苏科版（2024）八年级下册（2024）11.2 二次根式的乘除优秀导学案及答案

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▉题型1 最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．12B．23C．0.3D．7
【答案】D
【解答】解：A、12=23，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、23=136，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、0.3=11030，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、7是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8B．6C．14D．0.5
【答案】B
【解答】解：A、8=22，不是最简二次根式，不符合题意；
B、6是最简二次根式，符合题意；
C、14=12，不是最简二次根式，不符合题意；
D、0.5=22，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8B．12C．xy3D．x2+9
【答案】D
【解答】解：A、8=22，不是最简二次根式，不符合题意；
B、12=22，不是最简二次根式，不符合题意；
C、xy3=|y|xy，不是最简二次根式，不符合题意；
D、x2+9是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．7B．13C．4D．12
【答案】A
【解答】解：A、7是最简二次根式，符合题意；
B、13=33，则13不是最简二次根式，不符合题意；
C、4=2，则4不是最简二次根式，不符合题意；
D、12=23，则12不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
▉题型2 二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（−4）×（−9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
5．如图，正方形M的边长为m，面积为8；正方形N的边长为n，面积为32．计算(m−n)÷2的结果为（ ）
A．1B．﹣2C．2D．−2
【答案】B
【解答】解：由题意，得：m=8=22，n=32=42，
∴(m−n)÷2=(22−42)÷2=−2，
故选：B．
6．计算−12×12的结果为（ ）
A．﹣6B．−6C．6D．6
【答案】B
【解答】解：原式=−12×12=−6．
故选：B．
7．若5=m，3=n，则下列表示75正确的是（ ）
A．5mB．5nC．5mnD．5mn
【答案】B
【解答】解：75=25×3=53=5n，
故选：B．
8．下列等式中，能够成立的是（ ）
A．(−121)×(−16)=−121×−16=44
B．2x2=2x
C．(−25)×(−36)=25×36=30
D．a2+b2=a+b
【答案】C
【解答】解：A、(−121)×(−16)=121×16=121×16=11×4=44，故此选项不符合题意；
B、2x2=2|x|，故此选项不符合题意；
C、(−25)×(−36)=25×36=5×6=30，故此选项符合题意；
D、a2+b2是最简二次根式，不能化简，故此选项不符合题意；
故选：C．
9．下式中正确的是（ ）
A．(−5)2=5B．(−5)2=−5
C．(−5)2=−5D．(−5)2=5
【答案】D
【解答】解：−5无意义，则A不符合题意，
（−5）2＝5，则B不符合题意，
(−5)2=5，则C不符合题意，
（−5）2＝5，则D符合题意，
故选：D．
10．计算：5×10= 52 ．
【答案】52．
【解答】解：5×10=5×10
=50
=52，
故答案为：52．
11．计算：6÷3= 2 ．
【答案】2
【解答】解：6÷3=63=2，
故答案为：2．
12．计算32a•2a（a≥0）的结果是 8a ．
【答案】8a．
【解答】解：原式=32a⋅2a
=64a2
＝8a，
故答案为：8a．
13．若a⋅b=ab，且a+b＝2，整数a的值可以是 0（答案不唯一） （写出一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）．
【解答】解：根据题意得a≥0，b≥0且a+b＝2，
∴整数a的值可以是0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
▉题型3 分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=aa⋅a=aa；②1a+b=a−b(a+b)(a−b)=a−ba−b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：2−3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
14．在下列根式中，最简二次根式是（ ）
A．24B．15C．13D．32
【答案】C
【解答】解：24=26，则A不符合题意，
15=55，则B不符合题意，
13是最简二次根式，则C符合题意，
32=62，则D不符合题意，
故选：C．
15．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①ab=ab，②ab•ba=1，③ab÷ab=−b，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴①ab=−a−b，原计算错误；
②ab•ba=ab⋅ba=1，正确；
③ab÷ab=ab×ba=b2=−b，正确．
故选：B．
16．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．6B．15C．18D．12
【答案】A
【解答】解：A.6是最简二次根式，因此选项A符合题意；
B.15=55，所以15不是最简二次根式，因此选项B不符合题意；
C.18=32，所以18不是最简二次根式，因此选项C不符合题意；
D.12=22，所以12不是最简二次根式，因此选项D不符合题意．
故选：A．
17．陈老师在黑板上写了一个式子：(3+1)□(1−3)，“□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．+或×B．×或÷C．+或﹣D．﹣或÷
【答案】A
【解答】解：(3+1)+(1−3)=3+1+1−3=2，是有理数，符合题意；
(3+1)−(1−3)=3+1−1+3=23，是无理数，不符合题意，
(3+1)×(1−3)=(1+3)×(1−3)=1−3=−2，是有理数，符合题意；
(3+1)÷(1−3)=3+11−3=(3+1)(1+3)(1−3)(1+3)=4+23−2=−2−3，是无理数，不符合题意，
故“□”中的运算符号可能是：+或×，
故选：A．
18．6−2的一个有理化因式是（ ）
A．6B．2−6C．2+6D．6−2
【答案】C
【解答】解：A．6•（6−2）＝6﹣26，那么6不是6−2的一个有理化因式，故A不符合题意．
B．根据二次根式的乘法法则，2−6不是6−2的一个有理化因式，故B不符合题意．
C．（2+6）（6−2）＝6﹣4＝2，2+6是6−2的一个有理化因式，故C符合题意．
D．根据二次根式的乘法法则，6−2不是6−2的一个有理化因式，故D不符合题意．
故选：C．
19．比较大小：22 ＜ 33．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜．
【解答】解：22=222=2，33=333×3=333=3，
∵2＜3，
∴22＜33，
故答案为：＜．
20．对于有理数a和b，定义了一种新运算：a※b=a+ba−b，例如6※3=6+36−3=93=9×33×3=33，则3※(−12)为 51414 ．
【答案】51414．
【解答】解：由题意得：3※(−12)=3+(−12)3−(−12)=5272=51414，
即3※(−12)为51414．
故答案为：51414．
21．化简：
①300；
②7560；
③82a．
【答案】①103；
②52；
③2aa．
【解答】解：①300=3×100=103；
②7560=54=52；
③82a=22×2a2a×2a=2×2a2a=2aa．题型1 最简二次根式
题型2 二次根式的乘除法
题型3 分母有理化