福建龙岩市2025-2026学年第一学期期末八年级质量监测数学试题+答案

这是一份福建龙岩市2025-2026学年第一学期期末八年级质量监测数学试题+答案，共14页。试卷主要包含了5毫米黑色签字笔描黑， 下列各式中正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分150分）
注意：
请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑。
在本试卷上答题无效。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 下列体育运动图案中是轴对称图形的是
2. 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性. 它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20nm. 已知20nm=0.00000002m，用科学记数法表示0.00000002为
A. 0.2×10−7B. 0.2×10−8
C. 2×10−7D. 2×10−8
3. 在平面直角坐标系中，点A(3，−4)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是
A.(3，4)B.(−3，−4)
C.(−3，4)D.(4，−3)
4. 下列各式中正确的是
A. a2+a2=2a4B. (−2a2)3=−6a6
C. a6÷a3=a2D. a2·a3=a5
5. 等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是
A.10B.13C.17D.13或17
6. 下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是
A. (a+b)(a−b)B. (m−1)(1−m)
C. (−2x+1)(−2x−1)D. (x+p)(p−x)
7. 如图，∆ABC中，∠ACB=90°，AD为角平分线，BC=10，S∆ABD:S∆ACD=3:2，P为直线AB上一动点，连接PD，则线段PD长的最小值是
A.4B.5C.6D.8
8. 某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺ACB斜边的中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的. 他们得出结论的依据是
A. 三角形的稳定性B. 垂线段最短C. 三线合一D. 等边对等角
9. 张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是a km/h，在后半段路程的平均行走速度是b km/h；李明全程的平均行走速度是a+b2 km/h. 如果a≠b，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是
A. 张华先到达B. 李明先到达
C. 两人同时到达D. 谁先到达无法确定
10. 如图，在∆ABC中，∠B=45°，∠A>∠ACB>∠B. 尺规作图操作如下：
（1） 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；
（2） 以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；
（3） 过点M'画射线CM'交边AB于点D.
A. ∠BDC=90°B. ∠B=∠BDC
C. DB=ACD. AD+DC=BC
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
11. 计算：|−2|−(π−1)0=______.
12. 已知点P在线段AB的垂直平分线l上，若PA=6，则PB长为______.
13. 若分式x2+1x−3有意义，则实数x的取值范围是______.
14. 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，则从C处观测A，B两处的视角∠ACB=______°.
15. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”）
16. 已知a2=b+5，b2=a+5，且a≠b，则ab的值为______.
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分8分）
计算：
（1）(a+3)(a−2)
（2）(2x−5)2
18.（本题满分8分）
因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c
（2）x2−2x−8
19.（本题满分8分）
先化简，再求值：1−1x−1÷x−2x2−1，其中x=3。
20.（本题满分8分）
如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AB=DE。
求证：AC=DF。
21.（本题满分8分）
铁包公快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物多用12小时。求这台机器人每小时可分拣多少件货物？
22.（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，∆ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上.
（1）如图1，作出∆ABC关于x轴对称的∆DEF（点A，B，C的对称点分别是点D，E，F）. 请直接写出点D的坐标为（____，____）；
（2）请你仅用没有刻度的直尺完成下列作图：
（ⅰ）如图1，作出∆ABC的重心G；
（ⅱ）如图2，在x轴上作出点P，使∠PAB=45°.
（要求保留作图痕迹，不写作法）
23.（本题满分10分）
如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数m为“可乐数”. 例如：3=22−12，8=32−12，64=102−62，所以3、8、64都是“可乐数”.
（1）在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有____；（填序号）
（2）求证：当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数”；
（3）把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”.
24.（本题满分12分）
阅读材料，回答问题.
25.（本题满分14分）
在∆ABC和∆CEF中，AB=AC，EC=EF．
（1）如图1，若∠BAC=∠CEF=60°，连接BE，AF．
①求证：BE=AF；
②设BE和AF的交点为点P，求证：PC平分∠BPF；
（2）如图2，若∠BAC+∠CEF=180°，连接BF，设BF的中点为点M，连接AM，EM，求证：AM⊥EM．
2025～2026学年第一学期期末八年级质量监测
数学参考答案
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
第10题解析：
由作图可知∠BCD=∠B=45°，
∴∠BDC=90°，这样A正确，B错误；
Q∠BCD=∠B，∴BD=CD，
在直角三角形ACD中，BD=CD∠ACB，
∴AD+CD=AD+BD=AB>BC，∴D错误.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
11．1 12．6 13．x≠3 14．15 15．真 16．−4
第16题解析：
由已知：a2=b+5①，b2=a+5②，
①-②得：a2−b2=b−a
∴(a+b)(a−b)=−(a−b)，
∵a≠b，a−b≠0，
∴a+b=−1，
①+②得：a2+b2=b+a+10，
∴(a+b)2−2ab=b+a+10，
把a+b=−1代入：(−1)2−2ab=−1+10，∴ab=−4.
