浙江绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题（试卷+解析）

这是一份浙江绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题（试卷+解析），共29页。试卷主要包含了全卷分试题卷和答题卡两部分等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．全卷分试题卷和答题卡两部分。全卷满分120分，考试时间120分钟。试题卷共6页，答题卡共6页。
2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号．
3．答题时，将试卷I选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，试卷II填空题的答案写在答题卡对应的横线上．解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上．
选择题部分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 下列函数属于二次函数的是()
A B. C. D.
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小
B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道
C. 一个负数绝对值是正数
D. 潜水员深潜海底捞到月亮
3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（ ）．
A. B. C. 3D. 30
5. 已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A. πB. πC. 2πD. 2π
7. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）

A. （﹣1，﹣1）B. （﹣，﹣1）C. （﹣1，﹣）D. （﹣2，﹣1）
8. 如图，已知锐角．按下列步骤作图：①在边上取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 我国魏晋时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解时，用四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形面积是100，小正方形面积是4，那么（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，两点，点是二次函数图象上一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
非选择题部分
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，则_____
12. 若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为_____．
13. 若抛物线对称轴为直线，则_____．
14. 规定：对于一个三位数，当时，则称这样三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____．
15. 如图．在矩形中，，点在边上，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形．点、的对应点分别是，，当恰好经过点时，则_____．
16. 如图，是边长为3的正方形边上一点，为正方形内一点，线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，连接，若，则的最小值为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
19. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式．
（2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积．
20. 如图，若四边形，四边形，四边形都是边长为1正方形．
（1）计算：_____，_____，_____
（2）求证：．
21. 如图，坡角为的斜坡上有垂直于水平地面的大树，在太阳光线与水平线成角沿斜坡照射下，大树在斜坡上的树影长为16米，求大树的高度．
（参考数据：，，）
22. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交延长线于点，交于点．
（1）若，求的长．
（2）若，试用含的代数式表示四边形的面积．
23. 已知二次函数图象的对称轴为直线，且．
（1）该二次函数图象的顶点坐标是_____．
（2）当时，该二次函数的最大值为，最小值为，求的值．
（3）当时，函数有最小值，求的值．
24. 如图1，四边形内接于，为的中点，分别延长，交于点，连接并延长交于点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，若，．
①求直径；
②连接，求的值．
2025学年第一学期九年级期末教学质量调测
数学试题卷
考生须知：
1．全卷分试题卷和答题卡两部分。全卷满分120分，考试时间120分钟。试题卷共6页，答题卡共6页。
2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号．
3．答题时，将试卷I选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，试卷II填空题的答案写在答题卡对应的横线上．解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上．
选择题部分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1. 下列函数属于二次函数的是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如(、、为常数，)的整式函数是二次函数这一概念是解题关键，根据定义逐项判断即可
【详解】解：∵二次函数的定义为形如(、、为常数，)的整式函数
∴A选项符合二次函数形式，，是二次函数
B选项是反比例函数，不是二次函数
C选项是一次函数，不是二次函数
D选项是分式函数，不是整式，不符合二次函数定义
故选：A．
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小
B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道
C. 一个负数的绝对值是正数
D. 潜水员深潜海底捞到月亮
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A选项中，宇航员在月球上所受重力一定比地球上小，属于必然事件，故本选项不符合题意；
B选项中，打开电视机，屏幕可能显示科教频道，也可能显示其他频道，属于随机事件，故本选项符合题意；
C选项中，负数绝对值一定是正数，属于必然事件，故本选项不符合题意；
D选项中，潜水员在海底捞到月亮不可能发生，属于不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B
3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：榫的俯视图是：
故选：D．
4. 如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（ ）．
A. B. C. 3D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的应用．易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5. 已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关函数的性质逐项判断即可．
【详解】解：A：，，随的增大而增大，
∵，
∴，故该选项不合题意；
B：，，随的增大而减小，
∵，
∴，故该选项不合题意；
C：，，函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，且第一象限点的纵坐标为正，第三象限点的纵坐标为负，
∵，
∴，故该选项不合题意；
D：，，对称轴为轴，当时，随的增大而增大，和关于轴对称，
∵，
∴，故该选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）
A. πB. πC. 2πD. 2π
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长．
【详解】
解：如图，设弧AB的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB'
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，
根据垂径定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB．
∴OC＝＝3．
∴PC＝OP−OC＝5−3＝2．
∴AP＝＝．
∵将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°．
∴弧PP′的长为：＝π．
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π．
故选：B．
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）

