安徽省合肥市第四十五中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份安徽省合肥市第四十五中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各点位于第四象限的是（ ）
A. B. C. D.
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 等腰三角形中有两边的长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. 或D.
4. 如图，和都是外角，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
7. 如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A. 点，均在内B. 点，均在外
C. 点在内，点在外D. 以上选项都不正确
8. 在今年我市初中学业水平考试体育学科女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的图象分别为线段和折线，下列说法正确的是（ ）
A. 小莹速度随时间的增大而增大
B. 小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C. 在起跑后90秒时，两人相遇
D. 在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
9. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
10. 一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ②③
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是_____命题．（填“真”或“假”）
12. 如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____．
13. 如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为_______．
14. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为__________；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为__________ ．
三、解答题（本题共16分）
15. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：．
16. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为的顶点的坐标分别为．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出点B的坐标；
（2）请作出关于y轴对称的．
四、解答题（本题共16分）
17. 如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
18. ，点，，，同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点．
（1）求证：是的中点．
（2）若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由．
五、解答题（本题共20分）
19. 如图，正比例函数图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为．
（1）求，，的值；
（2）不等式的解集为：______．
20. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，．
（1）求的长；
（2）求的长．
六、解答题（本题共12分）
21. 如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
七、解答题（本题共12分）
22. 甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米）．图中的折线表示与之间的函数关系图像．求：

（1）甲、乙两地相距______千米；
（2）求动车和普通列车的速度；
（3）求点坐标和直线解析式；
（4）求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．
八、解答题（本题共14分）
23. 在中，，，是直线上一点（点不与点A，重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点．

（1）如图1，求证：；
（2）如图1，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段，，之间的数量关系是否发生改变，并证明．安徽省合肥市第四十五中2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各点位于第四象限的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角坐标系中各象限的坐标符号特征，四个象限的坐标符号特征分别是：第一象限符号为，第二象限符号为，第三象限符号为，第四象限符号为．
根据各象限内点的坐标符号特征判断即可．
【详解】解：A、：横、纵坐标均为正，属于第一象限，不符合；
B、：横坐标负，纵坐标为正，属于第二象限，不符合；
C、：横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的特征，正确；
D、：横、纵坐标均为负，属于第三象限，不符合．
故选：C．
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
3. 等腰三角形中有两边的长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，分腰为或腰为两种情况讨论，结合三角形三边关系定理判断是否构成三角形，即可得解．
【详解】解：等腰三角形两边长为和，
若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系；
若腰长为，底边长为，则，，满足三角形三边关系，
周长为．
故选：D．
4. 如图，和都是的外角，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题．
【详解】解：和都是的外角，
，
，
，
故选：B．
5. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限．
根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数，，
∴图象经过一二四象限，不经过第三象限，
故选C．
6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等边对等角，中垂线性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，等边对等角，求出，中垂线的性质，得到，进而得到，求出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，线段的和差关系求出的长．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
7. 如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ）
A. 点，均在内B. 点，均在外
C. 点在内，点在外D. 以上选项都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．
先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可．
【详解】解：在中，，，，
，
、分别是上的高和中线，
，，
，，
，，
点在内、点在外．
故选：C．
8. 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的图象分别为线段和折线，下列说法正确的是（ ）
A. 小莹的速度随时间的增大而增大
B. 小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C. 在起跑后90秒时，两人相遇
D. 在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，解答时认真分析函数图象的数据是关键．A、由函数图象可以得出小莹跑步的速度是匀速的；B、由平均速度=路程÷时间求出两人的平均速度比较大小即可；C、求出90秒时两人运动的路程可以得出结论；D、由函数图象可以得出在起跑后50秒内，小梅在小莹的前面．
【详解】解：A、由图象，得小莹跑步的速度是匀速的，故错误；
B、小莹的平均速度为：（米/秒），
小梅的平均速度为：（米/秒），
∵，
∴小莹的平均速度>小梅的平均速度，故错误；
C、米，
米，
∵，
∴在起跑后90秒时小莹在小梅的前面，故错误；
D、由函数图象得，在起跑后50秒内，小梅在小莹的前面，故正确．
故选：D．
9. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ）
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
10. 一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】①根据函数图象直接得到结论；②观察函数图象可以直接得到答案；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④根据两直线交点可以得到答案．
【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数图象在的图象上方，
∴的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
∴3a＋b＝3c＋d
∴3a−3c＝d−b,
∴d−b＝3（a−c）．故④说法正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 命题“过直线外一点只能作这条直线的一条平行线”是_____命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的正确性，判断每个命题是否正确，即可求解；掌握判定方法是解题的关键．
【详解】解：过直线外一点只能作这条直线的一条平行线；结论正确，
是真命题；
故答案为：真．
12. 如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为由一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键．
【详解】解：∵直线和直线交于点，
∴关于的二元一次方程组即的解为，
故答案为：．
13. 如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
先证明，得到，由等角对等边判定，则易求，即可解答．
【详解】解：如图，
∵平分，
∴，
在和中，
，
，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
故答案是：2．
14. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度 与所挂物体质量满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．则与的函数关系式为__________；当弹簧长度为cm时，所挂物体的质量为__________ ．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，以及已知函数值求自变量的值．
由表格数据代入函数关系式求系数，再代入求，即可解题．
【详解】解：由表格可知，当时，，代入得，
解得，故函数关系式为；
当时，代入关系式得，
解得，
故所挂物体的质量为；
故答案为：，．
三、解答题（本题共16分）
15. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
16. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为的顶点的坐标分别为．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出点B的坐标；
（2）请作出关于y轴对称的．
【答案】（1）图见解析，；
（2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，点的坐标，轴对称作图；
（1）根据的坐标确定平面直角坐标系，写出的坐标，即可求解；
（2）根据轴对称的性质作出图形，即可求解．
【小问1详解】
解：平面直角坐标系如图，
；
【小问2详解】
解：如上图，为所求作．
四、解答题（本题共16分）
17. 如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可；
（2）根据题意中结论设表示出即可证明
【小问1详解】
解：根据题意，
是的平分线，
【小问2详解】
根据题意，
是的平分线，
设
18. ，点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点．
（1）求证：是的中点．
（2）若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论；
（2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点．
【小问1详解】
证明：，
即
在和中，
在和中，
，即是的中点；
【小问2详解】
解：成立，理由如下：
，
，即
，
在和中，
在和中，
，即是的中点．
五、解答题（本题共20分）
19. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为．
（1）求，，的值；
（2）不等式的解集为：______．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是：
（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）利用函数图象作答即可．
【小问1详解】
解：过点，
∴，
，
一次函数过点，，
，
解得，
一次函数表达式；
【小问2详解】
解：根据函数图象可知：不等式的解集为．
故答案为：．
20. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）根据旋转的性质可得，则为等边三角形，则；
（2）由旋转得，由（1）得，最后通过勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：由旋转得，
为等边三角形，
；
【小问2详解】
解：由旋转得，
由（1）可知，
，
在中，
．
六、解答题（本题共12分）
21. 如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
（1）首先推导出，然后根据证出；
（2）求出，证，推出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴．
七、解答题（本题共12分）
22. 甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米）．图中的折线表示与之间的函数关系图像．求：

