吉林省长春市第一零八学校2022-2023学年下第一次月考九年级数学试题

这是一份吉林省长春市第一零八学校2022-2023学年下第一次月考九年级数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春108中九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数中，与﹣1的和为正数的是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣3
2．（3分）国产C919飞机，全称COMAC919，是我国按照国际民航规章自行研制、具有自主知识产权的大型喷气式民用飞机，座级158﹣168座，最大航程达5555000m．数据5555000用科学记数法表示为（　　）
A．0.5555×107 B．5.555×106 C．55.55×105 D．5555×103
3．（3分）“学而不思则罔，思而不学则殆”体现了学习和思考的重要性．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种表面展开图，那么在原正方体中与“学”字相对面上的字是（　　）

A．不 B．思 C．则 D．罔
4．（3分）一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A．2x+6＞0 B．2x﹣6＜0 C．2x≥6 D．6﹣2x＜0
5．（3分）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°．当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．

A．55 B．65 C．75 D．80
6．（3分）如图，在⊙O中，弦BC∥OA，AC与OB相交于点M，∠OAC＝21°，则∠AOB的度数为（　　）

A．21° B．39° C．42° D．52°
7．（3分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（　　）


A．小亮、小明均正确 B．只有小明正确
C．只有小亮正确 D．小亮、小明均不正确
8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），点C在反比例函数图象的图象上，且∠ACB＝90°，若线段AC与y轴交于点D（0，1），则k的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分解因式：x2+2x＝　 　．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的值为 　 　．
11．（3分）我国古代数学名著《直指算法统宗》中有问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚每人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．则小和尚人数为 　 　．
12．（3分）如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知圆的半径是20米，圆周角∠C＝30°，则AB的长为 　 　米．

13．（3分）如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度AB＝a米，∠OAB＝70°，则点O到桥面的距离是 　 　米．

14．（3分）向空中发射一枚信号弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此信号弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则在 　 　秒时信号弹所在高度最高的．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（4+x）（4﹣x）+x（x+3），其中x＝﹣3．
16．（6分）如图，是一个迷宫示意图，嘉嘉和淇淇分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择可能会随机进入A，B，C三个房间中的某一个．
（1）嘉嘉进入A房间的概率为 　 　；
（2）请用画树状图或列表等方法，求出两人在走迷宫结束后，A房间至少有1个人的概率．

17．（6分）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，某施工队计划对一条长度为1200米的河道进行清淤施工，在完成了其中一段长度为240米的河道清淤后，由于清淤设备的升级，现每天完成清淤施工的河道长度是原计划的倍，因此，实际整个施工过程比原计划提前6天完成全部任务．该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为多少米？
18．（7分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图①中，画一个等腰直角三角形ABC，使线段AB为直角边；
（2）在图②中，画一个直角三角形ABD，使△ABD的面积为；
（3）在图③中，画一个直角三角形ABE，使．

19．（7分）已知：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE∥OD，DE∥OC．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AB＝4，，则cos∠DCE＝　 　．

20．（7分）世界环境日为每年的6月5日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了人类对美好环境的向往和追求．为积极响应政府号召，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，随机抽取80名学生的测试成绩（百分制，成绩取整数）并进行整理，数据分成6组，分别为40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．信息如下：
信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示：

信息2：在70≤x＜80这一组的成绩是（单位：分）
70 72 73 73 74 74 75 76 76 76 77 77 78 78 78 78 78 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为 　 　；
（2）这次测试成绩的平均数是74.3分，小颖的测试成绩是76分．小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生对以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识的掌握情况作出合理的评价．
21．（8分）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
（1）求总价y与购买水果质量x之间的函数表达式；
（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？

22．（9分）【初步探究】
（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M　 　△B'AN（“≌”或“∽”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 　 　．


