广西钦州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广西钦州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试题（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，本卷主要命题范围等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章至第六章、第八章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”否定是（ ）．
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. （ ）．
A. 2B. 1C. D.
4. 函数的零点所在的区间为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
6. 某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．
王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（ ）．
A. 1270元B. 1440元C. 1350元D. 1250元
7. 已知函数图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知函数，若关于x的方程有3个不等的实数根，则实数t的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战奥运会，运动员们都在积极参加集训．已知某射击运动员在一次集训中10次射击的分数分别为：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，则这组数据的（ ）．
A. 平均数为8B. 众数为9
C. 第60百分位数为8D. 方差为2.4
10. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）．
A. B. C. D.
11. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设集合，则集合A的真子集个数为______．
13. 已知幂函数，则______．
14. 若函数为奇函数，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16. 中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？
（3）估计这200名中国AI大模型用户年龄平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．
17 已知函数．
（1）证明在上单调递增；
（2）设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围．
18. 已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x方程有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．
19. 已知函数在上的最大值与最小值之和为3．
（1）求a的值；
（2）求的解集；
（3）若函数的图象经过点，求．
享受折扣的购物金额
折扣优惠
超过500元不超过1000元的部分
10％
超过1000元的部分
20％
钦州市2025年秋季学期高一年级期末教学质量监测
数学
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章至第六章、第八章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
故函数的定义域为.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）．
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以所求否定是：，.
故选：A
3. （ ）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据对数运算法则即可求解.
【详解】.
故选：D.
4. 函数的零点所在的区间为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理直接判断即可.
【详解】函数在R上单调递增，，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：D
5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得和为二次函数的两个根，分别代入二次函数后联立即可求解.
【详解】设，由题意得和为的两个根，则有：
，即，
，即，
联立，解得，
故.
故选：C.
6. 某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．
王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（ ）．
A. 1270元B. 1440元C. 1350元D. 1250元
【答案】A
【解析】
【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案.
【详解】设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元，
当时，；
当时，，优惠金额；
当时，，
优惠金额为，
而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此，
解得，所以王先生购物实际付款（元）.
故选：A
7. 已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得真数时有定点，求出定点的坐标后代入到即可求.
【详解】若过定点，则有，即，
又，故，点在函数的图象上，
则有，解得.
故选：C.
8. 已知函数，若关于x方程有3个不等的实数根，则实数t的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出分段函数的图象，因为有3个不等的实数根，故直线与的图象有3个交点，进而可得实数t的取值范围.
【详解】当时，，
当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，
最大值在时取，即最大值为2，=1，则的图象如下：
若使有3个不等的实数根，
则与的图象有2个交点，且与的图象有1个交点，
此时有，
综上，实数t的取值范围为，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战奥运会，运动员们都在积极参加集训．已知某射击运动员在一次集训中10次射击的分数分别为：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，则这组数据的（ ）．
A. 平均数为8B. 众数为9
C. 第60百分位数为8D. 方差为2.4
【答案】AD
【解析】
【分析】将10次射击的分数由小到大排列，依次求出平均数、众数、第60百分位数、方差并判断.
【详解】10次射击的分数由小到大排列为：5，6，7，8，8，8，9，9，10，10，
对于A，平均数，A正确；
对于B，众数为8，B错误；
对于C，由，得第60百分位数，C错误；
对于D，方差为，D正确.
故选：AD
10. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数解析式直接确定单调性即可.
【详解】对于A，函数在上单调递增，A是；
对于B，函数在上单调递减，B不是；
对于C，函数在上单调递增，C是；
对于D，函数在上单调递减，D不是.
故选：AC
11. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】使用基本不等式计算选项，C选项额外使用1的代换，D选项额外使用换元法即可.
详解】对于A：，由基本不等式得，
故，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B：由基本不等式得，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C：，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D：由题意得，
则，
当且仅当时等号成立，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设集合，则集合A的真子集个数为______．
【答案】15
【解析】
【分析】先将集合用列举法表示，再使用子集计算公式结合真子集的概念即可求解.
【详解】由题意得集合，共有4个元素，所以集合A的子集有个，
真子集需除去集合本身，故集合A的真子集个数为15个.
故答案为：15.
13. 已知幂函数，则______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求出解析式，进而求出函数值.
【详解】由幂函数，得，解得，，
所以.
故答案为：8
14. 若函数为奇函数，则的值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】使用奇函数定义即可解的值，进而求得的值.
【详解】若为奇函数，则有，
，
，
则有，
即，整理得，
则，解得，
当时，，
令，解得或，此时定义域为关于原点对称，
符合为奇函数，故符合题意.
故.
故答案为：0
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解；
（2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围.
【小问1详解】
若，则，则有.
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集，
即，解得，
故实数的取值范围是.
16. 中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？
（3）估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）．
【答案】（1）
（2）8人 （3）岁
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，即可计算的值；
（2）先计算年龄在内的频率，进而可估计样本中年龄在内的人数；
（3）由频率分布直方图计算平均数，取各区间中点值乘以频率后再相加即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图得所有矩形面积和为1，
即，解得
【小问2详解】
年龄在内的频率为，
则抽取的样本中该区间人数为人.
【小问3详解】
设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为，
由频率分布直方图计算平均数，即.
故这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为岁
17. 已知函数．
（1）证明在上单调递增；
（2）设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增；
（2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围.
【小问1详解】
，设，
则，
易得，故，
即当时，， ，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
由在恒成立，则有当时，，
，易得是开口向上的二次函数，对称轴为，
故在上单调递增，所以，即，
故实数k的取值范围是
18. 已知函数为指数函数，且在定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由是指数函数可得其系数为1，结合单调递增即可求的值；
（2）设，原式转化为二次函数，由题意得有两个正实数根，进而可求k的取值范围.
【小问1详解】
由函数为指数函数得，解得或，
因为在定义域内单调递增，有，故，
故的解析式为.
【小问2详解】
设，原式转化为，则有，
若方程有两个不同的实数根，单调递增，且，
所以有两个不同的正实数解，
即，解得，
故实数的取值范围是
19. 已知函数在上的最大值与最小值之和为3．
（1）求a的值；
（2）求的解集；
（3）若函数的图象经过点，求．
【答案】（1）；
（2）；
（3）9.
【解析】
【分析】（1）利用对数函数单调性，结合已知列式求出值.
（2）由（1）求出，利用指数式与对数式互化转化为一元二次不等式求解.
（3）求出及，进而求出目标值.
【小问1详解】
函数在上单调，由在上的最大值与最小值之和为3，
得，即，则，所以.
【小问2详解】
由（1）知，不等式
，解得或，
所以原不等式的解集为.
【小问3详解】
由（2）得函数，
由的图象过点，得，解得，
因此，
任意，，
所以
.
享受折扣的购物金额
折扣优惠
超过500元不超过1000元的部分
10％
超过1000元的部分
20％