山西运城市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题（试卷+解析）

这是一份山西运城市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题（试卷+解析），共28页。试卷主要包含了 下列求导正确的是， 已知数列中，，，则， 已知直线与圆交于两点，则， 设，，，则、、的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
2026.2
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
4. 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在数列中，，则 （ ）
A. 3872B. 3882C. 3892D. 3902
7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线方程为：
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D.
10. 在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 若，则点到直线的距离为
D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为
11. 已知是函数的极大值点，则 （ ）
A.
B. 若函数有三个零点，则实数取值范围为
C. 若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为
D. 过点存在3条直线与曲线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是等比数列的前项和，，，则___________．
13. 已知函数，若，都有，则______________.
14. 已知双曲线一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的首项，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.
17. 如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：；
（3）记和的面积分别是，求的最小值.
19. 已知函数.
（1）对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足.
①判断数列单调性并说明理由；
②设数列前项和为，证明：.
2025-2026学年第一学期期末调研测试
高二数学试题
2026.2
满分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的运算法则以及复合函数求导法则运算求解即可.
【详解】对于选项A：，，两者不相等，故A错误；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确；
故选：D.
2. 已知数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得.
【详解】因为，，所以，
所以，即
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：B
3. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长公式计算即可.
【详解】已知圆的方程为，所以圆心坐标为，.
故圆心到直线：的距离，
所以弦.
故选：C
4. 如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
【详解】因为，，
可得，，
又因为，，
可得，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：D.
5. 已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断B；当时，，求导确定函数的单调性、最值即可判断C；当时，，根据对数函数的性质即可判断C；时，求确定函数的极值点即可判断A.
【详解】已知函数，
当时，，则，令得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
且则选项B是函数的部分图像；
当时，，则，令得，
所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
且则选项C是函数的部分图像；
当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像，
对于A选项，显然，
，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合.
故选：A.
6. 在数列中，，则 （ ）
A. 3872B. 3882C. 3892D. 3902
【答案】A
【解析】
【分析】令，判断数列的单调性，再去掉绝对值计算即可.
【详解】，，
令，即，
，
故当时，，数列递减；当时，，数列递增，
，
又，
.
故选：A.
7. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形性质确定点的坐标，代入椭圆方程，再通过转化为关于离心率的方程求解.
【详解】因为是菱形，所以，且，点的横坐标为中点的横坐标，即，
由可得，，整理得，解得，故，
代入椭圆，得，整理得，
又，所以，整理得，
两边同时乘以，得，解得，
因为，所以，所以，解得.
故选：D.
8. 设，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数在上的单调性可得到、的大小关系，利用对数函数的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.
【详解】构造函数，其中，则，
当时，，所以，函数在上单调递增，
因为，则，即，即，
所以，，
因为，故，即，即，
因此，.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影分别为，准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的方程为：
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为并于抛物线联立，利用韦达定理由可得，可判断A错误，由抛物线定义以及焦点弦公式可证明B正确，再由三点共线可得，即可知C正确，由以及韦达定理计算可得D正确.
【详解】易知抛物线的焦点，准线方程为，
设直线的方程为，，如下图
对于A，联立，整理可得，
所以，
由抛物线定义可得，
解得，所以直线的方程为或，即A错误；
对于B，设的中点为，
易知，则，即；
所以到准线距离，而，
即的中点到准线距离等于，所以以为直径的圆与准线相切，即B正确；
对于C，由可得，
当且仅当三点共线时，等号成立，
又可得，因此，即C正确；
对于D，易知，即，又可得，
因此，即D正确.
故选：BCD
10. 在棱长为的正方体中，，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 若，则点到直线的距离为
D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设，写出各点坐标.对于A，写出，验证两者的数量积是否为即可；对于B，运用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质以及的范围，即可得解；对于C，运用等面积法求解即可；对于D，设外接球球心，由外接球的性质可知，即可判断其轨迹，进而得解.
【详解】以为原点，建立空间坐标系如图所示，
设，
则，
对于A：可得，
因为，即，故A正确；
对于B：因为三棱锥的体积
当时，三棱锥的体积取到最大值，故B错误；
对于C：若，则，设点到直线的距离为，
在中，，
则
且为锐角，可得，
则，
即，解得，故C正确；
对于D：设三棱锥外接球球心，
易知直角三角形的外接圆圆心位于其斜边的中点，
故的外接圆圆心为，
由外接球的性质可知，球心位于的外接圆圆心的正上方，
且到的距离与到的距离相同，故，
因此，，
即，则，且，
可知球心的轨迹为线段，且两个端点坐标为，
所以三棱锥外接球球心轨迹的长度为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知是函数的极大值点，则 （ ）
A.
B. 若函数有三个零点，则实数的取值范围为
C. 若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为
D. 过点存在3条直线与曲线相切
【答案】AB
【解析】
【分析】对函数求导，并根据极值点解得或，经检验可得符合题意，因此A正确，利用函数与方程思想可得函数与有三个交点，画出函数图象求出其极值可得B正确，由区间上存在最小值得出不等式可解得，因此C错误，设出切点坐标求出切线方程并代入点得出方程，求出方程根的个数可判断D错误.
