初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）10.5 分式方程精品导学案

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▉题型1 分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
1．下列关于x的方程①x−13=5，②1x=4x−1，③3−x3=x﹣1，④xa=1b−1中，是分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：①x−13=5，③3−x3=x﹣1，④xa=1b−1属于整式方程；
②1x=4x−1的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程．
故选：A．
2．在①x2﹣x+1x，②1a−3＝a+4，③x2+5x＝6，④2xx−3=1中，其中关于x的分式方程的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：①x2﹣x+1x是分式，不是分式方程；
②1a−3＝a+4是关于a的分式方程；
③x2+5x＝6是一元一次方程；
④2xx−3=1是关于x的分式方程，
故关于x的分式方程只有一个．
故选：A．
▉题型2 分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．已知关于x的方程a2a−x=13的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程a2a−x=13的解是x＝1，
∴a2a−1=13，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
4．若分式方程axx−3+33−x=2无解，则a的值是（ ）
A．3或2B．1C．1或3D．1或2
【答案】D
【解答】解：axx−3+33−x=2，
方程两边同时乘x﹣3得：
ax﹣3＝2（x﹣3），
ax﹣3＝2x﹣6，
ax﹣2x＝3﹣6，
（a﹣2）x＝﹣3，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴3（a﹣2）＝﹣3，
解得：a＝1，
∵分式方程axx−3+33−x=2无解，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
综上可知：a＝2或1，
故选：D．
5．若关于y的不等式组y−1≥4my−m2≤2m+3有解，且关于x的分式方程mxx−3=1+2x+33−x有非负整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．﹣16B．﹣13C．﹣9D．﹣6
【答案】D
【解答】解：y−1≥4m①y−m2≤2m+3②，
解不等式①得：y≥4m+1；
解不等式②得：y≤5m+6．
∵原不等式组有解，
∴4m+1≤5m+6，
∴m≥﹣5．
∵mxx−3=1+2x+33−x，
∴mx＝x﹣3﹣（2x+3），
∴（m+1）x＝﹣6，
∴x=−6m+1．
又∵关于x的分式方程mxx−3=1+2x+33−x有非负整数解，m为整数，且m≥﹣5，
∴m＝﹣4或﹣3或﹣2，
又∵x=−6m+1≠3，
∴m≠﹣3，
∴m的值为﹣4或﹣2，
∴符合条件的所有整数m的和为﹣4+（﹣2）＝﹣6．
故选：D．
6．关于x的方程1−ax−2−52−x=1的解为正数．则a的取值范围为（ ）
A．a＜8且a≠6B．a＜8C．a＜0D．a＜0且a≠﹣2
【答案】A
【解答】解：解方程得1−ax−2−52−x=1得，x＝8﹣a，
∵x为正数，
∴8﹣a＞0，
解得a＜8，
又∵x﹣2≠0，
∴8﹣a﹣2≠0，
解得a≠6，
综上所述，a的取值范围是a＜8且a≠6，
故选：A．
7．若分式方程xx−4=2+ax−4无解，则a的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】A
【解答】解：去分母得：x﹣2（x﹣4）＝a
解得：x＝8﹣a
根据题意得：8﹣a＝4
解得：a＝4．
故选：A．
8．已知关于x的方程xx−2−m2−x=−1的解大于1，则实数m的取值范围是m＜0，且m≠﹣2 ．
【答案】m＜0，且m≠﹣2
【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x，
移项得：2x＝2﹣m，
系数化为1得：x=2−m2，
∵方程的解大于1，
∴2−m2＞1，且2−m2≠2，解得m＜0，且m≠﹣2．
故答案为：m＜0，且m≠﹣2．
▉题型3 解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
9．解分式方程时1x−2−2=1−x2−x，去分母正确的是（ ）
A．1﹣2＝﹣1+xB．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+xD．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x
【答案】C
【解答】解：原方程去分母得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x，
故选：C．
10．若关于x的不等式组x+5≤1−x2x−a＜3x无解，且关于y的分式方程ay−3+y−43−y=2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．﹣12B．﹣11C．﹣10D．﹣9
【答案】D
【解答】解：∵关于x的不等式组x+5≤1−x①2x−a＜3x②，
∴由①得，x≤﹣2，
由②得，x＞﹣a，
∵原不等式组无解，
∴﹣a≥﹣2，
解得，a≤2，
解分式方程ay−3+y−43−y=2得，y=a+103，
∵分式方程得解为正整数，
∴a＝2、﹣1、﹣4、﹣7，
∵y﹣3≠0，
∴a≠﹣1，
综上，a＝2、﹣4、﹣7，
∴2++（﹣4）+（﹣7）＝﹣9；
故选：D．
11．方程1x−1=2x的解为 x＝2 ．
【答案】x＝2
【解答】解：原方程去分母得：x＝2（x﹣1），
整理得：x＝2x﹣2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝2，
故答案为：x＝2．
12．解方程：
（1）1x=3x−2；
（2）2x−3=1−23−x．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）1x=3x−2，
方程两边同时乘x（x﹣2），得x﹣2＝3x，
