新高考数学二轮复习小题专项复习 专题15 圆锥曲线（单选填空）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】B
【分析】设，由将的坐标表示出来，再利用N在，M在上，求出点的坐标，由可求出离心率.
【详解】设，已知、，
∵，
∴，∴
N在，M在，∴，
∴，即N，，，，
∴，∴，
故选：B．
2．（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆和圆的方程，结合图形，可判断出相切时，切线与坐标轴的夹角的大小，进而求解.
【详解】由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线.
两切线垂直，只需要,所以
故选：B
3．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.
【详解】依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，
设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，
则有，双曲线C的离心率为.
故选：B
4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知抛物线在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】先求得在点处的切线的斜率，进而得到双曲线的一条渐近线的斜率求解.
【详解】解：因为，
所以时，，则，
所以在点处的切线的斜率为，
即双曲线的一条渐近线的斜率为，
所以曲线C的离心率为，
故选：C
5．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求焦点到渐近线的距离，然后结合已知由勾股定理构造几何量齐次式，整理可得.
【详解】双曲线的一条渐近线为，即
过F作渐近线的垂线，垂足为B
则右焦点到渐近线的距离
由题可知
由勾股定理得，，所以
即，得
故选：A
6．（2022·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测）设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用余弦定理和基本不等式计算即可求得结果.
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，
由椭圆和双曲线的定义可得，得，
设，因为，由余弦定理得
，
即，
整理得，故.
又，即，
所以，即的最小值为，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.
7．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）已知，曲线：，抛物线：，抛物线：，且，，有且仅有一个公共点，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．4D．
【答案】A
【分析】求得的交点并代入的方程，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意，，
原点不满足方程，所以原点不是，，的公共点.
由解得或（舍去）.
将代入得.
所以，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故选：A
8．（2022·江苏南通·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线C：y2=4x的焦点，以F为圆心且与抛物线C的准线相切的圆F交抛物线C于A，B，则|AB|=（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】先求出圆的方程，再联立抛物线方程即可求出两点的坐标，由两点的距离公式即可求出答案.
【详解】，圆心F到准线得距离为2，∴圆的方程为：
，解得或，∴.
故选：B．
9．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线C相交于A，B两点，则4|AF|＋9|BF|的最小值为（ ）
A．26B．25C．20D．18
【答案】B
【分析】设,设出直线方程并与抛物线方程联立,再由焦半径公式,可得,再利用基本不等式可求出最小值.
【详解】由题意,,设,
设直线的方程为,
联立,即,则，
所以，
，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以4|AF|＋9|BF|的最小值为.
故选：B．
10．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知点，是双曲线的左､右顶点，过点作倾斜角为的直线交于点，点是线段的中点.若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】先由中位线结合求得，进而求出点坐标，代入双曲线的方程，求得，即可求出离心率.
【详解】
易得是线段的中点，又点是线段的中点，则，又，则，作轴于点，又，
则，则，代入可得，解得，故离心率为.
故选：A.
11．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于A，B两点，则的值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】设直线方程联立抛物线方程消元，利用韦达定理和抛物线定义可得.
【详解】令，，直线，消x可得，
，，
所以，
由抛物线定义知，
.
故选：B．
12．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，，，设内切圆的半径为，根据等面积法得到，即可得到的最大值，从而求出，即可求出椭圆的离心率；
【详解】解：由椭圆，可得，，，则，
如图，
设内切圆的半径为，
，
，则，
要使内切圆半径最大，则需最大，
，
又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．
则椭圆的离心率
故选：B．
13．（2022·江苏徐州·徐州市第七中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义可知，结合可得△PQF为正三角形，设准线l与x轴交于点A，由可得，利用，可得答案.
【详解】由抛物线定义可知，∴，△PQF为正三角形，
设准线l与x轴交于点A，由抛物线可知：，
∵，∴，∴，∴.
故选：B．
14．（2022·江苏盐城·统考三模）已知点为椭圆：的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的△有且只有一个，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设：取，联立椭圆结合求出A、B的点坐标，由及两点距离公式得到，根据题设且无其它k值，得到，进而求的范围，即可求离心率范围.
【详解】设直线：，则：，而，
不妨取，直线与椭圆联立，消去得，解得，
所以，则，
因为，所以，
整理得，，易知符合，
因为满足条件的△有且只有一个，
所以无之外的解，整理得，
所以，即，
所以离心率．
故选：B
15．（2022·江苏·统考三模）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，以为直径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据题意分别写出，，点的坐标，再根据，可建立起等量关系，从而求解离心率.
【详解】由已知，易知：，，，
所以，
化简得：，
即，，
解得：因为，故，
故选：C.
16．（2022·江苏·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，的渐近线分别交于A，C和B，D四点，若多边形为正六边形，则与的离心率之和为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】结合正六边形的几何性质以及离心率即可求出结果.
【详解】因为多边形为正六边形，设正六边形的边长为，
所以，∴，
∴，∴，
故选：C.
17．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，点(与点不重合)是双曲线右支上一点，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，可求得，根据直线斜率与倾斜角的关系可构造关于的方程，解方程可求得结果.
【详解】
设，则，且，；
由双曲线方程知：，，
设，则，
又，，，
即，解得：或，
又，，即.
