广东省广州市第一一三中学2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省广州市第一一三中学2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共13页。
第Ⅰ卷（共80分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上．
2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各数中，16的算术平方根为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：16的算术平方根为4，
故选：B．
2. 下列各点中，在第三象限的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点即可解答．
【详解】解：∵第三象限的点的坐标特点是横纵坐标均小于0，
∴结合四个选项中只有符合条件．
故选：C．
3. 下列实数、0、，中，无理数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：、0、是有理数，
是无理数，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
4. 如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、不能判定，该选项不合题意；
、不能判定，该选项不合题意；
、∵，
∴，不能判定，该选项不合题意；
、∵，
∴，该选项符合题意；
故选：．
5. 下列命题中是假命题的是（ ）．
A. 等角的补角相等B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 对顶角相等D. 同位角相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据等角的补角，平行线的性质，对顶角的性质，进行判断．
【详解】A. 等角的补角相等，是真命题，不符合题意；
B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
C. 对顶角相等，是真命题，不符合题意；
D. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质及补角的定义等知识．
6. 若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A 1B. 5C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程．把代入关于x，y的方程得到关于a的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x，y的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
7. 如图，这是一所学校部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，实验楼位置的坐标是，则图书馆位置的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：图书馆位置的坐标是．
故选：D．
8. 如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
（14-3）×6
=11×6
=66（m2），
∴绿化区的面积是66 m2，
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
9. 在平面直角坐标系中，点M坐标为，若轴，且线段，则点N坐标为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴，则的纵坐标与的纵坐标相等，根据，即可确定点N坐标．
【详解】解：∵点M坐标为，轴，
∴N坐标为或
故选C
【点睛】本题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知与x轴平行的点纵坐标都相等．
10. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第n次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案.
【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下，

由图中可知，，，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了规律探究性问题，解题的关键在于寻找循环数值，得出规律.
二、填空题（每题3分，共15分）
11 比较大小：3_____（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，直线a、b相交，∠1=36度，则∠2=________度．
【答案】144
【解析】
【分析】根据邻补角的定义即可解答.
【详解】解：∵直线a、b相交，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=36°，
∴∠2=180°－36°=144°.
故答案为144.
13. 如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．
【详解】∵
∴他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
14. 如图，正方形的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点在数轴上，且在点A的左侧，，则点表示的数是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查实数与无理数，求一个数的算术平方根，正方形的面积，先根据正方形的面积公式求得，再根据数轴上两点距离求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为7，
∴正方形的边长为，
∵，点A与数轴上表示数1的点重合，
∴点表示的数是，
故答案为：．
15. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明______将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
【答案】不能
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的运用，理解题意，掌握算术平方根的计算是关键．
运用算术平方根得到正方形的边长为，平方根的计算得到长方形的长为，根据无理数的估算得到，由此即可求解．
【详解】解：面积为的正方形的边长为，
长、宽之比为，面积为的长方形，
设长为，宽为，
∴，则，
∵，
解得，（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，即，
∴，
∴，
∴贺卡不折叠就不能放入此信封，
故答案为：不能 ．
三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16. 解方程（组）
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查平方根，加减消元法求二元一次方程组的解，掌握其计算方法是关键．
（1）根据平方根的计算求方程的解；
（2）运用加减消元法求二元一次方程即可．
【小问1详解】
解：
，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，
①②得，，
整理得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为．
17. 如图，两直线、相交于点，平分，如果，

（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先依据，可求得、的度数，然后可求得的度数，依据角平分线的定义可求得的度数，最后可求得的度数；
（2）先求得的度数，然后依据邻补角的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
，．
．
∵平分，
，
．
【小问2详解】
解：∵，，
，
．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义、对顶角、邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点．
18. （1）计算：；
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
【答案】（1）；（2）的平方根是．
【解析】
【分析】本题考查了立方根和平方根、算术平方根的综合应用，
（1）根据绝对值、立方根和算术平方根的性质化简，再计算加减即可；
（2）根据立方根和算术平方根的性质，联立得到二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵的算术平方根是3，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
联立得，
解得：，
∴，
∴的平方根是．
19. 在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，
（1）把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的；
（2）内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标______；
（3）若点，求的面积．
【答案】（1）画图见解析
（2）
（3）的面积为
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移变换，坐标与图形，求三角形的面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据平移找出的对应点，然后连接各点即可；
（）根据平移的性质求解即可；
（）先描出点，由坐标系可知，然后用三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可；
∴即为所求；
【小问2详解】
解：内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标为；
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，
由网格可知，
∴的面积为．
20. 问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）127
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
（1）如图2：过点作，易得，根据平行线的性质最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论；
（2）如图2：过点作，易得，根据平行线的性质，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论；
（3）如图3：过点C作，则，进而得到，再由（1）的结论解答即可．
【小问1详解】
证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
【小问2详解】
证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
第Ⅱ卷（共40分）
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21. 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为______；的“青一区间”为______；
（2）实数，满足关系式：，求的“青一区间”．
（3）多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．
在（2）的条件下描述，正确的答案是（ ）
A．是有理数 B． C． D．
（4）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
【答案】（1），
（2）的“青一区间”为；
（3）BC （4）或．
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键．
（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可；
（2）利用非负性求出x，y值，再进行求解即可；
（3）对进行判断，可判断BC正确；
（4）根据题意求得且，推出，求得或，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，是无理数，选项A说法错误；
∵，
∴，选项B说法正确；
∵，
∴，选项C说法正确；
∵，
∴，选项D说法错误；
故选：BC；
【小问4详解】
解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴，
∵的“青一区间”为，
∴，即，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或．
22 如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且．
（1）当时，__________°．
（2）判断是否平分，并说明理由．
（3）如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）35 （2）平分，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得出，结合题意即可推出，即得出；
（2）由（1）即可说明平分；
（3）由平行线的性质可得出，．再根据角平分线的定义即得出，即得出．又易求，结合，可求出．由，得，即得出，即推出．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：35；
【小问2详解】
由（1）可知，即平分；
【小问3详解】
，证明如下，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的判定和性质，垂线的定义．熟练掌握平行线的性质并结合角的和差关系进行推算是解题关键．
23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．
（1）若，求线段的长度；
（2）若且．
①当点在直线上时，求的值；
②当点不在直线上时，连接，，记的面积为，若，求的值．
【答案】（1）2 （2）①，②或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
（1）先求出A、B两点的坐标即可得到答案；
（2）①根据列式求解即可；②分点A在上方根据列式求解即可，分点A在下方，根据列式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴；
【小问2详解】
①如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵A在直线上，

∴，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，，，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②如图所示，当点A在上方时，，过点A作轴于C，过点B作轴于D，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
如图，当点A在下方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．