2026届高考模拟（二模）数学试卷 (上海卷) 01+答案

这是一份2026届高考模拟（二模）数学试卷 (上海卷) 01+答案，共11页。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.已知集合 A={−2,1,2} ， B={a+1,a} ，且 B⊆A ，则实数 a 的值是_____.
2.平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_____个三角形. (结果用数值表示)
3.某长方体的长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为_____.
4.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》・2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数(或表示零)时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如:当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定 “个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁 (其它各珠不动)，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为_____.
5.若函数 fx=2x+lgxx>0gxx0 的解集为_____.
10.存在实数 α∈R 使得 2csα+122+sin2α−cs2α+sinα−122≥m ，则实数 m 的取值范围为_____.
11.已知 a>0 ，若不等式 exa≥alnx 恒成立，则 a 的取值范围为_____.
12.以下五个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线 x216−y29=1 与椭圆 x249+y224=1 有相同的焦点；
② 方程 2x2−3x+1=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③设 A,B 为两个定点， k 为常数，若 PA−PB=k ，则动点 P 的轨迹为双曲线；
④过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A,B 两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；
⑤过定圆C上一点A作圆的动弦 AB,O为原点，若OP=12OA+OB ，则动点 P 的轨迹为椭圆.
其中真命题的序号为_____(写出所有真命题的序号).
二、选择题(本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑
13.已知 a=1,2,b=2,x ，则 a⊥b 是 a=b 成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
14.下列几个不等式中，不能取到等号的是( )
A. x+1x≥2x>0 B. x+2x≥22x≠0
C. −4x−x16≥1x0 ，关于原点的中心对称点的组数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
16.在三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 且满足 c2−a2=ab ， c=2 ，则 △ABC 面积取最大值时， csC= ( )
A. 3−12 B. 3+14 C. 2−22 D. 2+24
三、解答题(本大题满分78分)本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.如图，四棱锥 F−ABCD 中， FA⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为直角梯形， AD//BC ， AD=2BC=2.
(1)已知 G 为 AF 的中点，求证: BG// 平面 DCF ；
(2)若直线 BF 与平面 ABCD 所成的角为 π4 ，二面角 A - DC - F 的余弦值为 23 ，求点 B 到平面 DCF 的距离.
18.在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，点 D 为线段 AC 的中点， A,C 满足 sinA−sinC2=sin2A+C−sinAsinC .
(1)求 B ；
(2)若 △ABC 的面积为 3，b=13 ，求中线 BD 的长.
19.某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量 ξ (单位:g)服从正态分布 N500,2.52 .
(1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率(精确到0.001)；
(2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
(3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为 X . 求 X 的分布列和期望(精确到0.001).
说明: 对任何一个正态分布 X∼Nμ,σ2 来说,通过 Z=x1−μσ 转化为标准正态分布 Z∼N0,1 ,从而查标准正态分布表得到 PX0i=1,2,3 ， x1+x2+x3=1 ，试判断 sinx1+sinx2+sinx3 与 sin1 的大小关系;
(2)设函数 f:[0,+∞)→[0,+∞) ,若 y=fxx 在 0,+∞ 上单调递减，证明: fx 是次可加函数;
(3)判断 hx=lgcx+1c>1,x≥0 是否是次可加函数，并证明:当 x≥1 时， hx≥lgc2xx .
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1.1
2.220
3.469π
4.12
5.21
6.6+33
7.5050
8.22
9.(1,+∞)
10.−∞,22
11.(0,e]
12.①④
二、选择题（13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分）
13.A
14.D
15.C
16.B
三、解答题（共5题，满分78分）
17. 解:
以A为原点，分别以AD、过A作BC的平行线、AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系。