移项、合并同类项，得2x＝﹣2，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入x（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣1是分式方程的解；
（2）2x−3=1−23−x，
方程两边同时乘（x﹣3），得2＝x﹣3+2，
解得：x＝3，
把x＝3代入x﹣3＝0，
所以x＝3是分式方程的增根，
所以原分式方程无解．
13．解方程：
（1）3x+2+1=xx−2；
（2）2x2−1+xx−1=1．
【答案】（1）x＝10；（2）x＝﹣3．
【解答】解：（1）去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），
去括号得：3x﹣6+x2﹣4＝x2+2x，
移项得：3x+x2﹣x2﹣2x＝4+6，
合并同类项得：x＝10，
检验，当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴x＝10是原方程的解；
（2）去分母得：2+x（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
去括号得：2+x2+x＝x2﹣1，
移项得：x2+x﹣x2＝﹣1﹣2，
合并同类项得：x＝﹣3，
检验，当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解．
▉题型4 分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
14．关于x的分式方程x−3x−1=mx−1有增根，则m的值是（ ）
A．﹣2B．3C．﹣3D．2
【答案】A
【解答】解：x−3x−1=mx−1
去分母，得x﹣3＝m，
移项，得x＝m+3．
∵关于x的分式方程x−3x−1=mx−1有增根，
∴m+3﹣1＝0，
∴m＝﹣2．
故选：A．
15．关于x的方程xx−3=2+kx−3会产生增根，那么k的值（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：分式方程去分母得：x＝2x﹣6+k，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：3＝6﹣6+k，
解得：k＝3，
故选：A．
16．若关于x的分式方程2xx−1−3=m1−x的解有增根，则m的值是 ﹣2 ．
【答案】﹣2
【解答】解：2xx−1−3=m1−x，
方程两边同时乘（x﹣1），得2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
去括号，得2x﹣3x+3＝﹣m，
解得：x＝3+m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
∴3+m＝1，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
17．若关于x的方程nx−1+21−x=1有增根，则n的值为 2 ．
【答案】2
【解答】解：nx−1+21−x=1，
n﹣2＝x﹣1，
解得：x＝n﹣1，
∵方程有增根，
∴x＝1，
把x＝1代入x＝n﹣1中得：1＝n﹣1，
解得：n＝2，
故答案为：2．
18．若关于x的分式方程2x+1x−3=5−m3−x有增根，则m的值为 7 ．
【答案】7
【解答】解：方程2x+1x−3=5−m3−x两边乘以x﹣3，得2x+1＝5（x﹣3）+m；
当x﹣3＝0时，x＝3，即方程的增根为3，
把x＝3代入2x+1＝5（x﹣3）+m中，得：2×3+1＝5×（3﹣3）+m，
∴m＝7，
故答案为：7．
▉题型5 由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
19．DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．1x+1x−2=1.2B．1x+1x+2=11.2
C．1x+1x−2=11.2D．x+（x﹣2）＝1.2
【答案】C
【解答】解：依题意得1x+1x−2=11.2，
故选：C．
20．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A．1080x=1080x−15+6B．1080x=1080x−15−6
C．1080x+15=1080x−6D．1080x+15=1080x+6
【答案】C
【解答】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，
∴每个B型包装箱可以装书（x+15）本．
依题意得：1080x+15=1080x−6．
故选：C．
21．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点．若设乙同学的速度是xm/min，则下列方程正确的是（ ）
A．14001.1x−900x=7B．900x−14001.1x=7
C．9001.1x−1400x=7D．1400x−9001.1x=7
【答案】A
【解答】解：∵甲同学的速度是乙同学的1.1倍，且乙同学的速度是xm/min，
∴甲同学的速度是1.1xm/min．
根据题意得：14001.1x−900x=7．
故选：A．
22．一项工程，甲单独干，完成需要a天，乙单独干，完成需要b天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（ ）
A．aba+bB．1a+1bC．a+babD．ab（a+b）
【答案】A
【解答】解：设工程总量为m，则甲的做工速度为ma，乙的做工速度mb．
若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数为
mma+mb=aba+b．故选A．
23．随着农业科学技术的发展，农作物的产量有很大幅度的增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表：
求2014年与2024年花生每亩地的产量．若设2014年每亩地花生的产量是x斤，可列出的方程是（ ）
A．12000x=16800x+240
B．12000（x+240）＝1680x
C．12000x−240=16800x
D．12000x＝16800（x+240）
【答案】A
【解答】解：∵2024年每亩地的产量比较2014年多240斤，且2014年每亩地花生的产量是x斤，
∴2024年每亩地花生的产量是（x+240）斤．
根据题意得：12000x=16800x+240．
故选：A．
▉题型6 分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
