河南驻马店市2025-2026学年第一学期期末质量监测高二数学试题（试卷+解析）

这是一份河南驻马店市2025-2026学年第一学期期末质量监测高二数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了保持卷面清洁，不折叠、不破损， 除以9的余数为等内容，欢迎下载使用。
本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（ ）
A. 0B. C. D. 不存在
2. 点关于平面对称点的坐标为（ ）
A B. C. D.
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 直线被圆所截得的最短弦长为（ ）
A. 5B. C. 10D.
6. 除以9的余数为（ ）
A. 1B. 2C. 7D. 8
7. 已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（ ）对
A. 37B. 54C. 66D. 67
8. 已知，为圆的某直径的两端点，动点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，，为空间四个两两不同的点，则下列式子为零向量的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 曲线左、右焦点分别为，，直线与曲线的左、右两支分别交于，两点，则（ ）
A. 且
B.
C. 若直线与圆相切，则
D. 若，则的内切圆半径为
11. 已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所有项的系数绝对值的和为，则（ ）
A.
B. 二项式系数最大的项为
C. 第6项的系数为448
D. 所有奇数项的系数和为3281
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 为迎接温馨祥和的2026年农历春节，某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、民主、文明、和谐四个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，要求甲不去富强社区，乙或丙去民主社区，则不同的安排方法有___________种.
13. 已知事件，相互独立，，，则______.
14. 数学家欧拉1765年在《三角形几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，，.
（1）若，为直线上的点，且，，求直线，的方程；
（2）若，求实数值及，间的距离.
16. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为，点，直线过点与曲线交于，两点，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）当直线斜率不存在时，求过，，三点的圆的方程；
（3）若，求直线的方程.
17. 已知：如图，，，和都垂直于平面，是的中点，点满足.
（1）证明：；
（2）记经过，，，四点的球的球心为.
（ⅰ）求球被平面所截得截面面积.
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
18. 某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，.
（1）甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率；
（2）求比赛结束后乙获胜的概率；
（3）求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率.
19. 在平面直角坐标系中，，，动点与，所确定的直线斜率满足，记点的轨迹为曲线，直线，.
（1）求的方程；
（2）动点在上，过点作曲线的切线，分别交，于点，，求的值；
（3）动点，均在曲线上，且位于的两侧，现将坐标轴平面沿直线折成直二面角，求折后长度的最小值.
2025~2026学年度第一学期期末质量监测
高二数学试题
本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第I卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（ ）
A. 0B. C. D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的斜截式方程 （， 为常数），其中 就是直线的斜率，所以要确定直线 的斜率，只需根据斜截式方程的形式，找出对应的 值即可.
【详解】因为（， 为常数），其中 为直线的斜率， 为直线在 轴上的截距，
将直线 与斜截式方程 进行对比，可得 ，，
因此，直线 的斜率为 .
故选：B.
2. 点关于平面对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为，即可求解.
【详解】点关于平面对称点的坐标为.
故选：A
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对分和两种情况讨论，求抛物线的焦点坐标.
【详解】当时，开口向上，焦点在轴正半轴上，此时，所以抛物线焦点坐标为；
当时，开口向下，焦点在轴负半轴上，此时，所以抛物线焦点坐标为.
故选：D
4. 某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起. 从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算从甲、乙、丙每块地中抽取到一等种苗的概率，再利用全概率公式计算最终结果.
【详解】记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”，
事件表示“抽取的种苗来自甲地块”，
事件表示“抽取的种苗来自乙地块”，
事件表示“抽取的种苗来自丙地块”，
则，，，
，，，
由全概率公式
，
因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为.
故选：D
5. 直线被圆所截得的最短弦长为（ ）
A. 5B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线所过定点，再求出圆心的坐标和半径，要使直线被圆截得的线段长度最小，需圆心到直线的距离最大，的最大值为圆心到定点的距离，即可得出结论．
【详解】直线经过定点，
圆表示以为圆心，以为半径的圆，
设圆心到直线的距离为，
要使直线被圆截得的线段长度最小，需最大，
由题意可知，的最大值为与两点间的距离，即.
所以，直线被圆截得的最短的弦长为．
故选：C．
6. 除以9的余数为（ ）
A. 1B. 2C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先将 转化为与9相关的表达式，再利用二项式定理展开，通过分析展开式各项与9的关系，从而确定 被9除所得的余数即可.
【详解】因为 ，又因为 ，所以 ，
根据二项式定理，当，，时，则：
由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （），
当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除，
当 时，该项为 ，
因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除，
所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数），
则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7.
