河南省驻马店市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试题（解析版）

这是一份河南省驻马店市2023-2024学年高二下学期7月期末质量监测数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了保持卷面清洁，不折叠、不破损， 已知双曲线E 等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. 0B. C. πD. 不存在
【答案】B
【解析】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是.
故选：B
2. 函数 在处的瞬时变化率为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】设，则，则，
则函数在处的瞬时变化率为1.
故选：C.
3. 设，则 （ ）
A. 1B. 2C. 63D. 64
【答案】D
【解析】令得.
故选：D.
4. 某学校甲乙两个班级人数之比为，在一次测试中甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，现从这两个班级中随机选取一名学生，则该学生优秀的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设甲班级的人数为，乙班级的人数为，
因为甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，
所以甲班优秀的人数为，乙班优秀人数为，
所以优秀的总人数为，
所以学生优秀的概率为，故A正确.
故选：A
5. 如图是边长为的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前个三角形的外接圆面积之和为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设边长为的正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，
解得R=33a，而每次构造新三角形时，每次外接圆的半径也减半，
设第个三角形的外接圆半径为，
是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
设第个三角形的外接圆面积为，
而，
而所求即为的前项和，
易得，故，
而，故是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，故B正确.
故选：B
6. 已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，
因为，所以
，
设正四面体的棱长为1，
故
，
又
，
所以，
故，
DP与AB夹角的余弦值为.
故选：A
7. 已知双曲线E :x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若OB=3OA，则双曲线 E的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】令点，双曲线E :x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为，
由对称性不妨取直线AB:bx-ay=0，取中点，连接，则，
|FC|=bca2+b2=b，而|AB|=2(2b)2-b2=2b，
由OB=3OA，得|OC|=|AB|=2b，在中，c2=(2b)2+b2=5b2，
则a2=c2-b2=4b2，解得c=5b,a=2b，
所以双曲线 E的离心率.故选：A
8. 若函数为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数求导得由题意可知，
在内恒成立，即在内恒成立，
故，令，
令，得，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
则函数在有最大值为，
故，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 如图为函数的导函数图象，则以下说法正确的是（ ）
A. 在区间递增
B. 的递减区间是
C. 为函数 极大值
D. 的极值点个数为4
【答案】ABD
【解析】令函数的导数为，观察图象知，当或时，，
当时，，且当时，；当或时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，AB正确；
函数在处都取得极大值，在处都取得极小值，的极值点个数为4，D正确；
由于在及邻近区域值得，因此在处没有极值，C错误.
故选：ABD
10. 已知事件A与B发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，不一定成立，故A错误；
对于B，由于，则，
则，故B正确；
对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，也不一定成立，故C错误；
对于D，，故，故D正确；
故选：BD.
11. 点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点.分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是（ ）
A. 为直角三角形
B.
C
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A，设直线的方程为，
设点的坐标分别为，
令，联立，则
因此，当时，抛物线方程为，
，，
则在处的切线方程为，
同理在处的切线方程为，
联立，解得，，
因此M坐标为，
，
因此，所以是直角三角形，故A正确，
对于B，当直线斜率不存在时，此时，所以，
此时，，代入抛物线中得到，
解得，由对称性得到，
所以，
根据对称性可得，此时是的中点，
根据三线合一的原理可知，
当直线斜率存在时，可得，
因此，故B正确，
对于C，，
当且仅当，即时取等，故C错误，
对于D，此时，解得，此时直线的斜率不存在，
所以，，，
则，，
故，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15分.
12. 已知等差数列满足，，则通项公式为 _____.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，，，
所以，解得，所以.
故答案为：
13. 二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算.即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛——拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为______.(结果保留三位小数.参考数据：若，则，，
【答案】
【解析】由题意得随机抛一枚硬币次，
设正面向上的概率为，
同时设正面向上的次数为，则，
所以，，
此时符合，故有，
且，，设所求概率为，
因为，所以由正态分布对称性得.
故答案为：
14. 如图在四棱柱中，，并且直线的夹角为，距离为3，则多面体的体积为______.

