吉林省长春市第一0八学校2025-2026学年下学期九年级数学第一次月考练习试卷

这是一份吉林省长春市第一0八学校2025-2026学年下学期九年级数学第一次月考练习试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在实数a、b、c中，若a+b=0,b−c>c−a>0， 则下列结论：①|a|>|b|,②a>0,③b a3>0，若满足 a1x1+1x1−2=1，a2x2+1⋅ x2−2=2，a3x3+1x3−2=3，则必有( )
A．x1>x2>x3B．x1=x2=x3
C．x13.
其中所有正确的结论为 （填写序号）
12．已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式： .
13．如图， ABC是等边三角形，D是BC边上的动点，以AD 为边在AD 右侧作等边 ADE,连接CE，F是AC的中点，连接EF，若 AB=4,，则EF的最小值是 .
14．如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，2为半径画圆，点P是⊙C上一个动点，连接PA，PB，记t=PA2−PB2，则t的取值范围为 ．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．（1）计算：2sin30°−12−1+38+|1−3|；
（2）先化简，再求值：1−1x−1÷x2−4x2−2x+1+1x+2，其中x=2−2．
16．船山实验中学为落实“1+3”体艺工作，为学生拓展视野，均衡发展，成立了5个选修课堂小组(每位学生只能参加一个活动小组)：A.音乐；B.体育；C.美术；D.影视赏析；E编程.为了解学生对以上选修课的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图(在条形图上方注明人数)；
③扇形统计图中圆心角α= ▲ 度；
（2）陈老师计划从B组(体育)的三名男生、一名女生中中随机抽取两人参加市田径竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中一名男生一名女生的概率.
17． 今有共买牛， 七家共出一百九十， 不足三百三十； 九家共出二百七十， 盈三十。问家数、牛价各几何?(选自《九章算术》)
题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱。家数、牛价各是多少?
18．如图，在□ABCD中， E、F分别是边AB，DC上的点，DE⊥AB，BF⊥CD．求证：BE＝DF．
19．如图，是由边长为1的小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在小正方形的顶点上，请用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.
（1）以格点为顶点， 作△ABC， 使. AB=5,AC=13,BC=4.
（2）在(1) 的基础上， 在线段BC上画一点G， 使∠CAG=45°.
20．（为了进一步加强中小学生对民族文化的认同感，光明中学组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x（单位：分），分数如下：
七年级10名学生竞赛成绩：75，83，79，89，79，83，95，70，64，83；
八年级10名学生竞赛成绩中分布在8015时，y与x的函数关系式；
（2）若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元?若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨?
22．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
（1）【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM,BN,MN的数量关系 ．
（2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MN的数量关系，并说明理由．
23． 如图，在△ABC中， ∠ACB=90°， AB=10， AC=8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动，设点P的运动时间为t(s)(t>0).
（1）若点P在 AC上，则AP= ， CP= （用含t的代数式表示）.
（2）若点P在∠BAC的平分线上（不与点A重合），求t的值.
（3）在整个运动过程中，直接写出当△PBC是等腰三角形时t的值.
24．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过B,C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方拋物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1,△ACE的面积为S2当S1S2最大值时，求点D的坐标及S1S2的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2．试探究直线PQ是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】−8
10．【答案】8
11．【答案】①③
12．【答案】y=−x+1
13．【答案】3
14．【答案】−13≤t≤27
15．【答案】解：（1）2sin30°−12−1+38+|1−3|
=2×12−2+2+3−1
=1−2+2+3−1
=3．
（2）1−1x−1÷x2−4x2−2x+1+1x+2
=x−1−1x−1÷(x−2)(x+2)(x−1)2+1x+2
=x−2x−1⋅(x−1)2(x−2)(x+2)+1x+2
=x−1x+2+1x+2
=xx+2
当x=2−2时，
原式=2−22−2+2
=2−22
=1−2．
16．【答案】（1）解：①200
②C组的人数：200−50−70−20−30=30（名），
补全条形统计图如下：
③54
（2）解：设三名男生用甲、乙、丙表示，女生用丁表示，根据题意，画出树状图如下：
共有12种等可能结果，其中恰好抽中一名男生一名女生的结果有6种，
∴恰好抽中一名男生一名女生的概率=612=12．
17．【答案】解：设家数是x，
根据题意，可列方程为：
x7×190+330=x9×270−30，
解这个方程，得：x=126.
因此，牛价=x7×190+330=1267×190+330=3750.