故选：C.
7. 已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（ ）对
A. 37B. 54C. 66D. 67
【答案】A
【解析】
【分析】首先共可得条不同的直线，共有对直线，排除掉共面的即可得解.
【详解】从上，，，取一个点和上，，取一个点，
确定的直线数有条，再加上直线，，则共可得条不同的直线，
则共有对直线，
其中直线与新的条直线都共面，直线与新的条直线也都共面，共24对，
新的条直线中，若直线过点，则形成直线，共有对共面，
直线上有4个点，故共有对共面，
新的条直线中，若直线过点，则形成4条直线，
其中两两共面，有对，
直线上有3个点，故共有对共面，
故异面直线有对.
故选：A
8. 已知，为圆的某直径的两端点，动点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的加减运算得出，再令得出，将问题转化为抛物线上动点和圆上动点距离的最小值即可求解.
【详解】因为为圆的直径，所以，
则，
令，则点为直线与圆的交点，且位于线段内，
则，
设，且，则，
则当时，，
因为，等号成立时三点共线，
所以，
则的最小值为.
故选：C
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，，，为空间四个两两不同的点，则下列式子为零向量的是（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】对于A选项，
，故A错误；
对于B选项，
，故B正确；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D正确.
故选：BD.
10. 曲线左、右焦点分别为，，直线与曲线的左、右两支分别交于，两点，则（ ）
A. 且
B.
C. 若直线与圆相切，则
D. 若，则的内切圆半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】联立直线方程和双曲线方程后结合韦达定理可判断A的正误，利用特例可判断B的正误，根据相切求出直线的斜率，再求出的纵坐标后求出焦点三角形面积后判断C，根据垂直求出焦半径的和、积，根据等积法求得内切圆半径后可判断D的正误.
【详解】对于A，由可得，
因为直线与双曲线的左右支各交一点，
故，故，故A正确；
对于B，设，而，故，
故
，
而，故，同理，
故，
取，由A的分析可得为方程的两个不同的解，
故，而，
故
，
故B错误；
对于C，因为直线与圆相切，故，故，
由A的分析可得联立直线方程和双曲线方程消元后的方程为：，
故，故，
故，故C正确；
对于D，，故，故，
而，故，
所以，故，
故，故，
故且，
故，其中为内切圆半径，故，
故D正确.
故选：ACD.
11. 已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所有项的系数绝对值的和为，则（ ）
A.
B. 二项式系数最大的项为
C. 第6项的系数为448
D. 所有奇数项的系数和为3281
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二项式定理相关性质计算即可.
【详解】由题意可得，二项式系数之和为，解得，
对于A选项，因为所有项的系数绝对值的和为，所以，解得，故A错误；
对于B选项，当时，二项式系数最大的项是第项，，故B正确；
对于C选项，，故第6项的系数为，故C错误；
对于D选项，令，令，则，令，，
所以所有奇数项之和为，
将代入可得，所有奇数项的系数和为3281；
将代入可得，所有奇数项系数和为3281，故D正确.
故选：BD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 为迎接温馨祥和的2026年农历春节，某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、民主、文明、和谐四个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，要求甲不去富强社区，乙或丙去民主社区，则不同的安排方法有___________种.
【答案】8
【解析】
【分析】乙去民主社区，先安排甲再排另外两人，则有，同理丙去民主社区，即可得解.
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
乙去民主社区，此时甲只能去文明或和谐社区，再排另外两人，
则有；
同理丙去民主社区也有种方法，
故不同的安排方法有种.
故答案为：8
13. 已知事件，相互独立，，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用独立事件的性质求出 ，再通过条件概率公式完成计算即可.
【详解】由 相互独立，得 ，
代入 ，，则，即，
因为，
所以 .
故答案为：
14. 数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出重心坐标，求出边上的高和边上的高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】因为的顶点，，，
所以的重心为，即，
可得直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
联立方程，解得，即的垂心为，
则直线斜率为，则可得直线方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线，，.
（1）若，为直线上的点，且，，求直线，的方程；
（2）若，求实数的值及，间的距离.
【答案】（1）答案见解析
（2）；
【解析】
【分析】（1）由题意可求，根据两点间的距离公式求解，再由，，求解即可.
（2）由直线平行求解，再由两平行线间的距离公式求解即可.
【小问1详解】
由条件，，
因为，，则，即有
当时，，；
当时，，.
【小问2详解】
当时，必有，且与不重合.
若时，与重合，不符合题意，舍去，
时，
此时，与间的距离为.
16. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为，点，直线过点与曲线交于，两点，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）当直线的斜率不存在时，求过，，三点的圆的方程；
（3）若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）（或写成）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆短轴得出，结合离心率代入求得，从而求得椭圆方程；
（2）根据圆的几何性质圆心为两弦中垂线的交点进行求解；
（3）根据题意，直线的斜率不为0，不妨设直线，由，则，即，利用韦达定理化简求解.
【小问1详解】
根据条件，，离心率，
则，
可得曲线；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，不妨假设在轴上方，
可得，，，的中点坐标为，
则线段的中垂线方程为，
取得，从而可得过，，三点的圆的圆心为，半径，
因此过，，三点的圆的方程为；
【小问3详解】
当直线的斜率为0时，，因此直线的斜率不为0，
不妨设直线，，，，，
由，则，即，
联立，整理，
方程的判别式，
由韦达定理可得，
可得，解得，
因此直线的方程为.
17. 已知：如图，，，和都垂直于平面，是中点，点满足.
（1）证明：；
（2）记经过，，，四点的球的球心为.
（ⅰ）求球被平面所截得的截面面积.
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）由条件可得面，由线面垂直的性质定理，可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理可得面，即可求证.
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用球的截面性质求解即可.
（ii）利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
由已知面，面，从而，
又因为，，，
则是以为斜边的等腰直角三角形，取中点为，如图，
则，由是的中点，点满足，
则为的中位线，可得，则，
又且，则平面，
又平面，所以.
【小问2详解】
（ⅰ）由于，
则，，，满足，
所以，又，
从而可得三棱锥的外接球的直径为线段，
因此球心为中点，半径，
如图，以为空间坐标系原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
取，则，，从而，
又因，则球心到平面的距离为
，
则球被平面所截得的截面为圆面，
其圆的半径为，
因此截面的面积为；
（ⅱ）由（i）可知平面的一个法向量为，且，
因此直线与平面所成角的正弦值为
.
18. 某校组织趣味知识竞赛，共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响.设甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，.
（1）甲、乙同时回答1道题时，分别求乙得10分、0分和分的概率；
（2）求比赛结束后乙获胜的概率；
（3）求在乙获胜的条件下，乙恰好得10分的概率.
【答案】（1）; ; ;
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）按乙得分的三种场景，分别用独立事件乘法、互斥事件加法计算概率；
（2）先分类乙获胜的得分情况，再用组合数和独立事件乘法，分别计算每类得分的概率，最后将三类得分的概率相加，得到乙获胜的总概率；
（3）先算乙恰好得10分的概率，再用条件概率公式计算即可.
【小问1详解】
记回答1道题时，乙的得分为，
则，
，
，
即乙得 10 分、0 分、分的概率分别为，， .
【小问2详解】
根据条件，比赛结束后乙获胜时，乙的总得分可能为30分，20分，10分，对应的事件分别记为，，，乙获胜记为事件，则
因此.
【小问3详解】
由条件得：
19. 在平面直角坐标系中，，，动点与，所确定的直线斜率满足，记点的轨迹为曲线，直线，.
（1）求的方程；
（2）动点在上，过点作曲线的切线，分别交，于点，，求的值；
（3）动点，均在曲线上，且位于的两侧，现将坐标轴平面沿直线折成直二面角，求折后长度的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直线斜率公式列出等式，化简即可求得曲线的方程；
（2）先设出点 的坐标，对曲线方程求导得到切线斜率，可求出切线方程，再分别联立切线方程与直线 、 的方程求出点 、 的坐标，最后根据三角形面积公式求出 的值；
（3）先通过坐标旋转变换，将原坐标系下的等轴双曲线 转化为新坐标系下的反比例函数 ，并设出点 、 在新坐标系中的坐标，再将坐标平面沿直线 折成直二面角后，建立空间直角坐标系，用空间两点间距离公式表示出 的长度，最后结合均值不等式求出 长度的最小值.
【小问1详解】
设，因为，
所以，即
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
设曲线上任一点，根据条件则点处的切线斜率存在，
不妨设点处的切线方程为.
联立整理得，
其判别式
，
即，从而可得点处的切线方程为，
分别与直线，方程联立求得，或，，
即，也即为，中点，

所以.
【小问3详解】
由曲线为等轴双曲线，因此分别以，为，轴重新建立直角坐标系，
则新坐标系下的曲线的方程为，
现将坐标轴平面沿直线折成直二面角，折后建立如图（a）所示的空间直角坐标系，
不妨设，，
则
当且仅当，也即，时等号成立，
综上所述，折后长度的最小值为.