（1）甲、乙两地相距______千米；
（2）求动车和普通列车的速度；
（3）求点坐标和直线解析式；
（4）求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．
【答案】（1）1800
（2）动车的速度为；普通列车的速度
（3），
（4）或
【解析】
【分析】(1)根据图像，直接得到．
(2)根据图像，慢车走完全程用时12小时，计算速度；根据4小时相遇，可确定动车的速度．
(3)根据题意，动车达到目的地的时间为，根据图像，得到，此时相遇后各自行驶2小时，此时，确定，利用待定系数法确定的解析式．
(4)分相遇前和相遇后两种情形计算．
【小问1详解】
根据图像，得到当时，，
两地距离为，
故答案为：．
【小问2详解】
根据图像，慢车走完全程用时12小时，
∴普通列车的速度为，
根据4小时相遇，得，
解得．
【小问3详解】
根据题意，动车达到目的地的时间为，
根据图像，得到，
此时相遇后各自行驶2小时，此时，
故，
设的解析式为，
∵，
∴，
解得，
故的解析式为．
【小问4详解】
设经过x小时，辆车相距1000千米，
当相遇前，辆车相距1000千米时，根据题意，
得，
解得；
当相遇后，辆车相距1000千米时，动车到达目的地，普通车自己行驶x小时，根据题意，
得，
解得，
故行驶总时间为，
故经过或，辆车相距1000千米．
【点睛】本题考查了图像信息读取，待定系数法求解析式，交点的意义，熟练掌握交点的意义，待定系数法，读取图像信息是解题的关键．
八、解答题（本题共14分）
23. 在中，，，是直线上一点（点不与点A，重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点，过点作直线，交直线于点．

（1）如图1，求证：；
（2）如图1，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段，，之间的数量关系是否发生改变，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）．证明见解析
（3）补全图形见解析，改变，．证明见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由，得到，利用即可证明；
（2）由得到，．由等腰直角三角形得到．又由得到，则，即可得到结论．
（3）如图，过点作交的延长线于点．证明，则，．由，得到是等腰直角三角形，得到．由即可得到．
【小问1详解】
证明：，，
．
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：．
证明：∵，
，．
，，
．
又，
，
，
．
【小问3详解】
依题意补全图形，如图所示．．
证明：如图，过点作交的延长线于点．

，
∴．
在和中，
，
，
，．
，，
∴是等腰直角三角形，
．
又，
．