广东省佛山市三水区11校联考 九年级上学期第二次素养检测数学试卷（12月份）-A4

这是一份广东省佛山市三水区11校联考 九年级上学期第二次素养检测数学试卷（12月份）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，从左面看如图所示的几何体得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9B．4.5C．3D．﹣3
3．（3分）根据4a＝5b，可以组成的比例有（ ）
A．a：b＝4：5B．a：b＝5：4C．a：4＝b：5D．a：5＝4：b
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
6．（3分）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（3分）如图，Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，∠OAB＝30°，则k的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
8．（3分）小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）
A．上午12时B．上午10时
C．上午9时30分D．上午8时
9．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系
是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO•DF；④＝．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，则a2+ab﹣2b＝ ．
12．（3分）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 ．
13．（3分）反比例函数的图象经过（a，2）、（a+1，1）、（b，6）三点，则b的值为 ．
14．（3分）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为 m．
15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D，则＝ ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分
16．（7分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0．
17．（7分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在某一时刻在地面上竖直立一个2m长的标杆CD，测得其影长DE＝1.8m．如果AB的影长BF＝7.2m，请你在图中完成相关的作图并求出旗杆AB的高．
18．（7分）如图，BD是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，BF，求证：四边形DEBF是菱形．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．（9分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球．
（1）从袋子中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为 ；
（2）从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）；
（3）在袋子中加入a个红球，摇匀后，多次摸球，若摸到红球的概率为，求a的值．
20．（9分）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
21．（9分）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5．
①求菱形ABCD的面积；
②求CG的长．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
23．（14分）如图（1），在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图（2），当点E运动到AB的中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求证：FN•NG＝2MN•NH．
2024-2025学年广东省佛山市三水区11校联考九年级（上）第二次素养检测数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，从左面看如图所示的几何体得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左面看，一共有两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
2．（3分）若关于x的方程x2+ax+a＝0有一个根为﹣3，则a的值是（ ）
A．9B．4.5C．3D．﹣3
【分析】把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+ax+a＝0得9﹣3a+a＝0，
解得a＝4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（3分）根据4a＝5b，可以组成的比例有（ ）
A．a：b＝4：5B．a：b＝5：4C．a：4＝b：5D．a：5＝4：b
【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵a：b＝4：5，
∴5a＝4b，
故A不符合题意；
B、∵a：b＝5：4，
∴4a＝5b，
故B符合题意；
C、∵a：4＝b：5，
∴5a＝4b，
故C不符合题意；
D、∵a：5＝4：b，
∴ab＝20，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．
【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm
【分析】根据菱形的性质求得OD，OA的长，再根据勾股定理求得边长AD的长．
【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD＝8cm，AC＝6cm，
∴OD＝BD＝4cm，OA＝AC＝3cm，
在直角三角形AOD中AD＝＝＝5cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
6．（3分）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．
【解答】解：
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴ED、FE、DF为△ABC中位线，
∴DF＝BC，FE＝AB，DE＝AC；
∴DF+FE+DE＝BC+AB+AC＝（AB+BC+CA）＝×18＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键．
7．（3分）如图，Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，∠OAB＝30°，则k的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【分析】作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，先证△MBO∽△NOA，推出，，由反比例函数的图象和性质可得，进而求出S△MBO，即可得出k的值．
【解答】解：如图，作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，
则∠BMO＝∠ONA＝90°，
∴∠MBO+∠BOM＝90°，
∵Rt△AOB中∠BOA＝90°，
∴∠AON+∠BOM＝90°，
∴∠MBO＝∠NOA，
∴△MBO∽△NOA，
∴，
∵∠OAB＝30°，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣2S△MBO＝﹣2×1＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解反比例函数比例系数k的几何意义．
8．（3分）小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（ ）
A．上午12时B．上午10时
C．上午9时30分D．上午8时
【分析】根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长可知．
【解答】解：根据从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
可知影子最长的时刻为上午8时．
