2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题16 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：异面直线所成角（含定值，最值，范围）
【例题1-1】已知，两点都在以为直径的球的球面上，，，若球的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例题1-2】在正方体中，是棱的中点，是底面内（包括边界）的一个动点，若平面，则异面直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】在长方体中，为空间内一点，为底面内一点，且满足，异面直线与所成角为，则当线段的长度取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，是线段上的动点（不包括端点），若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段的长度可能为（ ）
A． B． C． D．
题型二：线面角（定值，最值）
【例题2-1】如图，已知四棱锥的底面为正方形，二面角为直二面角，，点为线段AD的中点.
(1)证明：；
(2)若，点是线段上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
【例题2-2】如图1所示，在平行四边形中，，，将沿折起，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点，点为棱上一动点．
(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面，，点在棱上，,点在棱上，.
(1)若，为的中点，求证：，，，四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦的最大值.
题型三：线面角探索性问题
【例题3-1】如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，为棱上的点，且
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设为棱上的点（不与、重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【例题3-2】如图所示，四棱锥，底面在以为直径的圆上，圆，为等边三角形，，．
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，AP⊥平面ABCD，，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
(1)求证：AN⊥平面PDM；
(2)求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
(3)在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
题型四：二面角（定值，最值）
【例题4-1】已知直三棱柱中，侧面为正方形.，，分别为和上的点，且，，为棱上的点，.
(1)证明：，且；
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
【变式4-1】如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．
(1)若AD⊥A1C，求BD的长；
(2)当D在棱BB1（不包括端点）上运动时，求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围．
题型五：二面角探索性问题
【例题5-1】在四棱锥中，，，，.
(1)求证：；
(2)若平面平面，二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式5-1】如图，是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB，AC，BC上，且，为BC边的中点，AM交EF于点，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使.
(1)证明：平面平面；
(2)试探究在线段DM上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型六：点到平面距离问题
【例题6-1】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点到平面的距离．
【变式6-1】如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由.
专题16 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题） 课后巩固练习
1．在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，，，，，是等边三角形．现将沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥（如图2）且．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足，求二面角的余弦值．
2．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，是矩形，已知 ，动点 在棱 上，点 在棱 上，且 .
(1)求证： ;
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;
(3)在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.
3．如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，.
(1)求证：平面ABCD；
(2)设，当平面PAM与平面PBD夹角的余弦值为时，求的值.