故选：A.
18．（2022·江苏南京·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线：.过点（）的直线与交于，两点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，分直线的斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，直线方程与抛物线联立，再用韦达定理，利用即可求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，
因为所以，即，
解得：，因为，所以；
当直线的斜率存在时，则，设直线的方程为，，由消去，得，
所以，因为，所以，
即，
解得：，又因为，所以，
综上可知：实数的取值范围为，
故选：.
19．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知即向量数量积定义可得，应用余弦定理求得，根据等面积法可得，再由正弦定理列方程求离心率，结合目标式、基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，故，
又，则，
由余弦定理知：，
所以，而，
因为的内切圆的半径，故，
所以，则，
由，即，
所以，整理得且，
所以，
，当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
故选：B
20．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知双曲线C；的焦距为2c，过C的右焦点F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，，得到，，在Rt△AOB中，，用正切的二倍角公式列出方程，求出，从而求出离心率.
【详解】因为，画出示意图如图，设，因为sin∠AFO，
所以，
所以，
所以.
又，
所以，
所以，
所以.
又因为，
所以.
在Rt△AOB中，，
所以，
化简得：，
所以
故选：D
【点睛】圆锥曲线离心率问题，要能结合题目信息列出关于的齐次方程，求解出离心率，往往会和直线方程，向量等知识相结合.
二、填空题
21．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=______.
【答案】##
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，所以，
由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以离心率为.
故答案为：
22．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，右准线为，点在椭圆C的第一象限上，交于点E，直线交轴于点，且，则______．
【答案】
【分析】利用三角形相似求出点的坐标为，方法一用两点间距离公式进行求解；方法二用椭圆第二定义进行求解.
【详解】由题意可知：，的方程为，设直线与轴交点为，，
因为，，
所以与相似，，，
所以，即，
即，代入椭圆的方程可得，
因为点在椭圆的第一象限上，点的坐标为．
方法一：．
方法二：，由椭圆的第二定义可知，，
所以．
故答案为：
23．（2022·江苏南京·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．
【答案】
【分析】先利用椭圆和双曲线的定义得到，， 再根据两曲线的交点与两焦点共圆，利用勾股定理求解.
【详解】不妨设焦点，在x轴上，两者在第一象限的公共点为P，
设的实半轴长为a，则的长半轴长为3a，半焦距为c，
设，，
则，
由题意知：P在为直径的圆上，
所以，
解得：．
故答案为：
24．（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算和数量积的性质化简，由条件结合椭圆的定义可求，由求，可得椭圆方程.
【详解】因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，
又，
所以，由椭圆的定义可得，
设直线l与交于点M，则M为的中点，且，
所以
，
解得或1（舍去），所以，，
则C的方程为：．
故答案为：．
25．（2022·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若，则线段的长为________．
【答案】##4.5
【分析】作出图形，结合几何性质求出，进而可求出直线的斜率，然后将直线方程与抛物线联立，结合韦达定理即可求出结果.
【详解】
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，由题意可知，所以，设，
所以，且，因此，故，所以，即，因此直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，与抛物线联立，即，设，
则，因此，
故答案为：.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
26．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，且与双曲线的左支交于轴上方的一点，当时直线的斜率为__________．
【答案】##
【分析】依据双曲线定义求得的长度，在△中利用勾股定理求得的关系，进而求得直线的斜率
【详解】设直线与圆相切于点D，连接DO，过点作于E，
则，，
由点位于双曲线的左支上，可得
又△中，，，则
则有，即
解之得，或（舍）
则，则直线的斜率为
故答案为：
27．（2022·江苏苏州·苏州市第六中学校校考三模）已知抛物线方程为，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为（O为坐标原点）的垂心，则实数的值为__________．
【答案】5
【分析】设，，则可得，根据数量积为0，即可求得答案.
【详解】由题意知， ,
设，，则 ，
故 ，
则，∴，
故答案为：5
28．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上的动点，过P向动直线作垂线，垂足为Q．若△PQF是面积为的正三角形，则p＝_______．
【答案】
【分析】先写出△PQF边长为2，由几何法求出焦准距为p=1.
【详解】如图示：△PQF是面积为的正三角形，所以,所以为准线.
由，解得：.
过F作于D，则.
所以焦准距为p=1.
故答案为：1
29．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）椭圆：的左、下顶点分别为，，右焦点为，中点为，为坐标原点，交于点，且，，三点共线，则的离心率为____________．
【答案】##
【分析】由题得直线的方程为，直线的方程为，进而联立方程得，再结合在曲线上得，即，再解方程即可得答案.
【详解】解：由题知，，，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
因为交于点，且，，三点共线，
所以，联立方程解得，即，
由于点在曲线上，
所以，，整理得，
所以，解得，即的离心率为.
故答案为：
30．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________.
【答案】
【分析】根据题意可得，由于对角线与垂直，得四边形是菱形，在由抛物线的定义即可得到为等边三角形，可得直线的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案.
【详解】垂直平分，，
在四边形中，对角线与垂直，
四边形是菱形，
由抛物线的定义可得：
故
为等边三角形
故
故
故直线
故把直线与抛物线进行联立得，设 ，则
故答案为：.