24．“某学校整修校内300m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程300x−5−300x=2，则题目中用“…”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修5m，结果延期2天完成
B．每天比原计划多修5m，结果提前2天完成
C．每天比原计划少修5m，结果延期2天完成
D．每天比原计划少修5m，结果提前2天完成
【答案】B
【解答】解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣5）m表示：实际施工时，每天比原计划多修5m，
∵方程300x−5−300x=2，
其中300x−5表示原计划施工所需时间，300x表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前2天完成．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
25．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为 800x+10=600x ，小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为 800y−600y=10 ．
（2）乙型机器人每小时搬运产品 30 kg．
【答案】800x+10=600x；800y−600y=10；30
【解答】解：（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x+10）kg产品，
依题意得：800x+10=600x；
设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，
依题意得：800y−600y=10．
故答案为：800x+10=600x；800y−600y=10．
（2）选项小华同学的思路：800x+10=600x，
化简得：800x＝600x+6000，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
选择小惠同学的思路：800y−600y=10，
变形得：800﹣600＝10y，
解得：y＝20，
经检验，y＝20是原方程的解，且符合题意，
∴600y=30．
故答案为：30．
26．“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案：
（1）①方案中“■”处的内容为 买到的竹条捆数为x ，“▲”处的内容为 480y=2×200y−4 ；
②彩纸每包 24 元，竹条每捆 20 元；
（2）完成任务2中的问题．
【答案】（1）①买到的竹条捆数为x，480y=2×200y−4；②24，20；
（2）8个．
【解答】解：（1）①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为x，“▲”处的内容为480y=2×200y−4，
故答案为：买到的竹条捆数为x，480y=2×200y−4；
②设彩纸每包y元，
由题意得，480y=2×200y−4，
解得y＝24，
经检验，y＝24是原方程的解，
∴y﹣4＝20，
∴彩纸每包24元，竹条每捆20元，
故答案为：24，20；
（2）由题意列分式方程得，32n=1612−n，
整理得，16n＝384，
解得n＝8，
经检验，n＝8是原方程的解，
∴嘉琪每天可以制作小龙舟8个．
27．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？
【答案】原计划每天种植250棵梨树
【解答】解：设原计划每天种植x棵梨树，
根据题意，得6000x−6000(1+20%)x=4，
解得x＝250，
经检验，x＝250为原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植250棵梨树．
28．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为am（a＞6）．
（1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
（2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值．
【答案】（1）甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜；
（2）整数a的值为8或15．
【解答】解：（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，
由题意得：
500x−5002x=10，
解得x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×25＝50，
答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜；
（2）设扩建后的基地面积是原来的n倍（n为正整数），根据题意可得：
（2a﹣2+14）（a+a）＝n（2a﹣2）a，
解得n＝2+14a−1，
∵a＞6，a为整数，且n为正整数，
∴a=8n=4或a=15n=3，
∴a的值为8或15．
29．某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设1号车的平均速度为x千米/小时，则2号车的平均速度为1.2x千米/小时，
依题意，得：12x−121.2x=360，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝48．
答：2号车的平均速度为48千米/小时．
题型1 分式方程的定义
题型2 分式方程的解
题型3 解分式方程
题型4 分式方程的增根
题型5 由实际问题抽象出分式方程
题型6 分式方程的应用
1.
2024年每亩地的产量比较2014年多240斤．
2
2014年总产量12000斤，2024年总产量16800斤．
实践背景
某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友．
信息1
嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下：
每包彩纸比每捆竹条贵4元，480元能买到的彩纸包数是200元能买到的竹条捆数的2倍．
任务1
嘉嘉设■，依题意，得方程
4802x−200x=4．
淇淇设彩纸每包y元，依题意，得方程▲；
信息2
制作时，嘉琪发现自己一天可以制作n个小龙舟或制作（12﹣n） 个大龙舟，并且制作32个小龙舟的天数和制作16个大龙舟的天数一样；
任务2
求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数．