故选：D．
【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
9．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系
是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出y1、y3、y2的值，然后比较大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝2，y2＝﹣1，y3＝﹣，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，E为BC中点，连接AE交BD于点F，连CF，下列结论：①AE⊥BD；②S矩形ABCD＝10S△CEF；③BC2＝2DO•DF；④＝．正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用矩形的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质即可解答．
【解答】解：①∵E为BC中点，
∴BE＝BC＝AB，
∴＝＝，
∵∠ABE＝∠DAB，
∴△ABE∽△DAB，
∴∠BEA＝∠ABD，
∵∠ABD+∠FBE＝90°，
∴∠BEA+∠FBE＝90°，
∴∠BFE＝90°，
∴AE⊥BD，故①正确；
②过点F作FG⊥BC于点G，如图，
设AB＝2a，则BC＝2a，BE＝a，
∵∠BEA＝∠ABD，∠AFB＝∠BFE＝90°，
∴△FAB∽△BFE，
∴，
设BF＝x，则AF＝x，
在Rt△ABF中，BF2+AF2＝AB2，
即x2+（x）2＝（2a）2，
解得：x＝a，
∴BF＝a，
在Rt△BFE中，由勾股定理得FE＝＝，
∵S△BFE＝＝，
即＝•FG，
∴FG＝a，
∴S△CEF＝•CE•FG＝＝，
S矩形ABCD＝2a×2a＝4a2，
故S矩形ABCD＝12S△CEF，故②错误；
③∵AB＝2a，BC＝2a，
∴BD＝2a，
∴DO＝×2a＝，
∵BF＝a，
∴DF＝，
∵BC2＝（2a）2＝8a2，2DO•DF＝2××＝8a2，
∴BC2＝2DO•DF，故③正确；
④如图，
在Rt△ABE，由勾股定理得AE＝a，
∵BF＝a，FG＝a，
在Rt△BFG，由勾股定理得BG＝＝a，
∴CG＝，
在Rt△FGC，由勾股定理得CF＝＝2a，
∴＝＝，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，相似三角形的性质等知识，关键能运用这些知识表示出需要的边或角，即可解决．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，则a2+ab﹣2b＝ 4 ．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝﹣2，ab＝﹣，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣，
∴a2+ab﹣2b＝a（a+b）﹣2b
＝﹣2a﹣2b
＝﹣2（a+b）
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．
12．（3分）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为 6 ．
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴＝，即＝，
∴A′B′＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
13．（3分）反比例函数的图象经过（a，2）、（a+1，1）、（b，6）三点，则b的值为 ．
【分析】根据反比例函数的图象经过点（a，2）、（a+1，1）可以求出a的值，从而得出反比例函数的解析式，把（b，6）代入即可求出b的值．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过（a，2）、（a+1，1），
∴2a＝（a+1）×1，
∴a＝1，
∴反比例函数的 图象经过点（1，2），
即k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为，
令y＝6，
则，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的解析式的求法，正确理解题意是解题的关键．
14．（3分）如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为 1.5 m．
【分析】因为光线是平行的，所以在题中有一组相似三角形，根据对应边成比例，列方程即可解答．
【解答】解：∵BE∥AD，
∴△CBE∽△CAD，
∴EC：CD＝BC：AC，
∴1.2：3＝1：AC，
∴AC＝2.5m，
∴AB＝AC﹣BC＝1.5m．
故答案为：1.5．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出窗户的高．
15．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D，则＝ ．
【分析】由旋转的性质可求CA＝CB1，由直角三角形的性质可求AE＝BE＝AB，CE＝BE，即可求解．
【解答】解：过B点作BE⊥AC于E，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，
∴∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∠ACB＝∠AC1B1＝30°，AC＝AC1，
∴∠C1AC＝120°，
∴∠B1AC＝75°，
∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，
∴∠AB1C＝75°，
∴∠B1AC＝∠AB1C，
∴CA＝CB1，
∵∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，
∴AE＝BE＝AB，CE＝BE，
∴CE＝AB，
∴CB1＝AC＝AE+CE＝（+）AB，
∴＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分
16．（7分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】（1）先运用因式分解法把原方程转化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
17．（7分）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在某一时刻在地面上竖直立一个2m长的标杆CD，测得其影长DE＝1.8m．如果AB的影长BF＝7.2m，请你在图中完成相关的作图并求出旗杆AB的高．
【分析】根据题意连接CE，过点A作CE的平行线交BD于点F即可，再根据题意证明△ABF∽△CDE，最后利用相似三角形性质求解，即可解题．
【解答】解：根据题意作图如下：
由题知，AF//CE，∠B＝∠CDE＝90°，
∴∠AFB＝∠CED，
∴△ABF∽△CDE，
∴，
∵CD＝2m，DE＝1.8m，BF＝7.2m，
∴，
解得AB＝8m．
【点评】本题考查平行线作图，以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是根据题意画出图形，并结合及相似三角形的性质和判定解决问题．
18．（7分）如图，BD是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，交AB于点E，交CD于点F，交BD于点O（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，BF，求证：四边形DEBF是菱形．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；
（2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明△DOE≌△BOF，可得EO＝FO，可得四边形BEDF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求：
（2）如图：
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ODF＝∠OBE，
∵EF垂直平分BD，
∴OD＝OB，BE＝DE，BF＝DF，
在△ODF和△OBE中，
，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴BE＝DF，
∴BE＝DE＝DF＝BF，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】本题考查了尺规作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图作法、平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．（9分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球．
