2024-2025学年广西钦州市高二上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西钦州市高二上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i20+i25z=2，则z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知直线l经过点A(2,−3),B(−3,4)，则l的斜率为( )
A. 75B. −57C. −75D. 57
3.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是13，25，则该题被攻克的概率为( )
A. 25B. 35C. 715D. 1315
4.抛物线y=116x2的焦点坐标为( )
A. (0,4)B. (0,8)C. 0,164D. (4,0)
5.已知双曲线C:y29−x2b2=1b>0的焦点到渐近线的距离为 5，则双曲线C的离心率为( )
A. 705B. 2 33C. 143D. 32
6.掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件A=“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件B=“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则( )
A. A与B互为对立事件B. A与B互斥
C. PA=PBD. A=B
7.已知复数z满足z−3+4i=2，z为z的共轭复数，则z⋅z的最大值为( )
A. 7B. 9C. 25D. 49
8.在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，BD= 3，E是BC的中点，沿BD将▵BCD翻折至▵BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F为C′D的中点，则异面直线EF与AC′所成角的余弦值为( )
A. 35B. 45C. 13D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=(9+8i)(5−i)，则( )
A. z的虚部为31iB. z=53−31iC. z−53为纯虚数D. z>31i
10.已知圆C:x2+y2+6x+4y+9=0，点Q是直线l:3x+4y−3=0上的点，则( )
A. 圆C上有两个点到直线l的距离为2
B. 圆C上只有一个点到直线l的距离为2
C. 从Q点向圆C引切线，切线长的最小值为2 3
D. 从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是2 5
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E为A1D1的中点，动点P在长方体ABCD−A1B1C1D1内(含表面)，且满足AP=λAC+μAE，记动点P的轨迹为Ω，则( )
A. Ω的面积为3 338
B. Ω的面积为3 358
C. 当λ=12时，存在点P，使得A1P⊥BD1
D. 当μ=1时，三棱锥P−ABC的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l:x−y−4=0被圆C:x2+y2−6x+10y+25=0截得的弦长为 ．
13.已知事件A与B互斥，且P(A)=0.1，P(B)=0.4，则P(A∪B)= ．
14.在正四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.OM=2MA,BN=2NC，则MN= (用a，b，c表示).若|a|= 5，则|MN|= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩(百分制)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数；
(2)若从竞赛成绩在[80,90)，[90,100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90,100]内的概率．
16.(本小题12分)
已知圆C过点A(−3,−2)和点B(1,−6)，且圆心C在直线x+y+1=0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)经过点(5,−3)作直线l与圆C相切，求直线l的方程．
17.(本小题12分)
如图，已知矩形BB1C1C所在平面与直角梯形ABB1N所在平面垂直，在直角梯形ABB1N中，AN//BB1，AB⊥AN，AB=BC=AN=12BB1．

(1)判断BC1与B1N是否垂直，并说明理由；
(2)求直线CN与平面BC1N所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，CD//AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AD=CD=2，AB=4．
(1)证朋：平面PAB⊥平面PAD．
(2)若平面PBC与平面ABCD的夹角为π6，求PA的长度．
19.(本小题12分)
已知直线2x+3y−6=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点A和上顶点B．
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)与直线AB平行的直线l交C于M,N两点(M,N均不与C的顶点重合)，设直线AM，BN的斜率分别为k1,k2，证明：k1k2为定值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.C
7.D
8.A
9.BC
10.BC
11.ACD
12.2

14.−23a+13b+23c ；53
15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.004+0.022+0.03+0.028+m+0.004)×10=1，解得m=0.012．
设所求中位数的估计值为t，则0.004×10+0.022×10+(t−60)×0.03=0.5，
解得t=68，即这100名参赛学生的成绩的中位数约为68．
(2)由题意知，成绩在[80,90)内的共有12人，在[90,100]内的共有4人，
所以用分层抽样的方法抽取的8人中，成绩在[80,90)内的有6人，
分别记为1，2，3，4，5，6，成绩在[90,100]内的有2人，分别记为A，B．
从8人中抽取2人包含12，13，14，15，16，1A，1B，23，24，25，26，2A，2B，
34，35，36，3A，3B，45，46，4A，4B，56，5A，5B，6A，6B，AB，共28个基本事件，
而抽取的2人中至少有1人的成绩在[90,100]内含有13个基本事件，
所以抽取的2人中至少有1人的成绩在[90,100]内的概率为1328．

