山西省运城市2023-2024学年高二(上)期末调研测试数学试卷（解析版）

这是一份山西省运城市2023-2024学年高二(上)期末调研测试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线方程可化为，则直线的斜率为，设倾斜角为，则，由，则，即倾斜角为.故选：C.
2. 各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A. 40B. 121C. 27D. 81
【答案】A
【解析】设等比数列公比为,
故选：A.
3. 如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】点M在线段OA上，且，
又，
∵N为BC的中点，
.
故选：D.
4. 万众瞩目的北京冬奥会于2022年2月4日正式开幕，是继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式． 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的长轴长为，则小椭圆的短轴长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，
所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得，
所以小椭圆的短轴长为：．
故选：C．
5. 已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，令，得，
设，，得，
当时，，函数在区间单调递增，
当时，，函数在区间单调递减，
当时，的最大值为，
并且时，，时，，
如图，画出函数的图象，
因为函数只有一个极值点，即与只有一个交点，且，
所以.
故选：A
6. 已知为等差数列的前n项和，，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列是单调递增数列B. 当时，最大
C. D.
【答案】D
【解析】对A：设数列的公差为，由，得，
又因为，所以，得，故A错误；
对B：因为，，，
所以当时，有最大值，故B错误；
对C：，，故C错误；
对D：，因为，所以，故D正确.
故选：D.
7. 已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆：的圆心，半径，
显然点为抛物线的焦点，其准线为，
设，则，
而，
由，，成等差数列得，，因此，
即有，解得，设直线的方程为，显然，
由消去y得：，则有，解得，
所以直线的斜率为.
故选：B
8. 定义在上的可导函数满足,当时,，若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得.
令，则，即为偶函数.
当时，，所以在上单调递增；
所以在上单调递减.
由，
得，即.
又为偶函数，所以，
因为在上单调递减，
所以，即，
解得，或，
所以a的取值范围为.
故选：C.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ）
A. 若两圆有3条公切线，则
B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C. 若两圆公共弦长为，则
D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则
【答案】ABD
【解析】设圆为圆，圆的圆心为，半径，
设圆为圆，圆的圆心为，半径，
.
A选项，若两圆有3条公切线，则两圆外切，
所以，A选项正确；
B选项，由两式相减并化简得，
则，
此时，满足两圆相交，B选项正确；
C选项，由两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以，
即，则解得或，C选项错误.
D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，
根据圆的几何性质可知，
所以，D选项正确.
故选：ABD

10. 若是函数的极值点，则下面结论正确的为（ ）
A. B. 的递增区间为
C. 的极小值为1D. 的极大值为
【答案】AD
【解析】由题可得，，
因为是函数的极值点，
所以，则，解得，
故，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故的递增区间，递减区间为，故A正确，B错误；
由上可知，的极大值为，极小值为，
故C错误，D正确.
故选：AD.
11. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】BD
【解析】令，
则，
令，有，
则，
即有，
即，故，
令，则，
令，有，
则，
即有，即，
故有，
即.
故选：BD.
12. 如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点G，使得平面EFG
C. G为中点时，直线EG与所成角最小
D. 点F到直线EG距离的最小值为
【答案】AB
【解析】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，，，.
对于A项，在正方体中，平面平面，平面，
由面面平行的性质可得，平面，
由点G在线段上，则到平面的距离，即点到平面的距离等于.
因为，所以.
则是个定值，故A项正确；
对于B项，假设存在点G﹐使得平面.
设.
，，，，
则.
所以，
，所以，满足条件.
此时有，，平面，平面，，
所以，存在点G﹐使得平面，故B项正确；
对于C项，设直线EG与所成角为.
因为，.
所以，
所以.
因为，
所以当时，有最小值，显然有，则有最大值，
根据余弦函数的单调性可知，当时，有最小值，故C项错误；
对于D项，因为，，
所以，在方向上投影向量的长度为，
由C知，当时，有最小值，
则有最大值为，又，
所以点F到直线EG距离的最小值为，故D项错误.
故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等差数列的前n项和为，已知，则公差__________．
【答案】3
【解析】依题意，得，而，得，
故答案为：3
14. 已知平面的一个法向量为,点在平面内,则点到平面的距离为______．
【答案】
【解析】因为，平面的一个法向量为，
所以点P到平面的距离．
故答案为：
15. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】如下图，垂直一条渐近线，则，
过作，故，又，
∴，，又在△中，故，，
由双曲线定义知：，则，
∴.
故答案为：.
16. 若对任意的，且，都有成立，则m的取值范围为__________．
【答案】
【解析】对任意的，且，可得，
由，可得，
即，
即，即
由且，可得函数 在上单调递增，由
解得，所以是的子集，
所以，即 m 的取值范围是.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，第17题分，其余每题各12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.
17. 已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程．
解：（1）设圆C的标准方程为
圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，
，解方程组得；
所以圆C的标准方程为.
（2）设直线的方程为：，
圆心到直线l的距离，
所以，
解得或，
所以直线l的方程为或
18. 已知函数为的导函数．
（1）当时，求函数在定义域内的极值；
（2）若在内存在增区间，求实数a的取值范围．
解：（1）设，其中，
则，
当时，若，则，故在上为增函数；
若，则，故在上为减函数；
故有极大值，其极大值为，无极小值.
（2）因为在内存在增区间，
所以在有解，
即在有解，
所以
今，则
令得，令得，
故在单调递减，单调递增
所以，
故.
19. 如图,在三棱柱中,.
（1）求证：平面；
（2）若，直线AB与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
解：（1）因为，四边形是平行四边形，
所以四边形是菱形，所以，
又因为，、平面，，
所以平面，又因平面，
，
且、平面，，
所以平面；
（2）因为AB与平面所成角为，平面，所以，
因为，所以是正三角形，
设，则，
以O为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设二面角的大小为(由图可知为锐角)，
因为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
当时，，
两式相减，得，
又，
所以数列为等比数列，首项为2，公比为3，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
，
则有，
两式相减得：
，
于是得，
因为且，，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，
因此.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P，Q为C上异于点A两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点．
解：（1）由题意知，
由
，
，
椭圆方程为；
（2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且）
则
解得，不符合题设；
从而可设直线PQ的方程设为，
，
则有
由
，
（舍）或，
当且仅当时，，
，
∴PQ直线恒过定点.
22. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，，又，则，，函数在上单调递减；
设，则，
当时，是增函数，即在上单调递增，
则，因此在上单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）不等式化为，
设，依题意，在上恒成立，而，
求导得，令，，
求导得，令，，
显然，则，即在上是增函数，
，当时，，
函数，即在上单调递增，
于是在上单调递增，
所以恒成立，原不等式恒成立；
当时，则，又，
所以存在，使得，
当时，，即在上单调递减，时，，
即在上单调递增，
又，则当时，，从而在上单调递减，
于是当时，，不合题意．
所以实数a的取值范围是.