山东省烟台市2024-2025学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共5页。
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸､试题卷上答题无效．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知椭圆一个焦点的坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 5
3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 52B. 104C. 112D. 120
4. 已知分别为椭圆左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（ ）
A. B. 8C. D. 16
5. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若过点的直线与双曲线相交于两点，且关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（ ）
A. 当时，该曲线为椭圆
B. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线
C. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线
10. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B.
C. 为递减数列D.
11. 已知为抛物线上一点，为焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（ ）
A 若，则
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 点到直线与到直线的距离之和的最小值为2
D. 若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，到轴距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________．
13. 已知为等比数列的前项和，且，则的值为__________．
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为__________；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，且，求．
17. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
18. 已知双曲线的离心率为2，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点），
①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标；
②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：．
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
（3）记，证明：．