23．（10分）如图，在矩形ABCD中，∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝6．点P从点B出发以每秒个单位长度的速度沿矩形对角线BD向终点D匀速运动，连结PA．作点B关于AP的对称点为B'，连结B'P、B'A．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段BD的长度为 　 　；
（2）当点B'落在△BCD的内部时，求t的取值范围；
（3）当A、B'、C三点共线时，求t的值；
（4）当AB'与矩形的对角线垂直时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（0，﹣2），且对称轴为直线x＝1，点M在此抛物线上，点M的横坐标为m，点M不与A重合，抛物线上点M与点A之间的部分（包括端点）记为图象G．
（1）求此抛物线所对应的函数表达式；
（2）当图象G的最大值与最小值差为1时，直接写出m的取值范围；
（3）图象G与直线y＝﹣2m+1有且只有一个交点时，求m的取值范围；
（4）连结AM，以AM为对角线构造矩形ABMC，AC∥BM∥x轴，CM∥y轴，矩形ABMC的边与抛物线的交点为点D（异于点A、M），点D关于CM的对称点是点E，当3DE＝CM时，直接写出m的值．

2022-2023学年吉林省长春108中九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1． 解：A、﹣1+0＝﹣1，和为负数，不符合题意；
B、﹣1+1＝0，和为0，不符合题意；
C、﹣1+2＝1，和为正数，符合题意；
D、﹣1+（﹣3）＝﹣4，和为负数，不符合题意；
故选：C．
2． 解：5555000＝5.55×106．
故选：B．
3． 解：由题意可知，在原正方体中与“学”字相对面上的字是“则”，
故选：C．
4． 解：由图可知，不等式的解集为：x＜3；
A、2x+6＞0，解得：x＞﹣3，不符合题意；
B、2x﹣6＜0，解得：x＜3，符合题意；
C、2x≥6，解得：x≥3，不符合题意；
D、6﹣2x＜0，解得：x＞3，不符合题意．
故选：B．
5． 解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，
∵∠BAC＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣55°＝65°，
∵要使AM与CB平行，则有∠ACB＝∠MAC，
∴∠MAC＝65°，故B正确．
故选：B．
6． 解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠OAC＝21°，
∴∠AOB＝2∠OAC＝42°．
故选：C．
7． 解：如图，PE＝PF，EC＝FC，PC＝PC，
∴△EPC≌△FPC（SSS），
∴∠EPC＝∠FPC；
∴小亮作图正确；
由作图可知PE＝PF，
∵C是线段PE，PF垂直平分线，
∴PC＝CE＝CF，
∴△EPC≌△FPC（SSS），
∴∠EPC＝∠FPC，
小明作图正确；

故选：A．

8． 解：如图所示过点C作CH⊥x轴垂足为H，过点C作CG⊥y轴垂足G，

∵在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），D（0，1），
∴OA＝2，OD＝1，AB＝4，OB＝2，
∴，
∴，
∴AC＝2BC，
∴在Rt△ABC中，，
∴，，
∴Rt△ABC的面积为：S△ABC＝•BC•AC＝＝
∵S△ABC＝AB•CH＝2CH，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵CG＝OH，
∴，
∵点C在反比例函数上，
∴k＝×＝；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9． 解：x2+2x＝x（x+2）．
故答案为：x（x+2）．
10． 解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4m＞0，
解得．
故答案为：．
11． 解：设有x个大和尚，y个小和尚，
根据题意得：，
解得：，
∴小和尚人数为75人．
故答案为：75人．
12． 解：连接AO，BO，
∵∠C＝∠AOB，∠C＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝20（米）．
故答案为：20．

13． 解：过点O作OD⊥AB，垂足为D，

∵大桥主塔是一个轴对称图形，
∴OA＝OB，
∵OD⊥AB，
∴（米），
∵，
∴OD＝AD×tan∠OAD，
∵∠OAB＝70°，
∴（米），
∴点O到桥面的距离是米．
故答案为：．
14． 解：∵此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．
故答案为：11．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15． 解：原式＝16﹣x2+x2+3x
＝16+3x；
当x＝﹣3时，原式＝16+3×（﹣3）＝7．
16． 解：（1）嘉嘉进入A房间的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下（其中，嘉嘉所在房间写在前面，淇淇所在房间写在后面）：
淇淇
嘉嘉
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
由表格可知，共有9种等可能性发生的结果，其中B房间至少有1个人的结果共有5种，
所以B房间至少有1个人的概率为：．
17． 解：设该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为x米，
根据题意得题意得：﹣﹣＝6，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
答：该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为40米．
18． 解：如图：

