浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】因为
.
故选：A.
2. 已知，，且，的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的减法运算可得，平方后结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意得，所以
，
故，
故选：D
3. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】先将写成的形式，根据函数的图像“左加右减”的原则，比较前后变化即得平移变换的方向与长度.
【详解】因，将函数的图象向右平移个单位长度即得函数的图像.
故选：A.
4. 已知，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据进行求解，得到答案.
【详解】因为，，
所以在上的投影向量为.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由展开求的值，再将展开后构造齐次式，将其转化成正切的式子代入求解即得.
【详解】由可得：，解得：，
因，
，
故.
故选：C.
6. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系，二倍角的正弦、余弦公式，结合特殊角的三角函数，化简后即可比较大小.
【详解】因为，
，
所以，即，
故选：B.
7. 在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
8. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案.
【详解】由题意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故选：D
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可.
二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 相位为
B. 对称中心为，
C. 函数的单调递减区间是，
D. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象
【答案】AD
【解析】
【分析】求解正弦型函数的对称轴，对称中心及单调性时，一般都要把相位看成整体，再利用正弦函数在一个周期上的相关性质解决；对于图象平移伸缩变换，要弄清对图像的影响即得.
【详解】对于A选项，根据简谐运动的相关定义可知即相位，故A项正确；
对于B选项，对于函数，由可得：
即其对称中心为，故B项错误；
对于C选项，由可得：，
即函数的单调递减区间应是，故C项错误；
对于D选项，将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，故D项正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B. ，则存在唯一实数，使得
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 中，，，则为等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基底的定义可判断选项A；利用向量共线定理可判断选项B；利用数量积的定义可判断选项C、D.
【详解】由，为平面内两个不共线的向量，
所以设，所以，则不存在，
所以与不共线，则可作为平面的一组基底，故A对；
只有当时，若，则存在唯一实数，使得，故B错；
因为两个非零向量，，设与夹角为，
由，平方得，
，所以，又，所以，则与共线且反向，
故C对；
在中，，所以，，所以，
由，得，即，则为等边三角形，故D对.
故选：ACD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 为偶函数
C. 的图象关于对称D. 的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】通过与的关系即可判断项;通过与的关系即可判断项;通过化简与2的关系即可判断项;令则通过讨论的单调性,结合最值,即可得出值域,从而判断项.
【详解】对于,故错误;
对于由得,的定义域为
且是偶函数,故正确;
对于不是定值,故错误；
对于
令则
当时,单调递减；
当时,单调递增.
又
当时,当时,的值域为,
即的值域为,故正确.
故选:.
12. 已知函数，若（）有个零点，记为，，…，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】作出函数的图象，将函数零点问题转化为图象的交点问题，数形结合，可判断A；确定的取值范围，利用基本不等式可判断B；确定的取值范围，结合不等式性质可判断C；结合正弦函数图象的对称性，可判断D.
【详解】将函数的图象沿y轴对称并将x轴下方部分翻折到x轴上方，
即可得到的图象；
对于，最小正周期为，
故上有4个周期，令,
则可得的对称轴为；
由此作出函数的图象，如图：
则（）零点问题即为的图象与直线的交点问题，
由图象可知，当时，的图象与直线有1个交点，不合题意；
当时，的图象与直线有5个交点，不合题意；
当时，的图象与直线有9个交点，不合题意；
当，即时，的图象与直线有10个交点，符合题意，A正确；
由题意可知，满足，
则，即，
，，即，
即，B正确；
当时，或，
即或；
结合图象知，故，C错误；
由图象可知的图象与直线有10个交点，即，
且关于直线对称，故，
同理得，
，
故
，D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，因此要熟练应用函数图象，数形结合，求解问题，解答时要注意三角函数的性质的应用，特别是正弦函数的对称轴问题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知一个扇形的面积和弧长均为，则该扇形的圆心角为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意求出扇形的半径，结合圆心角弧度的计算，即得答案.
【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，由于一个扇形的面积和弧长均为，
则，
故该扇形的圆心角为，
故答案为：
14. 设，为两个单位向量，且，若与垂直，则______.
