福建省泉州市晋江市罗山中学上学期九年级期中考试数学试卷 （解析版）-A4

这是一份福建省泉州市晋江市罗山中学上学期九年级期中考试数学试卷 （解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列根式是最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母”，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选C．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可得到：，把代入化简即可．
【详解】解：∵
∴
把代入可得：
故答案选：B
【点睛】本题主要考查了代数式，灵活转变已知代数式代入求解是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，二次根式减法计算和化简二次根式，根据二次根式的相关计算法则求出每个选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，

则，即，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，故此选项符合题意；
B、化为一般式为，，则原方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；
C、化为一般式为，，则原方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；
D、化为一般式为，，则原方程无实数根，故此选项不符合题意；
故选：A．
6. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的元降到了元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据降价后的价格=原价(1-降低的百分率)，本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价,即可列出方程．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x,
由题意得出方程为．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解决此类两次变化问题，可利用公式,其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的降低率．
7. 如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若四边形与四边形的面积比为，则（ ）
A. B. C. D. ：
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似图形的性质可得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即得答案．
【详解】∵四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，四边形与四边形的面积比为，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形的性质和相似三角形的性质，熟练掌握位似图形的性质是关键．
8. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
9. 如图，在中，，，，两条中线和相交于点，则的长是（ ）

A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查重心的性质，斜边上的中线．利用勾股定理求出的长，斜边上的中线，求出的长，再利用重心的性质，得到，即可得出结果．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，重心的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵两条中线和相交于点，
∴，点为的重心，
∴，
∴，
∴；
故选B．
10. 若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，、是方程的两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”可解此题．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握“，”是解题的关键．
【详解】解：由可知，
、是方程的两个不相等的实数根，
，，
，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
12. 已知是一元二次方程的一个根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值， 据此把代入原方程得到的值即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
13. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟记是解题关键；
直接利用求解即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，
则，
故答案为：2．
14. 如图，在中，E，F分别是的中点，若平分，，则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，进而得出，得到．
【详解】解：∵E，F分别是的中点，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，在中，，点D，E分别在上，将沿折叠，点B的对应点F刚好落在上．当时，的长为______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将沿翻折得到，
，
∵，
∴，
，
，
，
,
解得：．
故答案为：．
16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
详解】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步蹬．
17 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：
或
，．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，先根据平方差公式去括号，然后计算二次根式除法和零指数幂，再计算加减法即可得到答案．
【详解】解：

