广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（有解析）

这是一份广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题（有解析），共21页。试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡上交，本卷主要命题范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第七章，必修第二册第五章，选择性必修第一册第一章～第三章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. iD.
2. 已知空间向量与共线，则（ ）
A. 0B. 6C. -4D. 4
3 已知点，且直线MN与直线平行，则（ ）
A B. C. 2D. -2
4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. B. 12C. D. 8
6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则函数有零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于直线，下列说法错误的是（ ）
A. 直线的倾斜角为B. 直线经过点
C. 直线与直线垂直D. 直线在轴上的截距为
10. 已知双曲线，左、右焦点分别为，则下列说法正确是（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 虚轴长为4
C. 直线与双曲线左、右两支的交点分别为，则
D. 若点在双曲线的右支上，且，则
11. 在平面上，若动点与两定点满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆．由直线上的一点向圆引切线，切点为．下列结论正确的有（ ）
A. 圆的方程为
B. 圆与圆的公切线有且只有三条
C. 的最小值为2
D. 当取最小值时，直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件满足，则____________．
13. 已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________．
14. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为．若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以原点为圆心，为半径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为_________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知圆，直线．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）求过点的圆的切线方程．
16. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响．
（1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率；
（2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率．
17. 已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过椭圆右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程．
18. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足．
（1）证明：；
（2）若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ii）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数．
广西钦州市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题
（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第七章，必修第二册第五章，选择性必修第一册第一章～第三章．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. iD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解.
【详解】因为，所以，得到，
所以．
故选：B.
2. 已知空间向量与共线，则（ ）
A. 0B. 6C. -4D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值.
【详解】因为空间向量与共线，显然，
所以，解得，，所以.
故选:A.
3. 已知点，且直线MN与直线平行，则（ ）
A. B. C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】求得直线MN的斜率，结合题意可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
又直线MN与直线平行，所以，解得.
故选：B.
4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的焦距为20，可求得，由过点，列方程组可求得，进而可得渐近线方程.
【详解】因为双曲线的焦距为20，即，解得.
又双曲线过点，所以，解得，即，
所以渐近线方程为.
故选：C.
5. 已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）
A. B. 12C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的方程可得其左、右焦点的坐标，又已知直线过右焦点，根据椭圆的定义可得焦点三角形的周长.
【详解】因为椭圆的方程为，
所以，所以，
所以其左、右焦点的坐标分别为，即为左焦点.
由直线的方程可知，该直线过定点，即过右焦点，
记为点，如图.
所以的周长为,
由椭圆的定义可知，
所以的周长为.
故选：C.
6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】,
故向量在向量上的投影向量为，
故选：D
7. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗．已知该碗高10cm，口径18cm，底径8cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值.
【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm），
则，，于是，解得，
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：A
8. 若，则函数有零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据和，列举符合条件的取值，即可根据古典概型的概率公式求解.
【详解】由于，故所有的取值的方法共有：种
当，时：必有零点，所以有3种取法；
当时，函数为二次函数，若有零点则需：，即，
此时取值组成的数对分别为：共3种，
综上符合条件的概率为：，
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于直线，下列说法错误是（ ）
A. 直线的倾斜角为B. 直线经过点
C. 直线与直线垂直D. 直线在轴上的截距为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线与坐标轴交点，即可判断BD，根据斜率即可判断A,根据两直线的斜率关系，结合垂直的性质即可求解C.
【详解】对于直线，
直线过，所以BD说法正确，
直线的斜率为，倾斜角为，A说法错误.
直线的斜率为，由于，故两直线不垂直，C说法错误.
故选：AC
10. 已知双曲线，左、右焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线离心率为
B. 虚轴长为4
C. 直线与双曲线左、右两支的交点分别为，则
D. 若点在双曲线的右支上，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得双曲线的离心率与虚轴长判断AB；利用双曲线的对称性计算判断C，利用双曲线的性质和余弦定理求得，进而求得面积判断D.
【详解】由双曲线，得，所以，
所以双曲线的离心率为，虚轴长为，故A正确，B错误；
因为直线与双曲线左、右两支的交点分别为，
所以由双曲线关于轴对称，可得，
又在双曲线的右支上，所以，
所以，故C正确；
因为点在双曲线的右支上，所以，又，
由余弦定理可得，
所以，即，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面上，若动点与两定点满足且，则的轨迹是个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知为坐标原点，，动点满足，记的轨迹为圆．由直线上的一点向圆引切线，切点为．下列结论正确的有（ ）
A. 圆的方程为
B. 圆与圆的公切线有且只有三条
C. 的最小值为2
D. 当取最小值时，直线的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由得到一个等式，整理即可；对于B，首先根据圆的方程，判断两圆的位置关系，进而可知公切线的条数；对于C，将的最小值转化为的最小值即可；对于D，由选项C知点在以为圆心，2为半径的圆上，从而可求两圆的公共弦方程.
【详解】对于A，由得.
设，由，得，
整理得，即点的轨迹圆的方程为，故A错误.
