【数学】广东湛江市2025-2026学年度高二第一学期期末调研考试试题（学生版+解析版）

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一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 圆与的位置关系是（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 内含
3. 方程等价于（ ）
A. B.
C. D.
4. 在三棱锥中，点M在线段上，且，N为中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A. B. 12C. 11D. 10
8. 已知双曲线，以双曲线右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆，则下列结论正确有（ ）
A. 的取值范围为
B. 若，则点在圆内
C. 若，则直线与圆相离
D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为
10. 已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（ ）
A. 实数的取值范围是
B. 若椭圆的焦点在轴上，则
C. 若，则周长为
D. 若，则的面积为
11. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ）
A. 异面直线与所成角大小为
B. 二面角的平面角的余弦值为
C. 此八面体的外接球的体积是
D. 此八面体的内切球的表面积为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为_______．
13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________.
14. 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
16. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、.
（1）求边的高线的直线方程；
（2）求边的垂直平分线的直线方程；
（3）求的外接圆方程.
17. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，已知.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）经过抛物线焦点的任意直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于轴.
18. 已知椭圆左右顶点分别为，右焦点为，已知，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上异于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值.
19. 如图，在五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.