（1）从袋子中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为 ；
（2）从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）；
（3）在袋子中加入a个红球，摇匀后，多次摸球，若摸到红球的概率为，求a的值．
【分析】（1）根据概率公式得出结论即可；
（2）利用列表或画树状图的方法，得出概率即可；
（3）根据概率公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球．随机摸出1个球，恰好是红球的概率是，
故答案为：；
（2）从袋子中任意拿出两个球，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有6种情况，
∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：．
（3）根据题意，得：，
解得：a＝5，
经检验a＝5是原方程的根，
故a＝5．
【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键．
20．（9分）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时，每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品应定价为多少元？
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10800元列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y（件），
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10800，
解得：y＝2（舍去）或y＝8，
所以40﹣8＝32（元）．
答：该商品在应定价为32元．
【点评】考查一元二次方程的应用．求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
21．（9分）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G．
（1）求证：△DFG∽△FAD；
（2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5．
①求菱形ABCD的面积；
②求CG的长．
【分析】（1）由菱形的性质判断出CD∥AB，∠A＝∠BCD，再由对称得出∠BCD＝∠DFG，得出∠A＝∠DFG，即可得出结论；
（2）先利用勾股定理求出OA，进而得出AC，即可得出结论；
②先利用菱形的面积求出DF，再用勾股定理求出AH，进而得出AF，最后借助（1）的结论得出，即可求出DG，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠BCD，
由对称知，∠DFG＝∠BCD，
∴∠A＝∠DFG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FDG，
∴△DFG∽△FAD；
（2）①如图，连接AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，AC＝2OA，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24；
②过点D作DH⊥AB于H，
∴S菱形ABCD＝AB•DH＝5DH，
由①知，S菱形ABCD＝24，
∴5DH＝24，
∴DH＝，
在Rt△DAH中，AH＝＝＝，
由对称知，DF＝CD＝5，
∵DH⊥AF，
∴AF＝2AH＝，
由（1）知，△DFG∽△FAD，
∴，
∴，
∴DG＝×5×5＝，
∴CG＝DG﹣CD＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；
（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．
【分析】（1）直线l1经过点A，且A点的纵坐标是2，可得A（﹣4，2），代入反比例函数解析式可得k的值；
（2）依据直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，即可得到不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，依据CD∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABD的面积相等，求得D（15，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x经过点A，A点的纵坐标是2，
∴当y＝2时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）∵直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（4，﹣2），
∴不等式﹣x＞的解集为x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD，
∵CD∥AB，
∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，
∵△ABC的面积为30，
∴S△ABD＝S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30，
∴×OD×4＝30，
∴OD＝15，
∴D（15，0），
设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，
把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，
解得b＝，
∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．解决问题的关键是依据△ABC的面积与△ABD的面积相等，得到D点的坐标为（15，0）．
23．（14分）如图（1），在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图（2），当点E运动到AB的中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求证：FN•NG＝2MN•NH．
【分析】（1）用同角的余角相等判断出∠GCB＝∠FBA，即可得出结论；
（2）先判断出DP∥BF，进而判断出PD是CG的垂直平分线，即可得出结论；
（3）先判断出∠HCG＝∠QDG，进而判断出△CGB≌△CGN，得出NG＝GB再判断出△FMN∽△BNC，得出，再判断出△NCG∽△NGH，得出，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB+∠CBG＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB，∠CBE＝∠A＝90°，
∴∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠GCB＝∠FBA，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（AAS）．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝AB，
如图（2），取BC中点P，连接PD交CG于Q，
∴BP＝BC＝AB，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB＝AD，
由（1）知，△ABF≌△BCE，
∴AF＝BE＝AD＝BC，
∴BPDF，
∴四边形PBFD为平行四边形，
∴DP∥BF，
∴Q是CG中点，
又BF⊥CG，
∴PD⊥CG，
∴PD是CG的垂直平分线，
∴DC＝DG；
（3）如图（3），取BC中点P，连接PD交CG于Q，
同（1）的方法得，△CBE≌△DCP（AAS），
∴∠ECB＝∠PDC，
又∵CH⊥DG，DQ⊥CG，
∴∠DHC＝∠DQC＝90°，
∴∠HCG＝∠QDG，
由（2）知：∠PDC＝∠QDG，
∴∠ECB＝∠HCG，
又∠CGB＝∠CGN＝90°，CG＝CG，
∴△CGB≌△CGN（AAS），
∴NG＝GB，
∵AD∥BC，
∴△FMN∽△BNC，
∴，
∵GH⊥NC，
∴∠NHG＝∠NGC＝90°，
∵∠HNG＝∠GNH，
∴△NCG∽△NGH，
∴，
∴，
∴FN•NG＝2MN•NH．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
D
D
B
B
D
B
C