A. （﹣1，﹣1）B. （﹣，﹣1）C. （﹣1，﹣）D. （﹣2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
8. 如图，已知锐角．按下列步骤作图：①在边上取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．设，由作图知，，求得，，利用三角形的外角性质求得，据此列式计算即可求解．
【详解】解：设，
由作图知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，即，
故选：C．
9. 我国魏晋时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解时，用四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形面积是100，小正方形面积是4，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算．根据正方形的面积得到，，根据赵爽弦图之间线段的关系，设，则，由勾股定理得到，作交的延长线于点，则四边形是矩形，结合正切值的计算方法即可求解．
【详解】解：∵用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，
∴，
∴，，，
∴，
∵大正方形的面积是，
∴，
∵小正方形的面积是，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，（负值舍去），
∴，
作交的延长线于点，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
故选：C．
10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，两点，点是二次函数图象上一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质和图象．由勾股定理，及根与系数的关系可得．
【详解】解：过点Q作于点C，
∵，
∴，
设的两根分别为与，
∴，，
依题意有，
化简得：，
有，
∴，
∵是图象上的一点，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
非选择题部分
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，则_____
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了比例的性质，设，，代入求值即可．
【详解】解：由，可设，（），
则．
故答案为：
12. 若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积公式进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由扇形面积公式，其中弧长 ，半径，
∴ ，
故答案为：．
13. 若抛物线的对称轴为直线，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．利用抛物线对称轴公式代入已知条件求解
【详解】解：抛物线 的对称轴公式为 ，已知对称轴为 且 ，
代入公式得 ，即 ，
解得
故答案为：．
14. 规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查概率公式求概率；由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有3种，利用概率公式可得答案．
【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有：1，2，3，共3种，
∴所组成的三位数为“上升数”的概率为
故答案为：．
15. 如图．在矩形中，，点在边上，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形．点、的对应点分别是，，当恰好经过点时，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】证明，得出，设，则，即可得出，求出，，根据，得出，求出x的值，最后根据三角函数定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可得：，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但，不符合题意，
∴，
∴．
故答案为：．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一个角正切值，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
16. 如图，是边长为3的正方形边上一点，为正方形内一点，线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，连接，若，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．
【详解】解：如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，

∴，，
∵线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
∴的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
如图，当、、三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，
，，
∵，
，，
，
由旋转得：，，
，
，
值最小为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值与实数的混合运算，熟练运用特殊角的三角函数值进行计算是解题的关键．
先计算特殊角的三角函数值，再算乘方，接着算乘法，最后进行加减运算即可求解．
【详解】解：原式
．
18. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【详解】（1）设有红球个，
由题意可得；，
解得，
即布袋中红球有1个；
（2）画树状图如下：一共有12种等可能情况，其中两次都摸到白球的有2次，
∴ 两次摸到的球都是白球的概率为P=.
19. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上．
（1）求二次函数的表达式．
（2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题：
（1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可；
（2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵顶点在函数的图象上，
∴可设点M的坐标为，
∴可设二次函数的表达式为，
把点，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）得：点M到x轴距离为2，
由平移的性质得：，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积为．
20. 如图，若四边形，四边形，四边形都是边长为1正方形．
（1）计算：_____，_____，_____
（2）求证：．
【答案】（1）；；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）利用勾股定理解答即可；
（2）证得，即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵四边形，四边形，四边形都是边长为1正方形，
∴，，，
故答案为：；；
【小问2详解】
证明：由（1）得：，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21. 如图，坡角为的斜坡上有垂直于水平地面的大树，在太阳光线与水平线成角沿斜坡照射下，大树在斜坡上的树影长为16米，求大树的高度．
（参考数据：，，）
【答案】大树的高度为米．
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质．过点作交直线于点，过点作于点，求得是等腰直角三角形，，在中，利用直角三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：过点作交直线于点，过点作于点，
由题意得，，
∴是等腰直角三角形，，
在中，，
∴，
∴，
∴大树的高度为米．
22. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交延长线于点，交于点．
（1）若，求的长．
（2）若，试用含的代数式表示四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）设，证明，求得，，证明，求得，根据，列式计算求得，据此求解即可；
（2）证明，得到，求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设，
∵平行四边形，
∴，
∴，，
∵点是边的中点，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴；
【小问2详解】
解：∵平行四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
23. 已知二次函数图象的对称轴为直线，且．
（1）该二次函数图象的顶点坐标是_____．
（2）当时，该二次函数的最大值为，最小值为，求的值．
（3）当时，函数有最小值，求的值．
【答案】（1） （2）4
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
（1）求出函数解析式，化成顶点式即可求解；
（2）当时，最小值取在顶点处，最大值取在处，进而求解；
（3）分三种情况讨论最小值的位置，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，
解得，
∵，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴顶点坐标是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：二次函数，对称轴是，
当时，最小值取在顶点处，最大值取在处，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：当时，，随的增大而减小，
∴最小值取处，
∴，
解得或（舍去），
∴；
当且，即时，当，随先减小后增大，
∴最小值取在顶点处，
∴，
解得（与矛盾，舍去）；
当，即时，当，随的增大而增大，
∴最小值取在处，
∴，
化简得，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，或．
24. 如图1，四边形内接于，为的中点，分别延长，交于点，连接并延长交于点，交于点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，若，．
①求的直径；
②连接，求值．
【答案】（1）见解析 （2）①的直径为；②．
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理即可求解；
（2）①连接，，求得，推出，再利用勾股定理求解即可；
②连接，作于点，利用垂径定理结合勾股定理求得，再求得，再利用正切函数的定义求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，且经过圆心，
∴，
∵为的中点，
∴；
【小问2详解】
解：①连接，，
∵，
∴为的直径，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即的直径为；
②连接，作于点，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵的直径为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，垂径定理的推论，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆周角定理、垂径定理的推论以及解直角三角形的知识是解答本题的关键．