2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题14 三角函数与解三角形典型大题归类（2份，原卷版+解析版）

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【例题1-1】已知的内角，，的对边分别为，．
(1)求角的大小；
(2)若边上中线长为，，求的面积．
【答案】(1)或；(2)或
【详解】（1）由题知，，
所以由正弦定理得，
因为在三角形中，所以，
因为，所以，所以或
（2）由（1）得或因为边上中线长为，，设中点为,
所以,所以，即，
所以，当时，，解得，
当时，，解得，所以
，或
【例题1-2】已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．
【答案】(1)；(2)
(1)；令，解得：，的单调递增区间为.
(2)由（1）知：，即，
又，，，解得：；
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，，即，；
在中，由余弦定理得：，解得：；，，
的周长为.
【提分秘籍】
1、向量化(三角形中线问题）
如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便
2、角互补
【变式1-1】已知中，内角，，所对的边分别为，，，且
(1)求；
(2)若边上的中线长为，，求的面积．
【答案】(1)；(2)
（1）由已知得：，
由正弦定理可化为：，即，
由余弦定理知，又，故．
（2）设边上的中线为，则
所以，即，
所以，即①
又，由余弦定理得，即②
由①②得，所以．
【变式1-2】在中，边上的中线长为.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2)
（1）因为，
由正弦定理得,所以，
又因为，所以.
（2）记的中点为，则，设，
因为，即，
由余弦定理可得，即，
所以，所以，所以，则，
所以.
题型二：三角形角平分线问题
【例题2-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，的内角平分线交边于点D，求．
【答案】(1)；(2)
(1)∵ 由正弦定理得
∵，∴∴，∴
∴ ∵ ∴
(2)方法一：∵，∴
∴∴
∴
方法二：在△ABD中，由正弦定理，
在△ADC中，由正弦定理，
∵，∴
∴
∴
方法三：在△ABC中，由余弦定理：
，∴
在△ABD中，由正弦定理，；在△ADC中，由正弦定理，
∵， ∴∴
在△ADC中，由余弦定理：
设，则 即 解得或
在△ABC中，由余弦定理：，∴C是钝角
在△ADC中，∴，∴
【例题2-2】在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小，
(2)若，角的角平分线交于，且，求的面积．
【答案】(1)；(2)
(1)解：因为，
由三角函数的基本关系式，可得由正弦定理和，
即，又由正弦定理得，
由余弦定理得，因为，所以.
(2)解：由的角平分线将分为和，如图所示，可得，
因为，可得，且，所以，
即，整理得，即，
又由，可得，即，
又由，即，解得或（舍去），
所以的面积为.
【提分秘籍】
角平分线
如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，
核心技巧1：内角平分线定理：
或
核心技巧2：等面积法(使用频率最高）
核心技巧3：边与面积的比值：
核心技巧4：角互补：
在中有：; 在中有：
【变式2-1】在锐角中，内角的对边分别为，且满足
(1)求角C的大小；
(2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）∵，由正弦定理可得,，
整理可得：,
即，即：,
又因为锐角，所以，，所以，
即，又，所以；
（2）由题意可知，设，所以，
又，，所以，
在中，由正弦定理可得，即，所以，
所以，
又，所以，所以，所以
即面积的取值范围为.
【变式2-2】已知向量，，函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1），
则函数的最小正周期.
（2）由（1）可知，当，即时，取得最大值为，则，，
因为平分，所以，则点分别到的距离，
由，则，即，整理可得，
，当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.
题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）
【例题3-1】在①，②，③且这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
在中，内角，，的对边分别为，，，______.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若为边的中点，且，求周长的最大值.
【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析；(2)
【详解】（1）方案一：选条件①.
由及正弦定理，得，
所以，即，
又，，所以或（不合题意，舍去），故△ABC是等腰三角形.
方案二：选条件②.
由，得，所以，由正弦定理，得，故，
所以△ABC为等腰三角形.
方案三：选条件③.
由及正弦定理，得所以，得，
又，，所以或，又，故， 所以△ABC为等腰三角形.
（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且.
在△ABD中，由余弦定理，得，化简得.
设△ABC的周长为l，则，
所以，
当且仅当，即时取等号， 所以△ABC周长的最大值.
