2025-2026学年山东省济南市长清区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年山东省济南市长清区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图①，古代叫“斗”，在官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图②是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A.B.
C.D.
2.如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（ ）
A.1B.C.D.
3.如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（ ）
A.B.
C.D.
5.将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的表达式为 （ ）
A.B.
C.D.
6.如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）

A.25°B.30°C.35°D.40°
7.下列关于反比例函数，说法不正确的是（ ）
A.点、均在其图象上
B.双曲线分布在第一、三象限
C.该函数图象上有两点，B ，若，则
D.当时，x的取值范围是
8.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）
A.B.2C.D.4
10.已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过，两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ）
①；
②若时，则；
③若点，在抛物线上，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A.①③④B.①③C.①②③D.①④
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．）
11.抛物线的顶点坐标是_____________．
12.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____．
13.如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________．
14.如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则的值为____．
15.如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则______．
三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.计算：．
17.解方程：；
18.如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求．
19.随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，)
（1）如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
（2）调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．
20.石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长与的延长线交于点E，连接，已知．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
21.百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_______， _______， _______．
（2）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
（3）（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
22.为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地．为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为．
（1）若矩形种植场地的总面积为，求矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米？
（2）当矩形场地中垂直于墙的一边长为多少米时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
24.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(0，3)，C(2，n)两点，直线l：y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；
（3）如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．
25.某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为 ；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长．