江西上饶市铅山县2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题（试卷+解析）

这是一份江西上饶市铅山县2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）．
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）．
A. B. C. D.
5. 如果是完全平方式，那么值为（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知，则的值为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算：_____．
8. 若分式值为0，则的值为______．
9. 已知，，则_____．
10. 如图，在中，，，，垂足为，若，则_____．
11. 如图，是的中线，是的中线，若的面积是12，则的面积是_____．
12. 如图，，点为射线上一定点，点为射线上一动点，若为等腰三角形，则的度数为_____．
三、（本大题共4小题，13，14每题8分，15，16每小题6分，共28分）
13. 计算：
（1）．
（2）．
14 分解因式：
（1）．
（2）．
15. 如图，在中，是高，，是角平分线，且，相交于点，，．求和的度数．
16. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，
（1）画出关于轴的对称图形，并写出各顶点的坐标；
（2）在轴上确定一个点．使得的周长最小．
19. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点（不写作法、保留作图痕迹）．
（2）求证：．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
20. 请仔细阅读材料，解答下列问题：
要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如：
．
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）已知，求值．
21. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
（1）①“丰收1号”单位面积产量为_____，“丰收2号”单位面积产量为_____（以上结果均用含的式子表示）：
②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由；
（2）某农户试种“丰收1号”．“丰收2号”两种小麦种子．两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450平方米，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求的值．
六、解答题（本大题共12分）
22. 课例改编：数学课上，张老师根据数学课本第67页习题改编了一个题目：
如图，是的高，，若，，求的长，
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决．如图1．在上截取，连接
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：的长为_____．
探究：张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点．则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
拓展：根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，中，，，平分交于点．求证：．
2025－2026学年第一学期期末考试
八年级数学试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断．
详解】解：不能看作轴对称图形，故A不符合；
不能看作轴对称图形，故B不符合；
能看作轴对称图形，故C符合；
不能看作轴对称图形，故D不符合，
故选：C．
2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）．
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，只需验证每组数中较小两边之和是否大于第三边即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为，，的三根小木棒可以组成三角形，符合题意；
B、∵，
∴长为，，的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴长为，，的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴长为，，的三根小木棒不能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查合并同类项及幂的运算法则，需根据同类项合并规则、同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐一判断选项的正误.
【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，
∴A选项错误，
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，
∴B选项错误，
∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，
∴C选项错误，
∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，，
∴D选项正确
故选：D
4. 图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴，
故选：B．
5. 如果是完全平方式，那么的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式的特点，根据题意可知两平方项为，，据此根据完全平方式的特点确定一次项，进而可得答案．
【详解】解：∵是完全平方式，且，，
∴一次项为，
∴，
∴，
故选：A．
6. 已知，则的值为（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，，据此求出，再代入所求式子中求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算：_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
8. 若分式的值为0，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分子为零且分母不为零可得答案．
【详解】解：分式的值为0，
且．
解，得，
解，得，
，
故答案为：．
9. 已知，，则_____．
【答案】28
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将所求代数式变形后代入已知条件计算，熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
10. 如图，在中，，，，垂足为，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，先求出，，再由含角的直角三角形的性质计算即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图，是的中线，是的中线，若的面积是12，则的面积是_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查三角形的中线与面积的关系．熟记相关结论即可．根据中线与面积的关系可得、即可求解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的高相等，的面积是12，
∴，
∵是的中线，
∴
∵的高相等
∴
故答案为：3
12. 如图，，点为射线上一定点，点为射线上一动点，若为等腰三角形，则的度数为_____．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于分类讨论．
由题意知，当为等腰三角形时，分①，②，③，三种情况，根据角度的数量关系，三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
当为等腰三角形时，分①，②，③，三种情况求解：
①当，，
∴，
②当，，
∴，
③当，，
则，
∴；
综上所述，的值为或或，
故答案为：或或．
三、（本大题共4小题，13，14每题8分，15，16每小题6分，共28分）
13. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
14. 分解因式：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，再根据完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 如图，在中，是高，，是角平分线，且，相交于点，，．求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，由是高得出，再由三角形内角和即可得出，求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵在中，是高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
16. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差，先由线段的和差得出，再证明，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再根据负整数指数幂的运算法则得出的值，代入计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
18. 如图，在平面直角坐标系中，，，，
（1）画出关于轴的对称图形，并写出各顶点的坐标；
（2）在轴上确定一个点．使得的周长最小．
【答案】（1）作图见解析，，，
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
（1）关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可；
（2）作点C关于y轴的对称点，连接，交轴于，则，可得，此时的周长最小．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，则，，.
【小问2详解】
解：作关于轴的对称点，连接，交轴于，则即为所求.
19. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为，交于点（不写作法、保留作图痕迹）．
（2）求证：．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质.
（1）根据线段的垂直平分线的作法作的垂直平分线即可.
（2）如图，连接，证明，，可得，再进一步证明即可.
【小问1详解】
解：如图所示，是的垂直平分线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
20. 请仔细阅读材料，解答下列问题：
要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即．
这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如：
．
（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法．
（1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可；
（2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可；
（3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，，
∴．
21. 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
（1）①“丰收1号”单位面积产量为_____，“丰收2号”单位面积产量为_____（以上结果均用含的式子表示）：
②哪种小麦的单位面积产量高？请说明理由；
（2）某农户试种“丰收1号”．“丰收2号”两种小麦种子．两种小麦试种的单位面积产量与试验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为450平方米，“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，求的值．
【答案】（1）①；；②“丰收号”小麦的单位面积产量高，理由见解析
（2）19
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键．
（1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值．
小问1详解】
解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为，
∴“丰收号”单位面积产量为；
由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为，
∴“丰收号”单位面积产量为．
故答案为：；．
②“丰收号”小麦的单位面积产量高，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即“丰收号”小麦的单位面积产量高．
【小问2详解】
解：根据题意，得：，
解得
经检验，是原方程的解且符合题意．
∴的值是19．
六、解答题（本大题共12分）
22. 课例改编：数学课上，张老师根据数学课本第67页习题改编了一个题目：
如图，是的高，，若，，求的长，
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决．如图1．在上截取，连接
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：的长为_____．
探究：张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点．则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
拓展：根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在中，，，平分交于点．求证：．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图．在上截取，连接，证明，可得，证明，再进一步求解即可.
（2）在上截取，连接，证明，可得，，再证明，再进一步解答即可.
（3）如图，在上取点，使，连接，使，证明，可得，，求解，证明，，进一步可得结论.
【详解】解：（1）如图．在上截取，连接，
∵，
∴，

∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，上截取，连接，

平分，
，
∵，
，
，，
，，
，
∵，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，在上取点，使，连接，，使，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分交于点．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.