广东省广州市第一一三中学2024~2025学年下学期八年级期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市第一一三中学2024~2025学年下学期八年级期中考试数学试卷（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上．
2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．
一、选择题（本题有10个小题，每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 下列各式中为二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式，把形如的式子叫二次根式，据此判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是二次根式，该选项符合题意；
、无意义，该选项不符合题意；
、不是二次根式，该选项不符合题意；
、是整数，属于整式，该选项不符合题意；
故选：．
2. 下列四组数中，不是勾股数是（ ）
A. 3，4，5B. 9，12，15C. 5，6，7D. 7，24，25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
C、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
D、由可知，7，24，25是勾股数，不符合题意；
故选：C．
3. 如图，在平行四边形中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
，
．
故选：A．
4. 已知四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不能用作判定该四边形是平行四边形条件的是（ ）
A. AB=CDB. AC=BDC. AD//BCD. OA=OC
【答案】B
【解析】
【详解】A． AB=CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B． AC=BD，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形；
C． AD//BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
D． OA=OC，通过证明两个三角形全等，得出AB=CD，可以得出平行四边形．
故选B．
5. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
6. 一个三角形的三边长分别为9，12，15，则它的面积为（ ）
A. 135B. 90C. 108D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，进而求出其面积．
【详解】∵92+122=225=152，
∴三边长分别为9，12，15的三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：9×12=54．
故选D．
【点睛】考查了勾股定定理的逆定理以及直角三角形面积求法，正确应用勾股定理的逆定理是解题关键．
7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，故可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点E是的中点，，
∴，
故选：D．
8. 在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出、的值，再求出答案即可．
【详解】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出，是解此题的关键．
9. 若二次根式，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握．
根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可．
详解】解：，
而，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
10. 如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是．
【详解】解：连接，如图，

沿翻折至，
，
，，
，
当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，
四边形是矩形，
，
，，
，
长度最小值，
设，则，
，
，
，
，
解得，，
的面积是，
故选：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．
二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）
11. 若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为__________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长．
【详解】解：由题意得：斜边长，
故答案为：13．
12. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴
故答案为： ．
14. 若与最简二次根式能合并，则m的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式；
先把化成最简二次根式，再根据合并同类二次根式的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，与最简二次根式能合并，
∴，
∴，
故答案为：4．
15. 如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答．
【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H，
∵矩形中，为边的中点，，
∴，，
∵将沿翻折，点的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
16. 计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先计算二次根式的除法，然后再计算二次根式的乘法即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二次根式运算法则是解题的关键．
17. 如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
18. 一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是，求这支铅笔的长度是多少？
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中：由勾股定理计算出的长度即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：，
在中：由勾股定理得，
∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是，
∴这支铅笔的长度是．
19. 已知是实数，且满足．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值；
（2）将x，y的值代入计算即可
【小问1详解】
是实数，且满足，
解得
∴；
【小问2详解】
当，时，
；
20. 如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，二次根式的运算，解一元一次方程等知识点，正确应用直角三角形的性质是解题关键．利用直角三角形面积求法即可得出答案．
【详解】解：是斜边上的高，
为直角三角形，，
，
，解得：．
四、综合题（本大题共3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
21. 如图，在中，，，边上的高为12，点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点Q从点B出发沿以每秒10个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t（秒），连接．
（1）当点Q与点C重合时，t的值为______．
（2）直接写出的长（用含t的代数式表示）；
（3）当平分面积时，求t的值；
（4）多选题（正确答案不止一个）：当时，t的值可以是（ ）
A．2 B． C． D．8
【答案】（1）6 （2）
（3）4或12 （4）ACD
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确分情况讨论是解题关键．
（1）根据当点与点重合时，，由此建立方程，解方程即可得；
（2）先求出，再分两种情况：①和②，根据点的运动速度和求解即可得；
（3）先求出的面积，再分三种情况：①，②和③，利用梯形的面积公式和平行四边形的性质求解即可得；
（4）分三种情况：①当点沿运动时，②当点沿运动，且是钝角时，③当点沿运动，且是锐角时，过点作于点，过点作于点，先求出的长，再根据线段和差建立方程，解方程即可得．
【小问1详解】
解：当点与点重合时，则，
解得，
故答案：6．
【小问2详解】
解：∵在中，，
∴，
由题意可知，点从点出发运动到点所需时间为秒；当点从点出发运动到点所需时间为秒，从点出发运动到点所需时间为秒，
∴，
①当时，；
②当时，；
综上，．
【小问3详解】
解：∵在中，，边上的高为12，
∴的面积为，
①当时，，
则，
解得，符合题设；
②当时，，
则，
解得，不符合题设，舍去；
③当时，点与点重合，点与点重合，
则恰好是的对角线，平分面积，符合题意；
综上，的值为4或12．
【小问4详解】
解：分以下三种情况：
①当点沿运动时，，
如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，且，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得；
②当点沿运动，且是钝角时，，
如图，过点作于点，过点作于点，
同理可得：，，，
∵，
∴，
解得；
③当点沿运动，且是锐角时，，
如图，过点作于点，过点作于点，
同理可得：，，，
∵，
∴，
解得；
综上，的值可以是2或或8，
故选：ACD．
22. 【观察思考】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
……
【规律发现】
（1）①直接写出第4个等式： ；
②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ．
【规律证明】
（2）证明②中的运算规律．
【规律应用】
（3）根据上述规律，化简：．
【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可；
②利用前面规律写出第个等式，
（2）根据二次根式的性质证明即可；
（3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①
故答案为：．
②
故答案为：．
（2）证明：等式左边
又，
右边，
等式成立
（3）原式
23. 如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，过点作，交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，求证：四边形是菱形；
（3）如图3，在（2）条件下，作平分，交于点，请写出线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见详解
（2）证明见详解 （3）线段之间的数量关系为．证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据，可得，，再根据平行线的性质可得，从而，即可证明．
（2）．根据平行线和全等三角形的性质，可得，再根据等角对等边，可得，加上，即可证明四边形是平行四边形，从而证明四边形是菱形．
（3）根据平分，，易得，再根据可证明，从而得出，，即可得到为等腰直角三角形，根据勾股定理可得．
【小问1详解】
证明：由题意得，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【小问3详解】
线段之间的数量关系为．
证明：连接，如图所示：
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∴线段之间的数量关系为．