【答案】##-0.4
【解析】
【分析】根据向量与垂直可得，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直，
故，即，
故，解得，
故答案为：
15. 已知，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据角的范围，确定的范围，结合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】由于，故，结合，
可得，
则，
，
所以
；
故答案为：
16. 函数（，），设为函数的最小正周期，，且函数在上单调，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式化简可得，结合求出参数，再分类讨论函数的单调性，列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
由于，即，
结合，可得，
故在上单调，
若在上单调递增，
则，即，，
需满足，
而，故时，；
若在上单调递减，
则，即，，
需满足，
而，故时，；
故的取值范围为为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答时由题意可求出，因此解答的关键在于要根据函数的单调性，分类讨论，列出相应的不等式组，求出的范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. 单位向量，满足.
（1）求与夹角的余弦值：
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；
（2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
因为，，
所以，即，则，
则，即与夹角的余弦值.
【小问2详解】
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，即，
由（1）知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数取值范围为.
18. 已知
（1）化简；
（2）若，且满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式直接化简即可；
（2）解出或，再利用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简代入计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
，解得或，即或，
，
当时，且，有，解得，
此时；
当时，且，有，解得，
此时；
综上.
19. 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.
（1）当，时，求张角的正切值；
（2）当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用.
【答案】（1）-3 （2），
【解析】
【分析】（1）设，求出，求出，根据三角函数诱导公式以及两角和的正切公式，即可求得答案；
（2）当时，，从而求出的表达式，即可求得总费用的表达式，利用三角换元，结合函数的单调性，即可求解得答案.
【小问1详解】
设为锐角，则;
设，则，
故
；
【小问2详解】
当时，，
故，
设修建，的总费用为y，则，
设，则，则，
故，
由于在上单调递增，故，时取得等号，
故的最小值为，
此时，即，
故当时，修建，的总费用最少，最少为.
20. 已知向量，，.
（1）求的最大值，并求此时的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算，求出模，表示为函数，求最值即可.
（2）利用坐标运算得到乘积，转化为函数合理求值即可.
【小问1详解】
当时，最大，此时，
【小问2详解】
，设，易知是第一象限角，故原式转化为，结合正弦函数性质得在上单调递增，
当时，，易知是第一象限角，故，，
当时，，，
故，即，
21. 如图是函数的部分图象,其中,.其中为图象最高点,为图象与轴的交点,且为等腰直角三角形,,______.（从下面三个条件中任选一个,补充在橫线处并解答）
①；②是奇函数；③
（1）求函数的解析式；
（2）设,不等式对于恒成立,求的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件和图像,可得与的值.若选①,根据正弦型图像的对称轴可求得的值；若选②,根据正弦型图像的奇偶性可求得的值；若选③,通过代入法结合图像可求得的值,从而得到函数的解析式.
（2）由（1）得题意转化为对于恒成立,利用换元法,令则对恒成立,分离参数,再结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
为等腰直角三角形,
且又
则.
若选①,由,得函数的图像关于直线对称,
则
故函数的解析式为
若选②,是奇函数,
故函数解析式为
若选③,则,结合图像和
故函数解析式为
【小问2详解】
由（1）得
对于恒成立.
令则对恒成立,
令则在时单调递增,
即,
故的取值范围为
【点睛】本题考查函数恒成立问题,考查转化思想和函数思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
22. 函数，最大值为，最小值为.
（1）设，求；
（2）设，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】22.
23.
【解析】
【分析】（1）用换元法转化成二次函数的值域问题求解.
（2）把问题转化成，恒成立，再化为最值问题，讨论求解.
【小问1详解】
,
设，则，.
则.
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，;
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，；
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，；
当时，函数在上递减，在上递增.
此时，，.
综上：.
【小问2详解】
恒成立可化为，恒成立.
①当时，，，
所以且，
解得：；
②当时，，，
故且
解得：；
③当时，，，
故且，
解得：;
当时，，，
故且，
解得：
综上所述：.