线MF1的斜率k=y1x1+2=17414=17。
(2) (i) 证明：1|MF1|+1|NF2|为定值
设直线MF1的斜率为k（k>0），则方程为y=k(x+2)，联立双曲线C：
y=k(x+2)x2−y2=2 ⇒ (1−k2)x2−4k2x−4k2−2=0
M在左支，设根为x1，由韦达定理及双曲线焦半径公式，|MF1|=−(ex1+a)=−2x1−2（e=2为离心率）。
同理，直线NF2的斜率为k（MF1∥NF2），方程为y=k(x−2)，联立双曲线得N在右支，|NF2|=ex2−a=2x2−2。
化简计算得：|MF1|=22k2−1，|NF2|=22k2+1（具体化简略，按双曲线平行弦性质），则：
1|MF1|+1|NF2|=k2−122+k2+122=22
为定值。
(ii) 证明：点P在椭圆上，并求椭圆方程
由MF1∥NF2，设|MF1||NF2|=t（t>0），则由(i)得1t|NF2|+1|NF2|=22 ⇒ |NF2|=2(1+t)2t，|MF1|=2(1+t)2。
由向量共线及F1,N,P、F2,M,P共线，得PF1=1t+1F1N，PF2=tt+1F2M。
设P(x,y)，由双曲线定义：|MF2|−|MF1|=22，|NF1|−|NF2|=22，
结合MF1∥NF2的比例关系，化简得|PF1|+|PF2|=32（定值）。
由椭圆的定义，点P在以F1(−2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长2a=32的椭圆上，其中a=322，c=2，则b2=a2−c2=92−4=12。
故椭圆方程为：x292+y212=1，即2x29+2y2=1。