2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高二上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高二上学期期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知随机变量X∼N2,σ2，且P(X>3)=0.2，则P(10,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为( )
A. 52B. 173C. 102D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X，Y，其中Y=3X+1，已知随机变量X的分布列如下表
若EX=3，则( )
A. m=310B. n=15C. EY=10D. DY=21
10.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏.甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以A1，A2分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生;再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以B表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是( )
A. 事件A1与事件A2互斥B. 事件A1与事件B相互独立
C. P(B|A2)=47D. P(B)=1321
11.已知椭圆C:x29+y25=1的左右两个焦点分别为F1、F2，左右两个顶点分别为A1、A2，P点是椭圆上任意一点(与A1,A2不重合)，M(1,1)，则下列命题中，正确的命题是( )
A. kPA1⋅kPA2=−59
B. ▵PF1F2的最大面积为 5
C. 存在点P，使得PF1⋅PF2=0
D. ▵PMF1的周长最大值是6+ 10+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线x2=2y上一点M到坐标原点O的距离为 3，则点M到该抛物线焦点的距离为 ．
13.若x+2 5=a5x 5+a4x 4+a3x 3+a2x 2+a1x+a0，则a5+a3+a1a4+a2+a0= ．
14.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体EF−ABCD.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿EF−ABCD的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 _种．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知二项式(x2+12 x)n(n∈N∗)展开式中，前三项的二项式系数和是56，求：(Ⅰ)n的值；(Ⅱ)展开式中的常数项．
16.(本小题12分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC=1，AA1=2．
(1)求证：A1C⊥平面ABC；
(2)若直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 34，求平面A1BB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时34，乙每次击中目标的概率23，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
(1)求甲至少有1次未击中目标的概率；
(2)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布列；
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
18.(本小题12分)
某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员．
(1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为23，12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用X表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的分布列和期望．
(2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1−3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员A1,A2,A3每场比赛的胜率分别为13，12，p，若要求甲队获得擂主的概率大于12，问p=23是否满足？请说明理由．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，有点Px1,y1,Qx2,y2.若以x轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面(如图所示)，则称此时点P,Q在空间中的距离为“点P,Q关于x轴的折叠空间距离”，记为dPQ．
(1)若点A,B,C在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为A1,2,B−2,3,C3,−4，求dAB,dBC的值．
(2)若点D,P在平面直角坐标系xOy中的坐标分别为D0,−1,Px,y，试用文字描述满足dDP= 2的点P在平面直角坐标系xOy中的轨迹是什么？并求该轨迹与x轴围成的图形的面积．
(3)若在平面直角坐标系xOy中，点E−1,3是椭圆y212+x24=1上一点，过点E的两条直线EM，EN分别交椭圆于M,N两点，且其斜率满足kEM+kEN=0，求dMN的最大值．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.B
5.B
6.A
7.C
8.B
9.AC
10.ACD
11.AD
12.32
13.121122
14.72
15.(Ⅰ)Cn0+Cn1+Cn2=56
⇒1+n+n(n−1)2=56⇒n2+n−110=0
⇒n=10,n=−11(舍去)．
(Ⅱ)(x2+12 x)10展开式的第r+1项是C10r(x2)10−r(12 x)r=C10r(12)rx20−5r2，
20−5r2=0⇒r=8，
故展开式中的常数项是C108128=45256．

16.解：(1)证明：因为∠A1AC=60°，AC=1，AA1=2，
由余弦定理得A1C= 12+22−2×1×2×cs60°= 3，
所以A1A2=A1C2+AC2，
所以A1C⊥AC，
因为A1C⊥AB，A1C⊥AC，AC∩AB=A，AC、AB⊂平面ABC，
所以A1C⊥平面ABC；
(2)由已知和(1)得，CA、CB、CA1两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC=t，(t>0)，
A(1,0,0)，C(0,0,0)，B(0,t,0)，A1(0,0, 3)，
C1(−1,0, 3)，B1(−1,t, 3)，
BC=(0,−t,0)，BB1=(−1,0, 3)，BA1=(0,−t, 3)，
设平面BCC1B1和平面A1BB1的法向量分别为m=(x,y,z)，n=(u,v,w)，
BC⋅m=−ty=0BB1⋅m=−x+ 3z=0，令z=1，m=( 3,0,1)，
BA1⋅n=−tv+ 3w=0BB1⋅n=−u+ 3w=0，令w=t，n=( 3t, 3,t)，
直线BA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为|BA1⋅m||BA1|⋅|m|= 3 t2+3×2= 34，
又t>0，解得t=1，可得点B(0,1,0)，
即m=( 3,0,1)，n=( 3, 3,1)，
设平面A1BB1与平面BCC1B1夹角为α，
则|csα|=|m⋅n|m|⋅|n||=42× 7=2 77，
由图可知夹角为锐角，
所以平面A1BB1与平面BCC1B1夹角的余弦值为2 77．
17.(1)记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)=1−P(A1)=1−(34)3=3764；
(2)依题可知ξ的可能取值为0，1，2，3，
并且ξ∼B(3,34)，Pξ=k=C3k34k143−kk=0,1,2,3
即P(ξ=0)=(14)3=164，Pξ=1=C3134142=964，
Pξ=2=C3234214=2764，P(ξ=3)=(34)3=2764，
ξ的概率分布列为：
(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，
则A=B1+B2，B1、B2为互斥事件，P(A)=P(B1)+P(B2)=2764×127+2764×627=764，
∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为764．

18.(1)由题意知，X的所有可能取值为1，2，3，
则PX=1=23×12=13，
PX=2=1−23×23×12+23×1−12×12=19+16=518，
PX=3=1−PX=1−PX=2=1−13−518=718，
所以X的分布列为
所以EX=1×13+2×518+3×718=3718．
(2)p=23满足题意，理由如下：
分三种情况：
①A1一人参赛全胜获得擂主，该事件发生的概率设为P1，则P1=133，
②A1,A2两人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为P2，
则P2=1−13×123+13×1−13×122+132×1−13×12=19108，
③A1,A2,A3三人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为P3，
若A1,A2在第一局被淘汰，A3淘汰掉乙队三人，概率为1−13×1−12p3=13p3，
若A2在第二局被淘汰，A3淘汰掉乙队两人，
概率为13×1−13×1−12p2+1−13×12×1−12p2=518p2，
若A2在第三局被淘汰，A3淘汰掉乙队一人，
概率为132×1−13×1−12p+13×1−13×12×1−12p
+1−13×122×1−12p=19108p，
故P3=13p3+518p2+19108p，
因为P1+P2=23108，
所以要使甲队获胜的概率大于12，即P1+P2+P3>12，则P3>31108，
即13p3+518p2+19108p>31108，化简得36p3+30p2+19p>31，
当p=23时，代入可得1103>31，满足题意．

19.解：(1)如图建立空间直角坐标系，
则点A,B,C在空间中的坐标分别为A′0,1,2,B′0,−2,3,C′4,3,0，
∴dAB= 0−02+−2−12+3−22= 10，
dBC= 0−42+−2−32+3−02=5 2；
(2)由题意可知，点D在空间中的坐标分别为D′1,0,0，对P点分类讨论，
①当点P在x轴的上半平面，即y≥0时，点P在空间中的坐标为P′0,x,y，
∴dPD= 1+x2+y2= 2，化简得：x2+y2=1y≥0，
因此在平面直角坐标中，点P在x轴上半平面的轨迹为以0,0为圆心，以1为半径的半圆．
②当点P在x轴的下半平面，即y