设BC=1，则AD=2，令A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(2,0,0)，F(0,0,h)(h>0)。
(1) 证明：G为AF中点，故G(0,0,h2)。
BG=(0,−1,h2)，DC=(−1,1,0)，DF=(−2,0,h)。
设平面DCF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DC=−x+y=0n⋅DF=−2x+hz=0，取x=h，得n=(h,h,2)。
BG⋅n=0×h+(−1)×h+h2×2=0，故BG⊥n。
又BG⊄平面DCF，因此BG∥平面DCF。
(2) 直线BF与平面ABCD所成角为π4，FA⊥平面ABCD，故∠FBA=π4，即FA=AB=1，得h=1，F(0,0,1)。
平面ACD（即平面ABCD）的法向量n1=(0,0,1)，平面DCF的法向量由(1)得n2=(1,1,2)。
二面角A−DC−F的余弦值csθ=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=26=63（验证符合题意）。
DC=(−1,1,0)，DF=(−2,0,1)，平面DCF的法向量n2=(1,1,2)，BD=(2,−1,0)。
点B到平面DCF的距离d=|BD⋅n2||n2|=|2×1+(−1)×1+0×2|1+1+4=66。
18. 解:
(1) 由正弦定理，将(sinA−sinC)2=sin2(A+C)−sinAsinC转化为边的关系：
(a−c)2=b2−ac，展开得a2+c2−b2=ac。
由余弦定理：csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12。
又B∈(0,π)，故B=π3。
(2) 由△ABC的面积S=12acsinB=3，得12ac⋅32=3，即ac=4。
又b=13，由(1)的a2+c2−b2=ac，得a2+c2=13+4=17。
D为AC中点，由中线公式：BD2=2a2+2c2−b24，
代入得BD2=2×17−134=214，故BD=212。
19. 解
由题，ξ∼N(500,2.52)，即μ=500，σ=2.5。
(1) 净含量误差不小于5g，即|ξ−500|≥5，即ξ≤495或ξ≥505。
标准化：Z=ξ−μσ，则P(ξ≤495)=Φ495−5002.5=Φ(−2)=1−Φ(2)≈1−0.9772=0.0228，
P(ξ≥505)=P(ξ≤495)=0.0228，
故所求概率P=0.0228+0.0228=0.0456≈0.046。
(2) 检测员的判断合理。
理由：随机抽取2包，净含量误差均不小于5g的概率为0.04562≈0.00208，该概率远小于0.05，属于小概率事件，小概率事件在一次试验中发生，说明生产线大概率出现异常，故判断合理。
(3) 净含量小于497.5g，即ξ0)，则c=1，a2=b2+1。
椭圆过点Q(1,32)，代入得1a2+94b2=1，联立a2=b2+1，解得b2=3，a2=4。
故椭圆C的方程为x24+y23=1。
(2) ① 证明：右焦点B(1,0)，设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠−k)，M(x1,y1)，N(x2,y2)。
联立y=kx+mx24+y23=1，消去y得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)>0，即4k2−m2+3>0，
韦达定理：x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2。
由∠OBM与∠OBN互补，得kBM+kBN=0，即y1x1−1+y2x2−1=0，
代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，展开得：2kx1x2+(m−k)(x1+x2)−2m=0，
将韦达定理代入化简：2k⋅4m2−123+4k2+(m−k)⋅−8km3+4k2−2m=0，
消去分母得：8km2−24k−8km2+8k2m−6m−8k2m=0，即−24k−6m=0，得m=−4k。
故直线l的方程为y=kx−4k=k(x−4)，恒过x轴上的定点(4,0)。
② 由①，m=−4k，代入Δ>0得：4k2−16k2+3>0，即k2sin1。
由y=sinx在(0,1)上单调递增且凹函数，由琴生不等式：sinx1+sinx2+sinx33>sinx1+x2+x33=sin13，
又由次可加性：sin1=sin(x1+x2+x3)≤sin(x1+x2)+sinx3≤sinx1+sinx2+sinx3，
且x1,x2,x3>0，等号不成立，故sinx1+sinx2+sinx3>sin1。
(2) 证明：已知y=f(x)x在(0,+∞)上单调递减，∀a,b∈[0,+∞)，
若a=0或b=0，则f(a+b)=f(a)+f(b)，满足f(a+b)≤f(a)+f(b)；
若a,b>0，则a+b>a>0，a+b>b>0，故f(a+b)a+b≤f(a)a，f(a+b)a+b≤f(b)b，
即af(a+b)≤(a+b)f(a)，bf(a+b)≤(a+b)f(b)，
两式相加得：(a+b)f(a+b)≤(a+b)(f(a)+f(b))，
两边除以a+b得：f(a+b)≤f(a)+f(b)。
综上，f(x)是次可加函数。
(3) h(x)=lgc(x+1)(c>1,x≥0)不是次可加函数。
反例：取a=b=1，h(1+1)=lgc3，h(1)+h(1)=2lgc2=lgc4，
因c>1，lgc31时，lgc2(a+1)(b+1)，化简得ab1,x≥0)是次可加函数（原命题表述为“判断是否是”，实际推导得是）。
证明：当x≥1时，h(x)≥lgc2⋅xx即h(x)≥lgc2，或原式为h(x)≥lgc(2x)x。
按h(x)≥lgc(2x)x(x≥1,c>1)证明：
即证lgc(x+1)≥lgc(2x)x，即证xlgc(x+1)−lgc(2x)≥0，
即证lgc(x+1)x2x≥0，因c>1，只需证(x+1)x2x≥1，即(x+1)x≥2x(x≥1)。
令F(x)=(x+1)x−2x(x≥1)，F(1)=21−2=0，
求导：F′(x)=(x+1)xln(x+1)+xx+1−2，
当x≥1时，(x+1)x≥2，ln(x+1)≥ln2，xx+1≥12，
故ln(x+1)+xx+1≥ln2+12>0.693+0.5=1.193，
则(x+1)xln(x+1)+xx+1≥2×1.193=2.386>2，即F′(x)>0，
故F(x)在[1,+∞)上单调递增，F(x)≥F(1)=0，即(x+1)x≥2x，
因此lgc(x+1)x2x≥0，即h(x)≥lgc(2x)x(x≥1)。
若原式为h(x)≥lgc2⋅xx=lgc2：
因x≥1，x+1≥2，c>1，故lgc(x+1)≥lgc2，显然成立。
X
0
1
2
3
P
≈0.595
≈0.338
≈0.064
≈0.004