第二章 有理数及其运算 章末练习 (含答案）2025-2026学年北师大版（数学）七年级上册

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第二章 有理数及其运算章末练习基础过关练习一、认识有理数1． 的绝对值是（    ）A．B．C．D．2．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ）A．B．0.5C．D．23．如果，则m，n的关系是（    ）A．互为相反数B．，且C．相等且都不小于0D．m是n的绝对值4．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ）A．B．C．2D．45．年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（  ）A．B．C．D．6．下列关于表述正确的是（    ）A．B．C．D．二、有理数的加减运算7．计算：（    ）A．1B．C．9D．8．如图是2025年温州市5月1日至5日每天最高、最低气温的折线统计图，在这5天中，日温差最小的一天是(　　)2025年温州市5月1日至5日最高、最低气温统计图  A．1日B．2日C．4日D．5日9．一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ）A．B．C．D．10．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ）A．B．C．D．三、有理数的乘除运算11．计算的结果等于（   ）A．B．3C．D．12．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的．A．B．C．D．13．定义运算：，如．则：（    ）A．1B．C．2D．四、有理数的乘方运算14．的倒数是（   ）A．B．C．D．15．下列各式中，值相等的是（    ）A．与B．与C．与D．与16．（   ）A．B．C．D．17．计算（m个3，n个4）的结果是（   ）A．B．C．+4nD．18．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ）A．B．C．D．19．作为新兴力量，DeepSeek承载着打破国外技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列．数据显示，DeepSeek发布20天后，其日活跃用户已达2215万人，将数据2215万用科学记数法表示为（    ）A．B．C．D．五、有理数的混合运算20．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ）A．B．C．D．21．，0，，，中，是正数的有（   ）个．A．1B．2C．3D．422．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ）A．2B．4C．6D．8综合提升关练习23．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ．24．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ．25．在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“111011”转化成十进制数为 ．26．第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如．（1）类比十进制的计数原理：（规定：，），把一个二进制数转化为十进制数的方法为，即可转化成十进制13．请将二进制数，转换为十进制数是 ；（2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为．现用此方法将69转换为八进制数为，则“”表示的数是 ．27．计算：(1)(2)(3)(4)28．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”．(1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ；(2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．______； ； ；②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；③算一算：.29．数学课上，老师用A，B，C，D四个乒乓球分别代表一种运算，并依据这四个乒乓球设计了一个数学游戏，学生可以将A，B，C，D重新排序，进行一次列式计算．例如：若按的顺序运算，则可列算式为．(1)算式的结果为______；(2)若甲同学选择了的顺序，求他的计算结果；(3)探究：若数a经过的顺序运算后，结果是，求a的值．第二章 有理数及其运算章末练习答案1． 的绝对值是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，可直接得出答案．【详解】解： 的绝对值是2，故选A．2．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ）A．B．0.5C．D．2【答案】B【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．【详解】解：∵，，，，，∴与原点距离最近的是，故选：B．3．如果，则m，n的关系是（    ）A．互为相反数B．，且C．相等且都不小于0D．m是n的绝对值【答案】B【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性，结合等式，分析m与n的关系．【详解】解：∵，∴，且，故选：B．4．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ）A．B．C．2D．4【答案】B【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案．【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点，∴点表示的数为，故选：B．5．年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，的绝对值是（  ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据正数的绝对值等于本身即可求解．【详解】解：的绝对值是故选：B．6．下列关于表述正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键．【详解】解：根据绝对值的意义可得，故选：B．7．计算：（    ）A．1B．C．9D．【答案】B【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答．【详解】解：，故选：B．8．如图是2025年温州市5月1日至5日每天最高、最低气温的折线统计图，在这5天中，日温差最小的一天是(　　)2025年温州市5月1日至5日最高、最低气温统计图  A．1日B．2日C．4日D．5日【答案】C【分析】本题主要考查有理数减法的应用，分析统计图中每天的温差即可求出答案．【详解】解：1日的温差为：，2日的温差为：，3日的温差为：，4日的温差为：，5日的温差为：，所以4日的温差最小．故选：C．9．一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了有理数的加法．根据题意，早晨气温为，中午上升了，通过加法计算中午的气温即可．【详解】解：∵一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，∴这天中午的气温是故选B．10．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可．【详解】解：，故选：B．11．计算的结果等于（   ）A．B．3C．D．【答案】B【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．【详解】解：；故选B．12．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的．