（1）等腰直角三角形ABC即为所求；
（2）等腰直角三角形ADC即为所求；
（3）直角三角形ABE即为所求．
19． （1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵DE∥OC，
∴∠DCE＝∠BDC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABO＝∠BDC，BO＝，∠AOB＝∠DOC＝90°，
∴cos∠DCE＝cos∠ABO＝＝，
故答案为：．
20． 解：（1）∵这组数据的总个数为80，
∴这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而第40、41个数据分别为77、78，
∴这组数据的中位数是＝77.5，
成绩低于70分的人数占测试人数的百分比为×100%＝35%，
故答案为：77.5，35%；
（2）小亮的说法错误，
因为小颖的测试成绩是76分，这组数据的中位数是77.5分，小颖成绩低于中位数，
所以小颖的成绩低于一班学生的成绩；
（3）成绩低于70分的人数占测试人数的百分比达到35%，
所以该校学生对以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识的掌握情况仍要加强（答案不唯一）．
21． 解：（1）根据图象可知，甲网店水果的试吃价：（30﹣20）÷5＝2（元/千克），
甲网店水果原价为（60﹣30）÷（8﹣5）＝10（元/千克），
∴甲网店y与x的函数关系式为y＝，
线下乙店的总价y与x的函数关系式为y＝8x；
（2）当0≤x≤5时，2x+20＜8x，
解得x＞，
∴＜x≤5时，甲网店省钱；
当x＞5时，10x﹣20＜8x，
解得x＜10，
∴5＜x＜10时，甲网店省钱；
综上所述，当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱．
22． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵矩形纸片ABCD如图①折叠，
∴∠EB'A＝∠B＝90°，
∴∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，
∵∠EMB'＝90°＝∠B'NA，
∴△EB'M∽△B'AN，
故答案为：∽；
（2）（1）中结论成立，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵矩形纸片ABCD如图①折叠，
∴∠EB'A＝∠B＝90°，
∴∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，
∵∠EMB'＝90°＝∠B'NA，
∴△EB'M∽△B'AN；
（3）如图所示，当∠DB'E＝90°时，△EB'D是直角三角形，

由折叠可得，∠PB'E＝∠B＝90°，BE＝B'E＝CE，
∴∠DB'P＝180°，即点P，B'，D在一条直线上，
在Rt△CDE和Rt△B'DE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△B'DE（HL），
∴B'D＝CD＝AB＝4，
设BP＝x＝B'P，则AP＝4﹣x，PD＝x+4，
在Rt△APD中，AP2+AD2＝PD2，
∴（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得x＝，
∴BP＝；
如图所示，当∠B'ED＝90°时，△EB'D是直角三角形，

过B'作B'H⊥AB于H，作B'Q⊥BC于Q，则∠B'QE＝∠C＝90°，
又∵∠B'ED＝90°，
∴∠B'EQ+∠CED＝90°＝∠EDC+∠CED，
∴∠B'EQ＝∠EDC，
∴△B'EQ∽△EDC，
∴＝＝，
∵CE＝BE＝BC＝3，CD＝4，
∴DE＝＝5，
∵△BPE沿PE折叠得到△B'PE，
∴B'E＝BE＝3，
∴＝＝，
解得B'Q＝，EQ＝，
∴BQ＝BE﹣EQ＝＝B'H，BH＝B'Q＝，
设BP＝y＝B'P，则HP＝BH﹣BP＝﹣y，
在Rt△B'PH中，HP2+B'H2＝B'P2，
∴（﹣y）2+（）2＝y2，
解得y＝1，
∴BP＝1．
综上所述，BP的长为或1．


