2025-2026学年湖南省衡阳市高新区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年湖南省衡阳市高新区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中是必然事件的是（ ）
A.本次考试小明同学能考分
B.明天早上会下雨
C.明天太阳从东边升起
D.小军后天到衡阳旅游的飞机会晚点
2.二次根式中x的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.任意实数
3.下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A.了解某班同学的跳绳成绩
B.了解全国参观过大雁塔的人数情况
C.了解衡阳某工厂某批次生产的汽车抗撞击能力情况
D.了解全省商场的羽绒服销售数量情况
4.已知的半径为，点P与圆心O的距离为d，下列情况中点P在上的是（ ）
A.B.
C.D.
5.若，且为锐角，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
6.已知关于x的方程的一个根是3，则它的另一个根是（ ）
A.B.1C.3D.
7.据船山实验中学对某毕业班学生三年来获得市级荣誉情况的统计，七年级时有2人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时有10人次获奖，若设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，则下列所列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
8.下列图形中是位似图形的是（ ）
A.B.
C.D.
9.如图，点、、在上，，则（ ）
A.B.C.D.
10.从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了以下五条信息：①②③④其中正确的是（ ）
A.①②③B.①②④C.①②⑤D.②③④
11.关于的一元二次方程的解是________．
12.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角为，则这段弯路（）的长度为________．

13.二次函数的对称轴是________．
14.如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________．
15.如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为________．
16.如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，交轴于点，作直线．当点在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点，若，则点坐标为________．
17.计算：．
18.如图1为衡阳“雁城之星”摩天轮，如图2，为了测得衡阳“雁城之星”摩天轮最高处的高度，在处用高为米的测角仪，测得摩天轮顶端的仰角为，再向摩天轮方向前进米，又测得摩天轮顶端的仰角为．求这个摩天轮最高处的高度约为多少?（可供参考数据：）
19.船山实验中学为落实“”体艺工作，为学生拓展视野，均衡发展，成立了5个选修课程小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．影视赏析；．编程．为了解学生对以上选修课的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了________名学生；
②补全条形统计图（在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角________度；
（2）陈老师计划从组（体育）的三名男生、一名女生中随机抽取两人参加市田径竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中一名男生一名女生的概率．
20.衡阳南岳衡山某文创商店开始时，将每件进价为10元的商品按每件14元出售，每天可售出100件．后来店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．
（1）要保证利润为450元且要让利于顾客，则应该把售价提高为多少元？
（2）每件售价定为多少元，才能使每天所得的利润最大？最大利润是多少？
21.如图，在中，点在上，连接，将沿着折叠得到，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的值及的长．
22.如图，在中，，以的中点为圆心、为半径的圆交于点，点是的中点，连接，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
（3）求证：．
23.如图，，，，．
（1）特例发现：
①________
②如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：________，直线与直线的位置关系是________；
（2）探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．
24.定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”；是函数的“巧点”．
（1）①已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
②上述函数的图象上是否存在“巧点”?若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由；
（2）动点，分别在直线，上，直线过直线，的“巧点”，在直线，上分别取点，，试求的最小值；
（3）将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标．