A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤．【详解】解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意；选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意；选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意；选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法；故选：D．13．定义运算：，如．则：（    ）A．1B．C．2D．【答案】B【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据已知条件中的新定义进行计算即可．【详解】解：∵，∴，故选：B．14．的倒数是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查倒数的定义，掌握知识点是解题的关键．根据倒数的定义，即可解答．【详解】解：的倒数是．故选C．15．下列各式中，值相等的是（    ）A．与B．与C．与D．与【答案】C【分析】本题考查了乘方、绝对值、符号化简、有理数的混合运算，分别计算各选项两式的值，判断是否相等．【详解】解：A、，，即与不相等，故不符合题意；B、，，即与不相等，故不符合题意；C、，，即与相等，故符合题意；D、，，即与不相等，故不符合题意．故选：C．16．（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了有理数的乘法和乘方运算，根据有理数的乘法和乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：，故选：．17．计算（m个3，n个4）的结果是（   ）A．B．C．+4nD．【答案】D【分析】本题考查乘法的意义，乘方的意义，根据乘法的意义和乘方的意义即可作出判断．【详解】解：∵m个3相加可记为，n个4相乘可记为，∴计算，故选：D．18．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．利用科学记数法的表示形式进行表示即可．【详解】解：148亿．故选：B．19．作为新兴力量，DeepSeek承载着打破国外技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列．数据显示，DeepSeek发布20天后，其日活跃用户已达2215万人，将数据2215万用科学记数法表示为（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．【详解】解：2215万．故选：C．20．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案．【详解】解：A．，故符合题意；B．，故不符合题意；C．，故不符合题意；    D．，故不符合题意；故选A．21．，0，，，中，是正数的有（   ）个．A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】本题考查了正数的意义，乘方运算，绝对值及相反数的定义，分别化简各数，判断其正负性，统计正数的个数即可．【详解】解：，结果是负数，0既不是正数也不是负数，，是负数，，是正数，，0既不是正数也不是负数，是负数．综上，只有第4个数是正数，共1个．故选：A．22．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ）A．2B．4C．6D．8【答案】D【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可．【详解】解：由题意，得：；故答案为：8．23．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ．【答案】或【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数，倒数的定义，得到，绝对值的意义，得到，然后根据有理数的混合运算法则，进行计算即可．【详解】解：由题意，得：，，∴，∵，∴或；故答案为：或．24．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ．【答案】3【分析】本题考查新定义运算，有理数混合运算．理解新定义是解题的关键．根据新定义的运算得到，再根据有理数混合运算法则计算即可．【详解】解：∵，∴；故答案为：3．25．在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“111011”转化成十进制数为 ．【答案】59【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给定的方法，列出算式进行计算即可．【详解】解：二进制数“111011”转化成十进制数为：，故答案为：26．第十四届国际数学教育大会在上海举办，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，以此类推．为了区分二进制与十进制的数我们一般在二进制数的右下角标注2，例如．（1）类比十进制的计数原理：（规定：，），把一个二进制数转化为十进制数的方法为，即可转化成十进制13．请将二进制数，转换为十进制数是 ；（2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果，例如图，37转化成二进制数为．现用此方法将69转换为八进制数为，则“”表示的数是 ．【答案】 10 105【分析】本题主要考查了含乘方有理数的混合运算，理解进制的定义成为解题的关键．（1）根据题意，仿照示例，把二进制数转换为十进制数即可；（2）采取“除8取余数法”，把十进制数转换为八进制数即可．【详解】解：（1），故答案为：10；（2）69转换为八进制数采取除8取余数法，，故答案为：105．27．计算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数的运算．解题的关键是：（1）先计算绝对值和化简多重符号，然后计算减法即可；（2）根据有理数的乘除法则计算即可；（3）根据有理数的乘法分配律计算即可；（4）先计算乘方和小括号内，然后计算乘法，最后计算加减即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．28．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”．(1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ；(2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．______； ； ；②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；③算一算：.【答案】(1)，；(2)①，，；②；③【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义除方，总结归纳运算规律是解题关键．（1）根据除方的运算法则进行计算即可；（2）①试一试：根据除方的运算法则进行计算即可；②想一想：由试一试总结归纳得出规律即可；③算一算：根据想一想得出的规律进行计算即可．【详解】（1）解：，，故答案为，；（2）①解：；；，故答案为：；②；故答案为：；③．29．数学课上，老师用A，B，C，D四个乒乓球分别代表一种运算，并依据这四个乒乓球设计了一个数学游戏，学生可以将A，B，C，D重新排序，进行一次列式计算．例如：若按的顺序运算，则可列算式为．(1)算式的结果为______；(2)若甲同学选择了的顺序，求他的计算结果；(3)探究：若数a经过的顺序运算后，结果是，求a的值．【答案】(1)121(2)9(3)2【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键．（1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可；（3）根据题意，经过的顺序运算结果为，列式，即可即可；【详解】（1）解：；（2）∵甲同学选择了的顺序，∴可列算式．∵，∴他的计算结果为9；（3）根据题意，得，解得，∴a的值是2．