山东省烟台市2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份山东省烟台市2025-2026学年高二上学期期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列：13，−15，17，−19，⋯的一个通项公式为( )
A. −12n+1B. 12n+1C. (−1)n2n+1D. (−1)n+12n+1
2.已知{an}是等差数列，且a1=2，a2+a8=12，则其前5项和为( )
A. 20B. 24C. 36D. 48
3.双曲线x24−y23=1的焦点到其渐近线的距离为( )
A. 3B. 2C. 3D. 4
4.已知{an}是等比数列，且a3，a7是方程x2+12x+8=0的两个不同实根，则a2a8a5的值为( )
A. ±2 3B. ±2 2C. 2 2D. −2 2
5.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，其短轴长为4，离心率为 53，过点F2的直线交C于A，B两点，则△ABF1的周长为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
6.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，过C上的一点M作x轴的垂线，交C的准线于点P，若直线PF的方程为2x+3y−3=0，则|MF|=( )
A. 94B. 114C. 134D. 174
7.某牧场2020年年初牛的存栏数为1100，以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，则该牧场2027年年初牛的存栏数为(精确到1，参考数据：1.16≈1.772)( )
A. 1177B. 1195C. 1214D. 1236
8.已知双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若AB=BF1，且cs∠BAF1=14，则Γ的渐近线方程为( )
A. y=± 2xB. y=± 3xC. y=±2xD. y=±3x
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C:x2m+2−y2m+1=1(m∈R)，则下列说法正确的有( )
A. 曲线C可能是圆
B. 曲线C可能是等轴双曲线
C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则−320,b>0)的一条渐近线，且Γ经过点(1,0)．
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)若经过Γ右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且|AB|=6，求直线AB的方程．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=1，a2=8，an+2=3an+1−2an−5，n∈N∗．
(1)证明{an+1−an−5}为等比数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=n(an−5n+6)，求数列{bn}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知an是等差数列，a1+a4=5,a5−a3=2，数列bn的前n项和为Sn，且b1=3,2Sn=bn+1−3,n∈N∗．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)令cn=(−1)n(4n+1)bnanan+1，求数列cn的前n项和Tn；
(3)若集合P=n∈N∗∣tbnb>0)的离心率相同，且E2经过点 3, 22．
(1)求椭圆E2的方程；
(2)设P为椭圆E2上的一动点，过点P作椭圆E1的两条切线分别与E2交于A，B两点．
(i)若直线PA，PB的斜率均存在且分别为k1,k2，问：k1⋅k2是否为定值？若是，求出该定值，否则，说明理由；
(ii)设Q为椭圆E2上的一动点(异于P，A)，求△APQ面积的最大值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.ACD
10.ACD
11.ABD
12.2
13.3x−2y+4=0
14.12n+1−1；12
15.解：(1)由题意可知，点P到点A(1,0)的距离与它到直线x=−1的距离相等，
所以点P的轨迹是以O为顶点、以A(1,0)为焦点的抛物线，
设该抛物线的方程为y2=2px(p>0)，
则p2=1，即p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x．
(2)M，A，N三点共线，理由如下：
设E(−2,m)，F(−2,n)，
由OE⊥OF，可得OE⋅OF=4+mn=0，故mn=−4，
由题意可得点M的坐标为m24,m，点N的坐标为n24,n，
AM=m24−1,m，AN=n24−1,n，
显然AM≠0，AN≠0，
因为m24−1n−mn24−1=m2n4−n−mn24+m
=(m−n)mn4+1=0，
所以AM//AN，
又因为A为AM与AN的公共点，
故M,A,N三点共线．
16.解：(1)由题意ba= 3，且a=1，
解得b= 3，
所以Γ的方程为x2−y23=1．
(2)由(1)知F(2,0)，设Ax1,y1,Bx2,y2，
法一：当直线AB的斜率为零时，|AB|=2a=2，不合题意，舍去．
当直线AB的斜率不为零时，设其方程为lAB:x=my+2，
联立x2−y23=1x=my+2，整理得，3m2−1y2+12my+9=0，
Δ=(12m)2−363m2−1=36m2+1>0，
y1+y2=−12m3m2−1,y1y2=93m2−1，
所以AB= 1+m2y1−y2= 1+m2 y1+y22−4y1y2
= 1+m26 1+m23m2−1=61+m23m2−1,
又|AB|=6，所以1+m23m2−1=1，解得m=0，或m=±1，
综上，直线AB的方程为：x−2=0或x+y−2=0或x−y−2=0．
法二：当直线AB的斜率不存在时，联立x2−y23=1x=2，解得y=±3，
此时|AB|=6，直线x−2=0符合题意．
当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则lAB:y=k(x−2)，
联立x2−y23=1y=k(x−2)，整理得，3−k2x2+4k2x−4k2−3=0，
Δ=4k22+43−k24k2+3=36k2+1>0，
x1+x2=−4k23−k2,x1x2=−4k2−33−k2，
所以AB= 1+k2x1−x2= 1+k2 x1+x22−4x1x2
= 1+k26 1+k23−k2=61+k23−k2，
又|AB|=6，所以1+k23−k2=1，解得k=±1，
此时，直线AB的方程为：x±y−2=0．
综上，直线AB的方程为：x−2=0或x+y−2=0或x−y−2=0．

17.解：(1)由题意a2−a1−5=8−1−5=2≠0，
又an+2−an+1−5an+1−an−5=(3an+1−2an−5)−an+1−5an+1−an−5=2an+1−2an−10an+1−an−5=2，
所以，数列{an+1−an−5}是以2为首项、2为公比的等比数列．
所以an+1−an−5=2×2n−1=2n，
因为a2−a1−5=2，a3−a2−5=22，a4−a3−5=23，⋯，an−an−1−5=2n−1，
将上述等式相加，得an−a1−5(n−1)=2−2n1−2=2n−2，
所以an=2n+5n−6．
(2)由已知bn=n(an−5n+6)=n⋅2n，所以Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
2Sn= 1×21+2×22+⋯+(n−1)2n+n⋅2n+1，
所以−Sn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=2−2n+11−2−n⋅2n+1=−2+(1−n)2n+1，
所以Sn=(n−1)2n+1+2．
18.解：(1)设等差数列an的公差为d，
由题意可得：a1+a4=2a1+3d=5, a5−a3=2d=2，
解得a1=1,d=1，所以an=n．
因为2Sn=bn+1−3，所以2Sn−1=bn−3(n≥2)，
两式相减得2bn=bn+1−bn，即bn+1bn=3(n≥2)，
当n=1时，2b1=b2−3=6，则b2=9，所以b2b1=3，符合上式．
所以，数列bn是以3为首项、3为公比的等比数列，所以bn=3n．
(2)由(1)得，
cn=(−1)n(4n+1)bnanan+1=(−1)n(4n+1)⋅3nn(n+1)=(−1)n3nn+3n+1n+1，
Tn=−311−322+322+333−333−344+⋯+(−1)n3nn+(−1)n3n+1n+1
=−3+(−1)n3n+1n+1．
(3)由(1)可知：i=1nai=n(1+n)2=n2+n2，
若tbn