16.解：(1)设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
则(−3−a)2+(−2−b)2=r2(1−a)2+(−6−b)2=r2a+b+1=0，解得a=1b=−2r=4,
所以圆C的标准方程为(x−1)2+(y+2)2=16．
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=5，此时符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−5)−3，
由|−4k−1| 1+k2=4，得k=158，
则直线l的方程为y=158(x−5)−3，即15x−8y−99=0．
故直线l的方程为x=5或15x−8y−99=0．

17.(1)解：由题意知BA,BC,BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA,BB1,BC的方向分别为x，y，
z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AB=1，
则A(1,0,0),C(0,0,1),N(1,1,0),C1(0,2,1),B1(0,2,0)．
因为BC1=(0,2,1),B1N=(1,−1,0)，
所以BC1⋅B1N=−2≠0，故直线BC1与B1N不垂直．
(2)设平面BC1N的法向量为m=(x,y,z)，因为BN=(1,1,0),BC1=(0,2,1)，
所以m⋅BN=x+y=0,m⋅BC1=2y+z=0,令x=1，得m=(1,−1,2)．
设直线CN与平面BC1N所成的角为θ，因为CN=(1,1,−1)，
所以sinθ=csm,CN=m⋅CNmCN=2 6× 3= 23，
所以csθ= 73，故直线CN与平面BC1N所成角的余弦值为 73．


18.解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥AB，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD．
因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)解：取AD的中点O，连接PO．
因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，OA,OP的方向分别为x，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(1,4,0),C(−1,2,0),D(−1,0,0)．
设P(0,0,a)，平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
因为BC=(−2,−2,0),BP=(−1,−4,a)，
所以n⋅BC=−2x−2y=0,n⋅BP=−x−4y+az=0,令y=a，得n=(−a,a,3)．
平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)．
因为平面PBC与平面ABCD的夹角为π6，
所以|cs⟨m,n⟩|=3 2a2+9= 32，
所以a= 62，故PA= 12+ 622= 102．
【详解】(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥AB，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD．
因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)解：取AD的中点O，连接PO．
因为PA=PD，所以PO⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，OA,OP的方向分别为x，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0),B(1,4,0),C(−1,2,0),D(−1,0,0)．
设P(0,0,a)，平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
因为BC=(−2,−2,0),BP=(−1,−4,a)，
所以n⋅BC=−2x−2y=0,n⋅BP=−x−4y+az=0,令y=a，得n=(−a,a,3)．
平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)．
因为平面PBC与平面ABCD的夹角为π6，
所以|cs⟨m,n⟩|=3 2a2+9= 32，
所以a= 62，故PA= 12+ 622= 102．

19.解：(1)
因为直线2x+3y−6=0经过椭圆C的右顶点A和上顶点B，
当y=0时，x=3，当x=0时，y=2，则A3,0，B0,2，
所以a=3，b=2，
所以椭圆C的标准方程为x29+y24=1．
因为c= a2−b2= 5，所以椭圆C的离心率为ca= 53．
(2)
由(1)知直线AB的斜率为−23，
设直线l的方程为y=−23x+t，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立方程组y=−23x+tx29+y24=1，消去y得8x2−12tx+9t2−36=0，则x1+x2=32t．
因为k1=y1x1−3，k2=y2−2x2，所以k1k2=y1x1−3⋅y2−2x2=y1y2−2y1x1x2−3x2，
因为y1y2−2y1=−23x1+t−23x2+t−2−23x1+t=t2−23tx1+x2+49x1x2−2t+43x1，
且t=23x1+x2，所以y1y2−2y1=49x1x2−3x2，
所以k1k2=49，即k1k2为定值．