广东省东莞市东晋实验学校九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市东晋实验学校九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了全卷共4页，考生务必保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用错笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各题的四个选项中，只有一项是最符合题意要求的答案．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. 下列运动形式属于旋转的是（ ）
A. 荡秋千B. 飞驰的火车C. 传送带移动D. 运动员掷出的标枪
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的定义，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．
根据旋转的定义得出结论即可．
【详解】由题意知，荡秋千属于旋转，
故选：A．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
3. 将抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：由函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，
所以抛物线向右平移2个单位，得到的抛物线为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟记平移规则：左加右减，上加下减是解题的关键．
4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意知，，
，
∴，
故选：D．
5. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ）度．
A. 60B. 120C. 180D. 270
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为120．
故选：B
6. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是解题的关键；因此此题可根据公式法进行求解．
【详解】解：由一元二次方程的求根公式，结合，可知：；
∴这个一元二次方程可以是；
故选D．
7. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 图象的对称轴是直线
C. 图象有最高点D. 时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴抛物线开口向上，该选项说法错误，不合题意；
、∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，该选项说法错误，不合题意；
、∵抛物线开口向上，
∴抛物线有最低点，该选项说法错误，不合题意；
、∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴时，随的增大而增大，该选项说法正确，符合题意；
故选：．
8. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m．
A. 6B. 45C. 35D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值．
【详解】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故选：B
9. 下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ）
A. 1.07B. 1.17C. 1.27D. 1.37
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定抛物线与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根(由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的)．
【详解】解：由表可知当时，，
当时，，
抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点，
方程的一个根的近似值约为，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于两点，若，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 4C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意，由，该方程有两个相等的实数根，则，设点M到直线l的距离为m，则，由题意知，，、是该方程的两个根，则，，由，可得，即，，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意，令时，
∴．
∵抛物线与轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
又设点M到直线l的距离为m，
∴，
令时，
∴，
又∵是该方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，即，
∴．
∴，即，
∴点M到直线l的距离为9，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题5题，每小题3分，共15分）
11. 二次函数的顶点坐标为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点解析式即可确定二次函数的顶点坐标．
【详解】解：由顶点式可知的顶点为．
故答案为：．
12. 已知方程的一个根是1，则它的另一个根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设它的另一个根是t，利用一元二次方程根与系数的关系，列式求解即可．
【详解】解：∵1是方程的一个根，设它的另一个根是t，
则，
∴．
即方程的另一个根是2，
故答案为：2．
13. 抛物线和轴有公共点，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线和轴有公共点，
∴，
∴，
又∵，
∴k的取值范围是且；
故答案为：且．
14. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据一次函数与二次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象分别交于点，，
∴不等式成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的的取值即为不等式的解，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
15. 如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，，则旋转后点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据中，，可得，再由绕原点O顺时针旋转，得到，即可求出旋转后点C的坐标．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∵绕原点O顺时针旋转，得到，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 已知抛物线．
（1）求其对称轴和顶点坐标；
（2）若，在此抛物线上，比较的大小．
【答案】（1）直线，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线的顶点式和抛物线的性质．
（1）利用配方法将抛物线解析式化成顶点式即可得解；
（2）由抛物线的性质解答即可．
【小问1详解】
解：，
即，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
【小问2详解】
解：∵抛物线对称轴方程为，，，
∴，
∴A，B在对称轴的右侧，
∵，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵，
∴．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，．
（1）画出将绕点逆时针方向旋转后得；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，勾股定理等知识．
（1）利用旋转变换性质分别求出A，B，C的对应点，，，然后连线即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，连接，
由勾股定理可得：．
18. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，小宇此次实心球训练的成绩为多少米．
【答案】10米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出当时的x值即可求解．
【详解】解：对于，
令，由得，（舍去），
∴小宇此次实心球训练的成绩为10米．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围．
（2）若等腰三角形的其中一边为3，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】（1）
（2）3或4
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式，即可求出m的取值范围；
（2）分3为腰与3为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：若3是腰，则为已知方程的解，
将代入方程得：，
解得：，
即方程为，
解得：或，
此时三角形三边为1，3，3，符合题意，即；
若3是底时，另两边长是该方程的两根，
另两边是腰长，故方程的两根相等，
即，方程为，
解得：，
此时三角形三边长为3，2，2，符合题意，即，
综上，m的值为3或4．
【点睛】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
20. 如图，正方形中，，分别是边，上的点，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．
（1）用三角板和直尺、铅笔依题意补全图形并标上相应的字母；
（2）若正方形的边长为12，，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的半角模型是解题的关键．
（1）直接根据题意补全图形即可；
（2）根据正方形性质可得，，根据旋转的性质可得，，从而证明三点共线，然后利用正方形中的半角模型证明；设，从而可得，，然后在Rt中，根据勾股勾股定理进行计算即可解答，即可求出的长．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转性质得：，
∴，
∴三点在同一条直线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由旋转性质得：，
则，
∴，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】（1）任务一：；任务二：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数解析式是解答的关键．
任务一：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可；
任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；
任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，
根据题意，得，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为12250，
答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 【问题背景】
已知点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点．
【知识技能】
（1）如图1，证明：；
【拓展探索】
（2）①如图1，若，则__________；
②如图2，若，则__________；（用含的式子表示）
（3）将图2中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），如图3，试探究与的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）或
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据证明，
（2）由，得出，进而根据三角形内角和定理即可得到，进而可得①②答案；
（3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴（）
（2）①如图，
由（1）得（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
②同理①得：，
∴；
故答案为：；
（3）当交点F在线段上时，如图3，
同理（1）可得：（），
∴，
∵，
∴，
∴；
当交点F在线段上时，如图4，
同理可得：；

当交点F在线段上时，如图5，
同理可得，
∵，
∴；
综上，或．
23. 【问题背景】
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式．
【构建联系】
（2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？
（3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标．
【答案】（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
（1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论；
（3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵
∴，，
把，代入，得，
，
解得，，
∴此抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，
把把，代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
设点的坐标为，则点，
∴
∴
∵，
∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为；
（3）∵
∴
如图，
当为底边时，点的坐标为；
当为腰时，点的坐标为或或；
综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或．
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
0.14
0.62
…
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？