对于B，由圆的方程，即，
可知圆心为，半径；
又圆的圆心为，半径，
所以两圆的圆心距为，所以两圆外切，
所以圆与圆的公切线有且只有三条，故B正确.
对于C，如图，由相切的性质可知，
所以当取得最小值时，也取得最小值，
而的最小值为点到直线的距离，即，
所以，故C正确.
对于D，若交于点B，由切线的性质可知，所以，
所以，
所以，
所以当取最小值时，取得最小值，由C知此时与直线垂直，
所以的斜率为，直线的斜率为1，
设，则，解得，所以，
由知点在以为圆心，2为半径的圆上，
其方程为，
所以为圆与圆的公共弦，其方程为，
即，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件满足，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知，
故,
则，
故答案为：
13. 已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离即可求解斜率，进而化成一般式即可求解.
【详解】的圆心,半径，
则圆心到直线的距离为，
由于，
故，即，结合，
解得，
故直线方程为，即，
故答案为：
14. 已知双曲线的左焦点为，右焦点为．若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以原点为圆心，为半径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得，再结合双曲线定义，求得，结合△为直角三角形，利用勾股定理，即可求解.
【详解】设中点为，连接，作图如下所示：
在△中，因为分别为的中点，故，且；
由题可知，，且，故，且；
根据双曲线定义可知，，又，
故在△中，由勾股定理，即，结合，故，
整理得，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知圆，直线．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）求过点的圆的切线方程．
【答案】（1）相离 （2）和.
【解析】
【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断；
（2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案.
【小问1详解】
圆，圆心，半径，
因为直线，所以圆心C到直线l的距离为，
因为，即，所以直线与圆相离.
小问2详解】
若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件；
若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即，
，解得；此时，切线方程为；
综上所述，该圆过点的切线方程和.
16. 甲、乙两人投篮命中的概率分别是和．假设两人是否投中，相互之间没有影响；每次是否投中，也没有影响．
（1）若甲连续投篮2次，求甲至少投中1次的概率；
（2）若甲、乙两人各投篮2次，求甲投中的次数比乙投中的次数恰好多1的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用甲至少投中次的对立事件，即可求出概率；
（2）分析甲比乙恰好多次命中的两种可能情况：甲命中次且乙次，或甲命中次且乙次，各自用独立事件的概率乘法求出后相加.
【小问1详解】
甲连续投篮次，“至少投中次”的对立事件是“两次均未投中”，
甲投不中的概率为，连续两次未投中的概率为，
故至少投中次的概率为.
【小问2详解】
甲投中的次数比乙投中的次数恰好多包含两种互斥情况，
第一种：甲投中次，乙两次未投中，
甲投中次可能为第一次命中或第二次投中，故其概率为，
乙两次未投中的概率为，
此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率；
第二种：甲投中次，乙投中次，
甲连续投中次的概率为，
乙投中次的概率为，
此时甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率；
甲乙相互独立，故甲投中的次数比乙投中的次数恰好多的概率为.
17. 已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆过点且离心率为列方程求解即可；
（2）设出直线的方程及，联立方程根据根与系数的关系可得到的表达式，列方程即可直线方程中的参数.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，即，
所以，所以.
因为椭圆过点，所以，
将代入得，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，所以椭圆的右焦点为，
设直线的方程为，，如图，
所以，
由消去得，
所以，
所以，
解得，所以直线的方程为，即.
18. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段PD上且满足，点在线段PA上且满足．
（1）证明：；
（2）若存在，使直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可.
（2）建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程即可得解.
【小问1详解】
∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，，平面，∴平面，
平面，故
【小问2详解】
以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵，，∴，
于是，，，，
设，则，，
由可得，
∴，，，，
设平面的一个法向量为，
于是，所以，
令，得，，故可取，
因，
，
由于直线BE与平面PAC所成角的正弦值为，
∴，解得或（舍去）,
故
19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ii）若过点可作抛物线2条切线，切点分别为.证明：直线的斜率之积为常数．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线的方程可知其准线方程，利用抛物线的定义，将转化为到准线的距离，列方程可求得.（2）（i）分讨论，时根据点斜式设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程得到一个一元二次方程，令判别式等于0可得到一个关于切线斜率的方程，求出斜率从而可得切线方程，说明时的切线方程也满足所求切线方程即可；（ii）设，由切线方程可得到的方程，联立的方程与抛物线的方程，可得，进而可得直线的斜率之积.
【小问1详解】
由抛物线的方程可知其准线方程为，
如图，过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得，
即，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
（i）当时，，切线斜率存在，设处的切线方程为，
由消去得.
因为切线与抛物线只有一个交点，且，
所以，即，①
因为在抛物线上，所以，即，代入①得
，整理得，所以，
所以切线方程为，即，
将代入得，即；
当时，，即为原点，由图知切线方程为，满足.
综上，抛物线上点处的切线方程为.
（ii）如图，连接，设，
由（i）知两条切线的方程分别为，
又两条切线的交点为，即的坐标均满足两条切线方程，
所以，所以的坐标均满足方程，即直线的方程为.
由消去得，所以，
由（i）知两条切线的斜率分别为，
所以，即直线的斜率之积为常数．