答：共有126家合伙买牛，牛价是3750钱.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AB∥CD
∴∠CDE+∠DEB=180°
∵ DE⊥AB，BF⊥CD
∴∠DEB=∠DFB =∠CDE =90°
∴四边形BFDE为矩形
∴BE=DF
19．【答案】（1）解：如图1中， △ABC即为所求；
（2）解：如图2中，点G即为所求.
20．【答案】（1）3；83；84.5
（2）解：320×5+110=192（人）
该校参加竞赛的八年级 320 名学生中， 竞赛成绩为“优秀”的人数是 192 人.
（3）解：八年级成绩更优秀
选择以下一个角度说明理由即可.
从众数来看： 因为 85>83， 所以八年级成绩更优秀；
从中位数来看， 七年级81 分处在年级中间水平； 从八年级来看， 81 分处在年级后半段， 所以八年级成绩更优秀；
从方差来看， 平均数相同的情况下， 八年级成绩更稳定， 所以八年级成绩更优秀.
21．【答案】（1）y=1.8x(0≤x≤15)2.4x−9(x>15)
（2）解：当x=10时，1027，
51=2.4−9，
解得x=25．
答：某用户十月份用水量为10吨，则应交水费18元．若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水25多少吨．
22．【答案】（1）MN=DM+BN
（2）解：MN=BN−DM．理由如下：
如图，在BC上取BE=MD，连接AE．
∵AB=AD，∠B=∠ADM=90°，
∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴AE=AM，∠BAE=∠DAM．
∵∠DAM+∠DAN=45°，
∴∠BAE+∠DAN=45°，
∴∠EAN=45°=∠MAN．
在△EAN和△MAN中，AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN ，
∴△EAN≌△MAN(SAS)，
∴EN=MN．
∵EN=BN−BE，
∴MN=BN−DM．
（3）解：MN=DM+BN．理由如下：
如图，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE，
∴∠B=∠ADE，AN=AE，BN=DE．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADE+∠ADC=180°，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得△EAN≌△NAM(SAS)，
∴MN=DM+DE=DM+BN．
23．【答案】（1）2t；8-2t
（2）解：点P在BC上时，
过点P作PE⊥AB， 则PC =2t﹣8， PB =14﹣2t
∵AP平分∠BAC
且PC⊥AC
∴PE = PC
在△ACP与△AEP中，
∠C=∠AEP∠CAP=∠EAPAP=AP
∴△ACP≌△AEP(AAS)
∴AE = AC =8
∴ BE =2
在Rt△PEB中，由勾股定理得： PE2+EB2=PB2
即： 2t−82+22=14−2t2
解得： t=163
答： 点P在∠BAC的平分线上时， t的值为163秒
（3）解： 由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，
①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，
∴此时CP=BC=6，
∴AP=AC-CP=8-6=2，
∴2t=2，
∴t=1；
②当点P在线段AB上时，若BC=BP，
则点P运动的长度为：
AC+BC+BP=8+6+6=20，
∴2t=20，
∴t=10；
若PC=BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP=2BH，
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，AC=8，
∴AB•CH=AC•BC，
∴10CH=8×6，
∴CH=245，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BH=3.6，
∴BP=7.2，
∴点P运动的长度为：AC+BC+BP=8+6+7.2=21.2，
∴2t=21.2，
∴t=10.6；
若PC=PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，
则BQ=CQ=0.5×BC=3，∠PQB=90°，
∴∠ACB=∠PQB=90°，
∴PQ∥AC，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ=0.5×AC=0.5×8=4，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=5，
点P运动的长度为：AC+BC+BP=8+6+5=19，
∴2t=19，
∴t=9.5．
综上，t的值为1或9.5或10或10.6．
24．【答案】（1）解：如图1，把x=0代入得：y=3，即C(0,3)，
把y=0代入y=−x+3得：−x+3=0，
解得：x=3，
即B(3,0)，
分把B(3,0)和C(0,3)代入抛物线解析式中：
−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
（2）解：如图，过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，过点D作y轴平行线交BC于点N．
令−x2+2x+3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，
∵DN∥MA，
∴∠AME=∠DNE,∠MAE=∠NDE
∴△DEN∽△AEM，
∴S1S2=DEAE=DNAM，
设D(t,−t2+2t+3)则N(t,−t+3)
∴DN=−t2+3t，
把x=−1代入y=−x+3中，得y=4，
∴MA=4，
∴S1S2=−t2+3t4=−14(t−32)2+916
∵−14