【详解】对于A，易知，
依题意可得，解得或；
当时，，当时，当或时，
可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增；
显然是函数的极小值点，不合题意；
当时，易知，
当时，当或时，
可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增；
此时是函数的极大值点，所以，即A正确；
对于B，若函数有三个零点，即方程有三个不相同的实数根，
也即函数与有三个交点，根据已有分析可知在处取得极大值，在处取得极小值,
画出函数的图象如下图：
结合图象可知，即B正确；
对于C，若函数在区间存在最小值，则需满足且；
解得，因此C错误，
对于D，设过点的直线与曲线相切于点，
易知切线斜率为，
所以切线方程为，
代入点并化简可得,
也即，所以，
即，显然或，
因此只存在两个切点，所以过点存在2条直线与曲线相切，即D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是等比数列的前项和，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式化可求出的值.
【详解】设等比数列公比为，当时，，此时，与题意不符，
所以，由题意可得，解得，
由等比数列求和公式得．
故答案为：.
13 已知函数，若，都有，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式可求得函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，对参数分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得只有当时符合题意，即可得.
【详解】不妨取，由可得，即，
令，可得，，
即可得在上单调递减，所以在上恒成立，
又易知，则，
令，则；
当时，易知恒成立，此时在上单调递减，即在上单调递减，
又，所以当时，，不合题意；
当时，易知当时，，当时，，
即可得在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
若在上恒成立，即在上恒成立，
所以只需保证恒成立即可，
令，则，
显然当时，，当时，，
即可得，即在处取得极小值，又，即，
所以，即.
故答案为：
14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，且数列递增，则_________，__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先根据双曲线渐近线方程求出的值，进而得到双曲线方程，再结合点在双曲线上以及数列递增的条件求出，最后根据点的坐标求出的面积.
【详解】已知其中一条渐近线方程为，即，所以，
则双曲线的方程为，
因为点在双曲线上，所以，即，
由于、，，即，故，
当时，，符合题意；
不妨设，，
由得，
可得，
对比可得，所以，
所以，整理可得，
不妨取，则，此时，，符合题意，
所以，，
先证明一个结论：在中，
若，，则．
证明：
．
本题中，，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的首项，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义及递推公式推导出，即可得证；
（2）由（1）可得，即可得到，再利用错位相减法计算可得.
【小问1详解】
因为，，所以，
所以，
所以，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列；
【小问2详解】
由（1）可得：，则，
所以 ① ，
则 ②，
两式相减得：，
所以，
所以.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求在点处的切线方程；
（2）分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
【小问1详解】
当时，，所以，
而，所以在切线斜率，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，其中，
则，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值，
②当时，令，可得，列表如下：
所以，
由题意可得，即，
令，则.
因为，
所以函数在单调递增，
所以由，得，
所以实数的取值范围是.
17. 如图，已知斜三棱柱，底面为等腰直角三角形，，的中点为，底面.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质定理得到，即可得到平面，从而得到，再说明，即可得证；
（2）取的中点，连接，即可得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
因为平面，又平面，所以，
因为底面为等腰直角三角形，，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，所以侧面为菱形，所以
又，平面，所以平面．
【小问2详解】
取的中点，连接，则，所以面，
以为坐标原点，所在直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，所以 ，
则，所以，，
由（1）可知平面，
所以平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角正弦值．
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：；
（3）记和的面积分别是，求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）结合代入法，焦点坐标进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可；
（3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
椭圆的左右焦点分别为，
设，则，
因为点是椭圆上一点，
则，
所以，从而.
所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
直线的斜率显然存在，设方程为.
由，整理得，
设，则，
由已知，所以的斜率分别为，
，
故，所以；
【小问3详解】
设直线，显然，由，解得或，
∴，则，
由上可知，直线，
则，
由，得，解得或，
，则，
由上可知，直线，，
由（2）知，，
则.
，
当且仅当时等号成立，即最小值为.
19. 已知函数.
（1）对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足.
①判断数列的单调性并说明理由；
②设数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）①数列为递减数列，理由见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用分离参变量，构造函数求导判断单调性求最值，即可得参数范围；
（2）①利用（1）的结论，再利用递推思想作差证明即可；
②先证明，然后再放缩，利用等比数列求和即可得证.
【小问1详解】
不等式等价于
令，则，
令得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以，即 ；
小问2详解】
①数列为递减数列，理由如下：
由（1）可知，所以，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，所以，
因为，所以
由题意，得，则，
由（1）知当时，，
令，则，故，
又函数在上是单调递增函数，
所以，所以数列为递减数列.
②由题意得，令函数，
则，故在上单调递增，且，
令，则，得到，
所以，故，
又因为，所以，
得到，即，
当时，得到．
当时，．
所以，所以，
综上，原命题得证.
0
+
递减
极小值
递增