【答案】
【解析】四棱柱中，连接，由，
得四边形是平行四边形，，因此夹角为，
四边形的面积，
而平面，平面，则平面，
因此四棱柱的高为直线与平面的距离，等于异面直线的距离3，
于是四棱柱的体积，
而，
所以多面体的体积为.故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于X的位置.
（1）当时，求，；
（2）当时，求随机变量X的分布列及数学期望.
解：（1）当时，质点所能到达的位置必满足且为偶数，
若“”则表示四次移动中向右1次，向左3次，
因此.
.
（2）当时，质点所能到达的位置必满足且为奇数，
因此随机变量的所有可能取值为，
因此随机变量的分布列为
，
，
，，
，，
因此随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为
.
16. 如图在三棱柱中，
（1）证明:；
（2）求二面角的平面角的正弦值.
解：（1）如图，取的中点，连接，
由，得都是正三角形，
则，因此，又平面平面，
且，于是平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，平面平面，而平面平面，
作于，
而平面，则平面，设，则有，
，，，
在平面内过点作，则平面，直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，
则，由，
得，，，
设平面的法向量，则，令，得
设平面的法向量，则，
令，得，
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的平面角的正弦值.
17. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若为的极大值点，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，定义域为，
则，
由，解得，由，解得，
因此的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）记，x∈0,+∞，
则原问题等价于为的极大值点，求实数的取值范围．
因，则恒成立，
记，x∈0,+∞，h1=0，
则，
当时，恒成立，在上单调递增，
又因为h1=0，则当时，，即，所以单调递减；
当时，，即，所以单调递增，
此情况可得为的极小值点，与题意矛盾；
当时，若，即当时，则存在，使得在上恒成立，
即在上单调递增，也即在上单调递增，
由，从而可得，，单调递减；
，，单调递增，
此情况可得为的极小值点，与题意矛盾；
若，即时，在上单调递减，
，，单调递增；时，，单调递减，
因此恒有，也即恒成立，因此不是的极值点，与题意矛盾；
若，即时，则存在，使得在上恒成立，
在上单调递减，也即在上单调递减，
由，从而可得，，单调递增；
，，单调递减，
此情况可得为的极大值点，符合题意．
综上所述，满足条件的实数的取值范围为．
18. 已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足.
（1）证明:
（2）求椭圆E 的离心率；
（3）若，求面积最大值.
解：（1）设点,，则，
点,在椭圆上，故满足椭圆的方程，
所以，
，，
，
所以.
（2）因为，，
所以，又，所以，
即，所以，故离心率为.
（3）若，则由（2）可知，椭圆的方程为，
根据题意则直线的斜率不等于0.
设直线的方程为，则
联立，解得，从而可得，也即，
代入中得，即，
再联立得，
该方程有两个不同实根，由韦达定理可得，
又因，
，
，
因此
令当且仅当时等号成立从而可得
，因此当时取最小值，
此时可得的最大值为.
因此当且仅当取得最大值为.
19. 将n²个实数排成n行n列的数阵形式
……

（1）当时，若每一行每一列都构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和.
（2）已知，且每一行构成以1为公差的等差数列，每一列构成2为公差的等差数列，求这个数的和；
（3）若且每一列均为公差为d的等差数列,第二行为等比数列.已知，设 求的值.
解：（1）由题意，且每一行都成等差数列则有
，
，
，
设所有数之和为，则有，
又因为每一列成等差数列，故有，即.
（2）设第行的和为，则有；
又因为每一列构成以2为公差的等差数列，即有当时，，
即数列构成以为首项，为公差的等差数列，即有
.
（3）由题意设第二行的公比为，则有，
又因为，故.从而可得第二行的通项公式，
即有，又因为每一列均为公差为的等差数列，且，
可得，即，即有，从而有，
故
.