初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）本单元综合与测试练习

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1．一次课堂练习，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不正确的一题是（ ）
A．a3－a＝a(a2－1) B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
【答案】A
【分析】A、原式提取a，再利用平方差公式分解即可；B、原式利用完全平方公式分解即可；C、原式提取xy即可；D、原式利用平方差公式分解即可．
【详解】A、a3-a= a（a+1）（a-1），故错误；
B、m2－2mn＋n2＝(m－n)2，正确；
C、x2y－xy2＝xy(x－y) ，正确；
D、x2－y2＝(x－y)(x＋y) ，正确.
故选A．
2．若，且，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】A
【分析】本题考查了公式法分解因式，首先把多项式利用平方差公式分解因式，然后代入已知条件即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
而，
∴．
故选：A．
3．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+1B．x2+2x﹣1
C．x2+x+1D．x2+4x+4
【答案】D
【详解】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，D、x2+4x+4=（x+2）2．
4．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
【答案】C
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．
【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12．
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1．
∴m的最大值为11．
故选C．
5．当n为自然数时，一定能（ ）
A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除
【答案】D
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键．先把分解因式可得结果为：，从而可得答案．
【详解】解：
为自然数
所以一定能被8整除，
故选D
6．因式分解a4－1的结果为（ ）
A．(a2－1)(a2＋1)B．(a＋1)2(a－1)2C．(a－1)(a＋1)(a2＋1)D．(a－1)(a＋1)3
【答案】C
【分析】根据平方差公式进行分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】解：a4-1
=(a2-1)(a2+1)
= (a－1)(a＋1)(a2＋1)，
故选：C.
7．若，则的值是（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：D．
8．把多项式x−22−4x+8因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（ ）
解：原式=x−22+4x−8 ①
=x−22+4x−2 ②
=x−2x−2+4 ③
=x−2x+2. ④
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【思路引导】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键．
检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行．
【完整解答】解：原式为(x−2)2−4x+8，
∵−4x+8=−(4x−8)，
∴正确变形应为(x−2)2−(4x−8)，
但步骤①写为(x−2)2+(4x−8)，符号错误，
∴ 开始出现错误的一步是①．
故选：A．
若a，b，c是的三条边，且满足， ，
则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式，以及勾股定理逆定理，如果一个三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
由得，可判断为等腰三角形；由得，可判断也是直角三角形，即可得出答案．
【详解】解：

∴，即，
∴为等腰三角形；
又


∴是直角三角形；
∴为等腰直角三角形．
故选D．
下列多项式：①；②；③；④；
⑤；⑥．能用平方差公式因式分解的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，根据平方差公式逐项判断即可求解，掌握平方差公式是解题的关键
【详解】解：①，能用平方差公式分解，符合题意；
②，不能用平方差公式分解，不符合题意；
③，不能用平方差公式分解，不符合题意；
④，不能用平方差公式分解，不符合题意；
⑤，能用平方差公式分解，符合题意；
⑥
，
能用平方差公式分解，符合题意；
∴能用平方差公式分解因式的有个，
故选：．
填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．已知a＋b＝5，a－b＝－2，则a2－b2的值为 ．
【答案】-10
【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案.
【详解】∵a＋b＝5，a－b＝－2，
∴a2－b2=（a+b）(a-b)=5×(-2)=-10.
故答案为-10.
12．若是一个完全平方式，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式的应用，满足即为完全平方式，据此即可作答．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
解得，
故答案为：．
13．如果x+y=5，xy=2，则x2y+xy2= ．
【答案】10
【分析】直接提取公因式xy，进而求出即可．
【详解】∵x+y=5，xy=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×5=10．
故答案为10．
14．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ．
【答案】 6 1
【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．
【详解】解： ∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，∴x2+mx+5=x2+（n+5）x+5n．
∴．
故答案为：6；1．
15．因式分解 ．
【答案】
【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x
分解因式后，结果中含有相同因式的是_____________
【答案】①和④
【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案．
【详解】①16x2−8x＝8x（2x−1）；
②（x−1）2−4（x−1）＋4＝（x−1−2）2＝（x−3）2；
③（x＋1）4−4x（x＋1）2＋4x2＝[（x＋1）2−2x]2＝（x2＋1）2；
④−4x2−1＋4x＝−（2x−1）2；
∴结果中含有相同因式的是①和④；
故答案为：①和④
17．分解因式 ．
【答案】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，
“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，
请利用上述方法将分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案．
【详解】解：令，
则原式，
再将还原，原式，
故答案为：．
三．解答题（本大题有7小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．因式分解：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式3，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
20．因式分解：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，提公因式法与公式法的综合运用．
（1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）根据提公因式法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，
但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：
在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，
使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【问题解决】将下面的式子分解因式：
；
．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解的应用，关键是利用“配方法”分解因式．
（1）加16再减16，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可；
（2）加再减，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
22．阅读材料：
对于多项式x2＋2ax＋a2可以直接用公式法分解为(x＋a)2的形式．
但对于多项式x2＋2ax－3a2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，
在x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，再减去a2这项，使整个式子的值不变．
解题过程如下：
x2＋2ax－3a2
＝x2＋2ax－3a2＋a2－a2(第一步)
＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2(第二步)
＝(x＋a)2－(2a)2(第三步)
＝(x＋3a)(x－a)．(第四步)
参照上述材料，回答下列问题：
上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法( )
A．提公因式法 B．平方差公式法
C．完全平方公式法 D．没有因式分解
(2) 从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：__________；
(3) 请你参照上述方法把m2－6mn＋8n2因式分解．
【答案】(1)C；(2)平方差公式法；(3)(m－2n)(m－4n)．
【分析】（1）根据因式分解定义判断即可；
（2）参照平方差公式即可得知；
（3）类比题干方法，原式配上n2以构成完全平方式，再用平方差公式分解即可．
【详解】(1)C；
(2)平方差公式法；
(3)m2－6mn＋8n2
＝m2－6mn＋8n2＋n2－n2
＝m2－6mn＋9n2－n2
＝(m－3n)2－n2
＝(m－2n)(m－4n)．
23．阅读与思考：
材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，
下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填写选项）．
．提取公因式 ．平方差公式 ．完全平方公式
小影同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，
请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)
(2)不彻底，
(3)
【分析】（）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，即可得出选项；
（）根据完全平方公式中的两数差的平方公式可继续进行因式分解；
（）仿照材料方法，利用用换元法进行分解因式即可；
本题考查了因式分解，掌握换元法是解题的关键．
【详解】（1）解：小影同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：；
（2）解：小影同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是，
故答案为：不彻底，；
（3）解：设，
原式
．
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法．

探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，
因此可得一个多项式的因式分解______．
探究二：类似地，我们借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为bb