．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再计算分式乘法，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 如图，已知，点E、F在线段上，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由，可得，又由，，证得,即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质．注意掌握有两边对应成比例且夹角相等三角形相似是关键．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；
（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围．
【答案】（1）有两个实数根，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式即可判断；
（2）利用公式法求得（或表示）两根，再根据根的情况分析即可．
【详解】解：（1）依题意得：
，
∴方程有两个实数根．
（2）依题意得：
∴，即，．
∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根的判别式和利用公式法求一元二次方程．掌握公式法和根的判别式是解题关键．
22. 如图，中，．
（1）尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，，，求的周长．
【答案】（1）解解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线的尺规作图，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求；
（2）先由勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质列出比例式求出，再求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，过点A作的垂线，垂足为E，则点E即为所求；
由可得；
【小问2详解】
解：在中，由勾股定理得，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴的周长．
23. 某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．
（1）若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？
（2）该商店平均每天盈利能否为1200元？
【答案】（1）16元；（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设这种商品的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x-10）元，日销售量为（500-20x）件，根据日销售总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合此种商品的每件利润不能超过进价的80%，即可确定x的值；
（2）设这种商品的售价应定为y元，则每件的销售利润为（y-10）元，日销售量为（500-20y）件，根据日销售总利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-15＜0可得出该方程无实数根，进而可得出该商店平均每天盈利不能为1200元．
【详解】解：（1）设这种商品的售价应定为元，
则
每天可售出该商品件．
由题意得
解得，
根据题意，得
所以，根据物价规定，该商品最高售价为元
所以，商店想要获得平均每天1080元的利润，这种商品的售价应定为16元；
（2）设这种商品的售价定为元时，该商店平均每天盈利为元
则
每天可售出该商品件．
由题意得
整理得
∵
即方程无解，所以该商店平均每天盈利不能为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△＜0时，方程无实数根”．
24. 已知：如图，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题：
（1）求点B坐标；
（2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P（0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（0，4）；（2）k=10；（3）存在，点N的坐标为（﹣1，11）或（﹣7，3）或（﹣4，﹣1）或（0，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）解方程x2-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=x+b求出b=4，即可得出B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB=，过点C作CH⊥x轴于H，则CH∥OB，由平行线得出△AOB∽△AHC，得出 ，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入双曲线得出k=10即可；
（3）先求出点E的坐标，再分三种情况讨论计算即可得出结论．
【详解】（1）解方程x2﹣7x﹣8=0得：x=8，或x=﹣1．
∵线段OA长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，
∴OA=8，
∴A（﹣8，0），
代入y=x+b得：﹣4+b=0，
∴b=4，
∴B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，OA=8，OB=4，∴AB==4，
过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
则CH∥OB，
∴△AOB∽△AHC，
∴，即，
解得：CH=5，AH=10，
∴OH=10﹣8=2，
∴C（2，5）．
∵双曲线y=（k≠0，x＞0）经过点C，
∴k=2×5=10；
（3）存在．理由如下：
分两种情况：
①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC交直线l于M，如图2所示：
则EG∥OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴，
∴EG=OB=1，AG=AO=2，
∴OG=8﹣2=6，
∴E（﹣6，1）．
∵EM⊥AC，
∴设直线EM的解析式为y=﹣2x+c，
把点E（﹣6，1）代入得：12+c=1，
解得：c=﹣11，
∴直线EM的解析式为y=﹣2x﹣11，
当y=7时，7=﹣2x﹣11，
∴x=﹣9，
∴M（﹣9，7）．
∵C（2，5），
∴点N的坐标为（﹣1，11）；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（﹣7，3）；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如图3所示：
则∠EGM=∠MHC=90°，EG=7﹣1=6，CH=7﹣5=2．
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠EMC=90°，
由角的互余关系得：∠GEM=∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，
∴，
∴GM•MH=CH•EG=2×6=12，
又∵GM+MH=6+2=8，
∴GM=2，MH=6，
∴M的坐标为（﹣4，7）．
∵E（﹣6，1），C（2，5），
∴N（0，﹣1）；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（﹣4，1）；
综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为（﹣1，11）或（﹣7，3）或（﹣4，﹣1）或（0，﹣1）．
【点睛】此题时反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分类讨论是思想，解（3）的关键是求出点E的坐标．
25. 如图，，，，，．点以的速度从点出发，沿方向向点运动，同时点以的速度从点出发，沿方向向点运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为．
（1）填空：的长为__________；的长为__________；
（2）求为何值时，平行于的一边；
（3）当点在边上运动，求为何值时，的面积为．
【答案】（1）8；
（2）5或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可求的长，通过证明，可得，可求的长；
（2）分两种情况讨论：当点Q在上，时，当点Q在上，时，根据相似三角形的性质与判定定理讨论求解即可；
（3）如图1，点Q在边上运动，此时，，过点Q作于E，由锐角三角函数可求的长，由三角形面积公式可求t的值．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得；
∵，
∴，且，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：当点Q上，时，
∵，
∴，
∴，
由题意可知，，则，
∴，
解得；
当点Q在上，时，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
综上所述，当或时，平行于的一边．
【小问3详解】
解：如图1，点Q在边上运动，此时，，
过点Q作于E，
∴，
又∵，
∴，
∴，即 ，
解得 ，
∵，
∴的面积，
整理，得，
解这个方程，得（不合题意，舍去），
∴当点Q在边上运动，秒时，的面积为．