23． 解：（1）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴BD＝，
故答案为：10；
（2）如图，当B'恰好在BD上时，
∵点B关于AP的对称点为B'，
∴AB＝AB'，AP⊥BB'，
∴S＝，
即6×8＝10AP，
∴AP＝，
∴BP＝，
∴t＝＝，
∴当点B'在△BCD内部时，0＜t＜；
（3）设AC，BD交于点O，过点A作AM⊥BD于M，过点B'作B'N⊥BD，于N，则AM∥B'N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD＝10，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝5，
同法（2）可得，AM＝，BM＝，
∴OM＝5﹣，
∵AB'＝AB＝6，A，B'C三点共线，
∴OB'＝6﹣5＝1，
∵AM∥B'N，
∴△AOM∽△B'ON，
∴，
∴B'N＝，ON＝，
设BP＝x，则B'P＝x，PN＝OB+ON﹣BP＝5+﹣x＝，
在Rt△B'NP中，B'P2＝B'N2+PN2，
∴x，
解得x＝，
∴BP＝，
∴t＝＝；
（4）①当AB'⊥BD时，设AB'与BD交于点E，
∵AB'⊥BD，
∴S，
即6×8＝10AE，
∴AE＝，
∴BE＝，
∵点B关于AP的对称点为B'，
∴AB'＝AB＝6，BP＝PB'，
∴B'E＝6﹣，
设BP＝PB'＝x，则PE＝BE﹣BP＝，
在Rt△B'EP中，B'P2＝B'E2+PE2，
∴x，
解得x＝2，
∴BP＝B'P＝2，
∴t＝；
②当AB'⊥AC时，则∠B'AC＝90°，
∵点B关于AP的对称点为B'，
∴∠BAP＝∠B'AP，
∵∠B'AC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAP+∠DAP＝∠B'AP+∠CAP＝90°，
∴∠DAP＝∠CAP，
即AP平分∠CAD，
如图，延长AP交CD于点Q，过点Q作QF⊥AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴QD⊥AD，QD∥AB，AC＝BD＝10，
∴QF＝DQ，
∴S，S，
∴，
即，
∴，
∴，
∴QD∥AB，
∴△APB∽△QPD，
∴，
∴，
∴PB＝，
∴t＝＝，
综上所述，当AB'与矩形的对角线垂直时，t的值为：或．




24． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）经过点A（0，﹣2），且对称轴为直线x＝1，
∴，解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴当x＝1时，y取得最小值：﹣3；当x＜1时，y随值的增大而减小，当x＜1时，y随x值的增大而减小；
①m＜0时，
当x＝m时，函数有最大值m2﹣2m﹣2，当x＝0时，函数有最小值：﹣2，
m2﹣2m﹣2﹣（﹣2）＝1，解得m1＝1﹣，m2＝1+（舍去）；
②0＜m≤1时，
x＝m时，函数有最小值m2﹣2m﹣2，x＝0时，函数有最大值﹣2，
（﹣2）﹣m2+2m+2＝1，解得m＝1；
m＞1时，
x＝1时，函数有最小值﹣3，由题意，得：函数的最大值﹣3+1＝﹣2，
A（0，﹣2），
∴A关于对称轴的对称点为（2，﹣2）；
1＜m≤2时，满足图G的最大值与最小值差为1；
综上所述1≤m≤2m＝1﹣；
（3）图G与直y＝﹣2m+1有且只有一个交点，
m＜0时：

则﹣2≤﹣2m+1≤m2﹣2m﹣2，解得m≤﹣；
m≤﹣；
0＜m＜2时，

则m2﹣2m﹣2＜﹣2m+1≤﹣2，解得≤m＜，
≤m＜；
③m≥2时，

﹣2m≤﹣4﹣2m+1≤﹣3，
∴直线与图G没有交点，不符合题意；
综上所述m≤﹣≤m＜；
（4）①m＞0且M在A上方时，如图所示，

A（0，﹣2），M（m，m2﹣2m﹣2AC∥BM∥x轴CM∥y轴，矩ABMC的边与抛物线的交点为D，
C（m，﹣2），D（2，﹣2），
CD＝m﹣2，CM＝m2﹣2m﹣2+2＝m2﹣2m
D，E关CM对称，
∴DE＝2CD＝2m﹣4，
3DE＝CM，即3（2m﹣4）＝m2﹣2m，
解得m＝6m＝2（不合题意，舍去）；
②m＞0且M在A下方时，如图所示，

A（0，﹣2），M（m，m2﹣2m﹣2）AC∥BM∥x轴CM∥y轴，
C（m，﹣2），
由图可知D，M关于抛物线的对称轴对称，
D（2﹣m，m2﹣2m﹣2），
MD＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，CM＝2﹣m2+2m+2＝﹣m2+2m
D，E关CM对称，
DE＝2MD＝4m﹣4，
3DE＝CM，即3（4m﹣4）＝﹣m2+2m，
解得m＝﹣5+（不合题意，舍去）；
③m＜0时，M在A上方，如图所示，

矩形的边与抛物线没有A，M之外的交点，不符合题意；
综上所述：符合条件M的值为6．