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．
（1）解：原式=a2+3a-2a-63分
=a2+a-64分
（2）解：原式=(2x)2−2·(2x)·5+52
=4x2-20x+258分
18.
（1）解：原式=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)4分
（2）解：原式=x2−2x+1−1−8
=(x−1)2−9
=(x−1+3)(x−1−3)
=(x+2)(x-4)8分
（本小题用十字相乘法分解给满分）
19. 解：原式=x-1x-1-1x-1÷x-2x2-12分
=x-2x-1÷x-2(x+1)(x-1)4分
=x−2x−1·(x+1)(x−1)x−2
=x+16分
当x=3时，原式=x+1=3+1=48分
20. 证明：∵ B，F，C，E在一条直线上，且FB=CE
∴FB+FC=CE+FC
即BC=EF2分
∵AB∥DE
∴∠B=∠E4分
在∆ABC和∆DEF中
{AB=DE∠B=∠EBC=EF
∴∆ABC≅∆DEF（SAS）6分
∴AC=DF8分
21. 解：设每名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣15x件货物.1分
依题意得：600015x=600020x+12，5分
解得：x=200，
经检验，x=200是方程的解，
15x=15×200=3000，
答：一台机器人每小时可分拣3000件货物8分
22. 解：
（1）如图1，点D的坐标为(4,−4)；（正确画图3分，正确写出点D坐标1分）
4分
（2）(i)如图1，点G即为∆ABC的重心7分
（说明：根据网格线的平行关系构造全等三角形，作出AC，BC的中点M，N，连
接BM，AN交于点G即为重心. “直接连接C与AB和y=3的交点M、A与BC
和x=2的交点N，CM，AN的交点G即为重心.”不扣分）
（ii）如图2，点P在x轴上，满足∠PAB=45°10分
23.
（1）①②2分
（2）证明
法一：∵(n+1)2=n2+2n+1，
∴2n+1=n2+2n+1−n2=(n+1)2−n2
即2n+1能表示为两个正整数n+1和n的平方差，
∴当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数”.
法二：若正整数x，y满足x2−y2=2n+1，
则(x+y)(x−y)=(2n+1)·1
∵x，y，n都是正整数，
当x+y=2n+1x−y=1时，解得：x=n+1y=n，
∴2n+1=(n+1)2−n2，
∴当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数”．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，
若偶数m是“可乐数”，
则存在正整数x，y，使得m=x2−y2，
∴m=x2−y2=(x+y)(x−y)，
∵(x+y)与(x−y)的奇偶性相同，
∴若m=(x+y)(x−y)是偶数，则m一定是4的倍数，且m>4，
这样，所有的“可乐数”从小到大排列为：
3，5，7，8，9，11，12，13，15⋯⋯，
当m>4时，所有“可乐数”可以表示为4n+1，4n+3，4n+4(n≥1)，
当n≥1时，4n+1，4n+3，4n+4分别是第3n−1，3n，3n+1个“可乐数”，
∵2026=3×675+1，
∴第2026个“可乐数”为4×675+4=2704．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
（或者：当m>4时，所有“可乐数”可以表示为4n−3，4n−1，4n(n≥2)，
当n≥2时，4n−3，4n−1，4n分别是第3n−4，3n−3，3n−2个“可乐数”，
∵2026=3×676−2，
∴第2026个“可乐数”为4×676=2704．）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
24．解：
任务1：连接AD，则AD与CE的交点即为所求CE上到教学楼B和教学楼D的
距离之和最短的供水点P．
∵∆ABC是等边三角形，CE⊥AB，CD=BC
∴CE是∠ACB的平分线，AD是∠CAB的平分线
∴点P是∆ABC的角平分线的交点
∴BP是∠ABC的平分线
∴∠PBA=12∠CBA=30° ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（准确画出图形得2分，求出∠PBA=30°得2分）
任务2：如图，连接CK，CK1，CK2
∵K1，K2分别是点K关于AC和CE的对称点
∴CK1=CK2=CK，
∠ACK1=∠ACK，∠ECK2=∠ECK
∴∠ACK1+∠ECK2=∠ACK+∠ECK=12∠ACB=30°
∴∠K1CK2=60°
∴∆CK1K2是等边三角形
∴K1K2=CK1=CK2=CK
又∵点K在EF上，
∴当CK⊥EF时，CK有最小值.