【例题3-2】的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得：，
则，而，令，
在锐角中，，解得，，
于是得，则，
所以周长的取值范围是.
【提分秘籍】
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
【变式3-1】三角形的内角的对边分别为，
(1)求；
(2)已知，求周长的最大值．
【答案】(1)；(2)18
【详解】（1）由，根据正弦定理，可得，整理可得，由余弦定理，，由，则.
（2）由（1）可知，，，由，当且仅当时，等号成立，则，即，故周长.当时等号成立
【变式3-2】已知，，分别为锐角△三个内角，，的对边，记三角形的面积为，若.
(1)求角的大小；
(2)若，试求△周长的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由余弦定理得，
∴，
∵三角形面积，∴∴，
∵，∴.∴角的大小为.
（2）由正弦定理及（1）得，∴，
.
∴
在锐角△中，，，又∵，∴，∴
综上，∴，∴
∴△周长的取值范围为.
题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）
【例题4-1】在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）在中，，由余弦定理得，
，整理得，由正弦定理得：
，而，解得
（2）由（1）知，而，则，当且仅当时取等号，
于是得，所以当时，面积取得最大值．
【例题4-2】在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，故，
整理得到：即，
故，而为三角形内角，故，
所以，故，而为锐角三角形内角，故.
,因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，故.
（2）由题设可得，故，整理得到：，
故即，
整理得到：，当且仅当时等号成立，故.
故三角形面积的最大值为.
【提分秘籍】
常用的三角形面积公式
（1）；（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式：①；②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
【变式4-1】在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.
(1)求角的大小；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
【详解】（1）由,根据余弦定理可得，化简得，
由正弦定理，可知，因为为锐角三角形，所以.
（2）由.由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，解得，则，，故，即面积的取值范围为.
【变式4-2】在中，角的对边分别是且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理可得
所以，
因为，所以，且，所以
（2）因为，，所以，即，
所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，
所以的面积的最大值为故的面积的取值范围是
题型五：四边形问题
【例题5-1】如图，在平面四边形中，，．
(1)若平分，证明：；
(2)记与的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析;(2)
（1）平分，，则，
由余弦定理得：，
即，解得：；
，
，
，又，，
（2），
，整理可得：；
，
，当时，取得最大值，最大值为.
【例题5-2】如图，在梯形中，，．
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1);(2)
【详解】（1）解：在中，
，
因此，当且仅当时取等号．故周长的最大值是．
（2）解：设，则，．
在中，，在中，．
两式相除得，，，
因为，
，
，故．
【变式5-1】在平面四边形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面积为，求AC；
(2)若，，求.
【答案】(1);(2)
（1）在△中，，，∴，可得，
在△中，由余弦定理得，.
（2）设，则，在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
【变式5-2】在平面四边形中，为等边三角形，设.
(1)求四边形面积的最大值，以及相应的值；
(2)求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
【答案】(1)；；(2)；
(1)由题意，为等边三角形，∴，
在中，，∴，，
∴四边形面积为，
因为，∴，即时，四边形面积最大，此时
(2)设，由正弦定理得，由余弦定理得，，
∴，
当，即时，，即的最大值为.
专题14 三角函数与解三角形典型大题归类 课后巩固练习
1．已知在中，角的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知可得，所以，
由正弦定理可得，即，则，
因为，又，所以，又，所以．
（2）由余弦定理可得，即，
又，所以，即，当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为．
2．已知在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)设点是边的中点，若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）在中，依题意有，由正弦定理得：，
而，即，则有，即，而，所以.
（2）在中，由（1）知，，又，点是边的中点，则,
于是得
，显然，当且仅当时取等号，
因此，，即，所以的取值范围是.
3．在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）因，，则，
而，且向量，的夹角为，则，
因此，在锐角中，，则，解得，所以.
（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，
则，，而，由锐角得，，即有，
显然有，于是得，有，，
所以周长的取值范围为.
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若2ccsB＝2a＋b．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为4，则3a2＋c2的最小值．
【答案】(1)；(2)80
【详解】（1）由及正弦定理可得，
∴，即，又，
故，又，故．
（2）因为的面积为，所以，即，故，
由余弦定理可得，
∴，当且仅当时等号成立，
故的最小值为80．