广东省东莞市长安实验中学上学期九年级数学期末试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市长安实验中学上学期九年级数学期末试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号，用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. “致中和，天地位焉，万物育焉”． 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．轴对称图形：将图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形是轴对称图形．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
2. 下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意；
B、是反比例函数，符合题意；
C、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意；
D、是二次函数，不是反比例函数，不符合题意；
故选B．
3. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程．
【详解】解：把代入方程可得，
解得，
故选：A．
4. 二次函数的图象的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用配方法将二次函数变形是解题关键．将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴．
【详解】解：，
对称轴是直线，
故选：B．
5. 如图，是的弦，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，理解同弧和等弧所对的圆周角相等是解答关键．
根据等弧所对的圆周角相等得到即可求解．
【详解】解：，
．
，
．
故选：A．
6. 年月日早上，广州马拉松在天河体育中心鸣枪开跑！名跑者展开公里全程马拉松赛事的争夺．参赛选手们激情开跑的同时，场外一群默默奉献的志愿者为赛事保驾护航．数学老师郑老师报名了本次志愿活动，现有“赛道指引”“物资发放”“集结检录”“人群疏散”四项志愿工作，那么郑老师被随机安排参加“赛道指引”这项志愿工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率公式的计算概率，根据概率公式计算即可解答．
【详解】解：∵共有四项志愿工作，每一项被安排到的可能性相同，其中被安排参加“赛道指引”这项志愿工作的可能性只有一种，
∴郑老师被随机安排参加“赛道指引”这项志愿工作的概率为．
故选：C
7. 如图，，若，，，则的长为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据该知识求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
8. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴，即可判断的符号，即可求解．
【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴，
∴，则，
故选：A．
9. 物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是，
由题意得：，
解得：，
绕点O按逆时针方向旋转的度数为，
故选：C．
10. 根据所学知识，你推测函数的函数图象最可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象类型知识的推理，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
根据反比例函数解析式进行推理即可求解．
【详解】解：∵在函数中，在分母上，
∴，
当x>0时，，越大，的值越小；
当是，，越大，的值越小；
∴函数的图象形如反比例函数的图象，
故选：A ．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若方程是一元二次方程，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据二次项系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得：，即．
故答案为：．
12. 如图，四边形和相似，已知，，，则____________．
【答案】80
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等．
根据相似图形的性质得出，，即可解答．
【详解】解：∵四边形和相似，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：80．
13. 如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为__________．
【答案】##72度
【解析】
【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n边形的中心角为进行求解即可．
【详解】解：∵点O为正五边形的中心，
∴．
故答案为：
14. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是__________（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例反比例函数的函数值的大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，
∵点在反比例函数的图象上，且：，
∴；
故答案为：．
15. 已知：如图，在中，，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．先在直角中利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，然后根据旋转的性质得到cm,那么；
【详解】∵在中，，，．
∴，
∵点D为的中点，
∴．
∵将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，运用配方法求解即可．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
∴，．
17. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的相似比为．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作位似图形，根据位似性质作图即可．
【详解】解：以原点O为位似中心，与的位似比为，作图如下，

∵，，
∴，
∴即为所求图形；
18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角；由旋转的性质得，由等边对等角得，则有，从而得证．
【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
而点在的延长线上，，
∴，
∴，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 如图，在中，为边上一点，，，，求证：．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似．
【详解】证明：∵，，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
20. 东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把当代入，求出y的值即可．
【小问1详解】
解：由题意知，抛物线的顶点，
米，棚宽米，则米，
可设抛物线的解析式为，且抛物线过点，
，
解得：，
．
【小问2详解】
解：两根立柱间的距离为6米，且关于y轴对称，
立柱到y轴的距离为3米，
当时，，
单根立柱的长度为（米），
需要的立柱总长度为（米）．
21. 如图，已知射线垂直于射线，点N在射线上，点P在经过点N且平行于的直线上运动，的平分线交直线于点Q，过点Q作，交于点B，连接交于点C．以点Q为圆心，为半径作圆．
（1）判断与的位置关系并证明；
（2）若的半径为3，当与相切时，求的长．
【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理：
（1）证明四边形为菱形，进而得到，即可得出结论；
（2）设与相切于点，连接，菱形的性质，求出的长，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：与相切，证明如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∵的平分线交直线于点Q，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
【小问2详解】
设与相切于点，连接，则：，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. （1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值；
（3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质．
（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可；
（2）利用条件证明，，由（1）知，，设，则，，由得，，（负值舍去），；
（3）利用相似转化线段之间的关系，设，根据，得，，由，得到，，最后代入．
【详解】解：（1），
，
，
同理，
，
；
（2）解：∵恰好将三等分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
设则，
由得，，
∴（负值舍去），
∴；
（3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）中结论知，，
设，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
（1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
（2）矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式．
【答案】（1）是矩形的“友好函数”
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；
分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可．
【小问1详解】
解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形“友好函数”；
【小问2详解】
解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，
，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键．