广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷含解析（word版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第七章，必修第二册第五章，选择性必修第一册第一章～第三章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. iD.
2. 已知空间向量与共线，则（ ）
A. 0B. 6C. -4D. 4
3 已知点，且直线MN与直线平行，则（ ）
A B. C. 2D. -2
4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. B. 12C. D. 8
6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则函数有零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于直线，下列说法错误的是（ ）
A. 直线的倾斜角为B. 直线经过点
C. 直线与直线垂直D. 直线在轴上的截距为
10. 已知双曲线，左、右焦点分别为，则下列说法正确是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 虚轴长为4
C. 直线与双曲线左、右两支的交点分别为，则
D. 若点在双曲线的右支上，且，则
11. 在平面上，若动点与两定点满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆．由直线上的一点向圆引切线，切点为．下列结论正确的有（ ）
A. 圆的方程为
B. 圆与圆的公切线有且只有三条
C. 的最小值为2
D. 当取最小值时，直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件满足，则____________．
13. 已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________．
14. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为．若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以原点为圆心，为半径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为_________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知圆，直线．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）求过点的圆的切线方程．
16. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响．
（1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率；
（2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率．
17. 已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过椭圆右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程．
18. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足．
（1）证明：；
（2）若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数．