如图，过点F作FQ⊥CE，垂足为Q
则在Rt∆CFQ中，∠FCQ=30°，FQ=12FC=12b
∴∆CEF的面积S∆CEF=12·EF·CK=12·CE·FQ
∴12·c·CK=12·a·12b
∴CK=ab2c
∴∆KMN周长的最小值为ab2c ⋯⋯8分
任务3：由于天桥RS与道路垂直，所以RS的长度是固定的要使从G到A的路径GRSA最短，只需GR+SA最如图，将点G沿着与大道边缘a，b垂直的方向平移a，b之间的距离（即RS的长度）至点G1，根据平移的性质可知，总有GR=G1S成立
则GR+SA=G1S+SA，
根据“两点之间，线段最短”，可知连接G1与A的线段的长度即使得GR+SA最短的距离，此时，G1A与b的交点即为所求的S，过点S作b的垂线与a的交点即为所求的R ⋯⋯12分
25. 证明：
（1）①∵AB=AC，EC=EF．∠BAC=∠CEF=60°．
∴∆ABC和∆EFC都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CF，∠BCA=∠ECF=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠FCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACF
在∆BCE和∆ACF中，
{BC=AC∠BCE=∠ACFCE=CF
∴∆BCE≅∆ACF（SAS）
∴BE=AF4分
②过点C作CG⊥BE，垂足为G；
过点C作CH⊥AF，垂足为H，
由①可知∆BCE≅∆ACF，
∴S∆BCE=S∆ACF，BE=AF，
∴12CG·BE=12CH·AF
∴CG=CH
∴ 点C在∠BPF的平分线上，即PC平分∠BPF．8分
（2）证法一：延长AM至点N，使得MN=AM，连接NF，EA，EN
∵ 点M为BF的中点
∴BM=FM
在∆ABM和∆NFM中，
{BM=FM∠AMB=∠NMFAM=NM
∴∆ABM≅∆NFM（SAS） ∴AB=NF，∠NFM=∠ABM
又∵AB=AC ∴AC=NF
设∠BAC=α，由∠BAC+∠CEF=180°可得∠CEF=180°−α，
由AB=AC可得∠ABC=∠ACB=180°−α2=90°−α2
由EC=EF可得∠ECF=∠EFC=180°−(180°−α)2=α2
设∠CBF=β，∠CFB=γ，
则∠NFM=∠ABM=∠ABC+∠CBF=90°−α2+β
∴∠ACE=360°−∠ACB−∠BCF−∠ECF
=360°−90°−α2−(180°−β−γ)−α2=90°+β+γ
∠NFE=∠EFC+∠CFB+∠MFN=α2+γ+90°−α2+β=90°+β+γ
∴∠ACE=∠NFE
在∆ACE和∆NFE中，{AC=NF∠ACE=∠NFEEC=EF
∴∆ACE≅∆NFE（SAS）
∴AE=NE，又MN=AM，
∴EM⊥AM，即AM⊥EM．14分
证法二：延长AM至点N，使得MN=AM，连接FN，
∵点M为BF的中点 ∴BM=FM
在∆ABM和∆NFM中，
{BM=FM∠AMB=∠NMFAM=NM
∴∆ABM≅∆NFM（SAS）
∴AB=NF，∠NFM=∠ABM
又∵AB=AC ∴AC=NF
设∠BAC=α，由∠BAC+∠CEF=180°可得∠CEF=180°−α，
由AB=AC可得∠ABC=∠ACB=180°−α2=90°−α2
由EC=EF可得∠ECF=∠EFC=180°−(180°−α)2=α2
延长FC交AB于点P，连接EA，EN，
∵∠NFM=∠ABM，
∴AB∥FN，
∴∠APC=∠CFN，
∵∠ACE=∠ACF−∠ECF=∠APC+∠PAC−∠ECF
=∠APC+α−12α=∠APC+12α，
∠EFN=∠CFN+∠CFE=∠CFN+12α，
∴∠ACE=∠EFN，
在∆ACE和∆NFE中，
{AC=NF∠ACE=∠NFEEC=EF
∴∆ACE≅∆NFE（SAS）
∴AE=NE
又∵MN=AM，
∴EM⊥AM，即AM⊥EM．14分
说明：（1）在几何证明中，可以从数量关系（互余、互补等）和位置关系（角的两边有平行、垂直关系等）证明角的相等关系；
（2）其他方法，如延长EM等参照给分．材料1
在八年级上学
点之间，线段最短'
最短”等知识对最
续探究一些问题.
材料2
学校及周边的
点，那么就可以将-
材料3
如图是某学校
是教学楼，C处是
条主干道AB和C
任务1
在教学楼B和
CD=BD．现矿泉
一个供水点P，使
D的距离之和最短
此时∠PBA=______
任务2
如图，在主下
FE(点F在AC
形△CFE区域建一
在FE上，点M在
△KMN周长需最
△KMN周长的最小
小马同学是这
连接K₁K₂，CK₁，
请你画出图形
任务3
大型住宅小区
的边缘a，b互相平
开发商想在小区与
垂直，点R在大道
从G到A的路径G
发商画出设计方案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
D
C
B
A
C
B
A